证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法及其他数学思想

不等式的证明方法除了比较法、分析法、综合法之外,其他的数学思想方法介绍如下:

方法简述

1.分类讨论法

应用分类讨论的思想对问题求解,首先要明确讨论对象,确定对象的全体;其次是确定分类标准,分层次,不重复,不遗漏,达到互斥、无漏、最简的原则;最后还要反思其过程,从中发现“分”与“合”、“局部”与“整体”之间的辩证统一关系,充分挖掘求解问题中潜在的特殊性与简单性,尽可能地简化或避免分类讨论,使解题思想得到进一步升华,使解题的途径更加合理简捷.

例1 已知a、b∈R,比较(a+b)(a3+b3)与(a2+b2)2的大小.

点拨 理解字母的取值范围在比较大小中的重要性,体会分类讨论的思想方法.因为分子中式ab与(a-b)2的符号随着a、b大小关系与正负符号的不同而有不同的符号,所以有分类的需要.从ab中看到,分a、b同号或异号两类;从(a-b)2中看到,分a=b,a≠b两类.

解答 (a+b)(a3+b3)-(a2+b2)2=ab3+a3b-2a2b2=ab(a-b)2.

当a≠b时,若a、b同号,有ab>0,ab(a-b)2>0,

则(a+b)(a3+b3)>(a2+b2)2;

若a、b异号,有ab<0,ab(a-b)2<0,

则(a+b)(a3+b3)<(a2+b2)2.

当a=b时,有ab(a-b)2=0,则(a+b)(a3+b3)=(a2+b2)2.

反思 本题采用作差比较的方法,通过对于作差结果的讨论来比较大小.作差法是比较大小以及不等式证明中常用的方法.

2.反证法

反证法是中学数学中运用比较广泛的一种间接的证明方法,尤其是在证明否定性、存在性、唯一性等正面证明起来比较麻烦或者无法证明的命题.

例2 若a>0,b>0,求证:

点拨 本题运用作差比较等方法说明比较困难,可以考虑采用反证法进行证明.

证明 假设不成立,则

∵a>0,b>0,a+b>0,

∴

即矛盾,假设错误.

∴

反思 反证法是证明题中常用的方法之一,往往是针对一些从正面说明比较困难的问题使用的.反证法的通常步骤是:假设要证明的结论否定形式,然后推出矛盾,说明假设不成立,从而证明结论的成立.

3.构造法

构造法指的是在解决数学问题过程中,为了完成从条件到结论转化,我们利用数学问题的特殊性设计一个新的关系结构系统,找到解决原问题的具体方法.利用构造法,不是直接解决原问题,而是构造一个与原问题有关或等价的新问题,通过用已有的方法或更为简便的方法解决新问题,从而解决原问题.

例3 已知a、b、c∈R+,求证:(a2+d2)(c2+d2)≥(ad+bc)2.

点拨 观察需要求证的不等式,发现[2(ad+bc)]2-4(a2+b2)(c2+d2)≤0,从而想到构造二次函数,从其对应二次方程的根的判别式入手.

证明 设二次函数y=(a2+b2)x2+2(ad+bc)x+c2+d2

=(ax+d)2+(bx+c)2≥0.

∵a2+b2>0,

∴Δ=4(ad+bc)2-4(a2+b2)(c2+d2)≤0.

∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ad+bc)2.

反思 也可以采用比较法进行研究,但是在运算上会比较复杂.

4.换元法

在数学解题过程中,根据已知条件的特征,引入新的变量,对题目进行转化,形成一个用新变量表达的问题,通过解决新问题,来达到解决原问题的目的,这种解题方法叫作换元法.换元法的形式很多,但它们有一个共同特点,改变问题的结构形成新问题,为解决问题提供可能性,它是数学中转化和化归思想的一个重要体现.

例4 已知a>0,b>0,c>0,求证:

点拨 本题可以通过换元的方法,将不等式的左边构造成可以使用基本不等式的形式,从而解决问题.(www.xing528.com)

证明 令a+b=x,b+c=y,c+a=z,则x>0,y>0,z>0,

并且

同理

反思 本题的求证方法也可以称为综合法,即综合使用所学过的知识来证明不等式.

5.放缩法

将不等式一侧适当地放大或缩小以达证题目的的方法,叫作放缩法.

例5 已知,求证:对任意的两个不等实数x1、x2,恒有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|.

点拨 找到不等式两边之间的关系成为该不等式证明的关键,需要在|f(x1)-f(x2)|中构造出因式|x1-x2|,然后通过缩放进行证明.

证明

反思 本题证明的方法关键在于如何从|f(x1)-f(x2)|中构造出因式|x1-x2|,此类思想在之后研究函数的单调性时还会经常使用.

易错解读

易错点 证明过程中忽略等号成立的条件.

不等式的证明或求解最值问题中,常常需要注意等号成立的条件,需注意检验.

例6 已知a>0,b>0,c>0且a+b+c=1,求证:

以上证明是否正确?为什么?

解答 上述证明不正确,原因在于取等号时应有13a+1=13b+1=13c+1=1,则a=b=c=0,与已知a+b+c=1矛盾.

证明:设t>0,则

同理可得,t

当且仅当时,

即时,上述三式同时取等号.

代入a+b+c=1得,所以

故有

所以

反思 在运用均值不等式时,易错点就是等号能否成立的问题,所以在此要多加注意,养成检验的习惯.

经典训练

1.若a、b、c∈R+,求证:(a+b)(b+c)(a+c)≥8abc.

2.若a>0,b>0,求证:b2a-1+a2b-1≥a+b.

3.若a、b、c∈R+且a+b+c=1,求证

4.若p>0,q>0且q3+p3=2,求证:p+q≤2.

5.已知a>b>c,求证:

6.设a、b、c∈R+,求证

7.若,求证:|a|和|b|中必有一个大于1而另一个小于1.

8.若a>0,b>0,求证

9.若x、y∈R+且恒成立,求证:

10.已知a、b∈R,求证:a2+b2+1≥2(a+b-ab),并指出等号成立条件.