基本性质的不等式 - 学习指南和关键概念

本节简述不等式的传递性、加法性质及乘法性质,这些性质是解不等式及不等式应用的主要依据,其解题思想方法如下.

方法简述

1.性质法

所谓性质法是指灵活运用不等式的基本性质去解决具体不等式问题,在运用不等式的基本性质时,一定要注意不等式的方向,还要注意所运用不等式性质自身成立的条件.

例1 设-2<x<4,6<y<8,分别求的取值范围.

点拨 通过运用不等式的加法、乘法性质,结合题目所提供的结构信息,仔细分析条件-2<x<4,6<y<8,可推出结论.

解答 由6<y<8,得-8<-y<-6,所以-10<x-y<-2.

当-2<x<0时,当0<x<4时

所以的取值范围是

反思 本题主要通过运用不等式的基本性质来解决.在运用不等式的基本性质解决有关问题时,必须充分注意这些性质成立的条件,例如同向的两个不等式才能相加;同向且都是正数的两个不等式才能相乘等.

例2 已知p、q∈R,则“q<p<0”是“”的(　).

A.充分不必要条件　B.必要不充分条件

C.充要条件　D.既不充分又不必要条件

点拨 首先根据不等式性质,研究的取值范围,再与进行比较,研究充分性和必要性.

解答 q<p<0,∴

由,可知“q<p<0”是“”的充分不必要条件.

故选A.

反思 通过不等式的性质,将题目中的已知条件进行等价转化,再结合充分条件和必要条件的知识来研究问题.

2.特值法

通过设题中某个未知量为特殊值,从而通过简单的运算,得出答案的一种方法.

例3 已知a>b>c,则下列不等式中正确的是(　).

A.ac>bc　B.ac2>bc2

C.b(a-b)>c(a-b)　D.|ac|>|bc|

点拨 分别取一些满足已知条件的特殊值代入进行验算,从而否定一些假命题,然后再运用不等式的性质去证明用特值法没有解决的命题.

解答 A.a=2,b=1,c=-1,满足a>b>c,而ac<bc,所以命题A为假命题;

B.取a=2,b=1,c=0,满足a>b>c,而ac2=bc2,所以命题B为假命题;

D.取a=2,b=1,c=0,满足a>b>c,而|ac|=|bc|,所以命题D为假命题.

故选C.

反思 与不等式性质有关的选择题、填空题,考查的知识点较多,若逐个证明显得很麻烦,可通过特值法进行筛选,进行归纳和猜想,然后再去判断或证明,这样一来可达事半功倍之效,问题也就变得简单多了.

例4 设a、b∈R,且ab<0,则(　).

A.|a+b|<|a-b|　B.|a+b|>|a-b|

C.|a-b|<|a|-|b|　D.|a-b|<|a|+|b|

点拨 分别取符合要求的实数,代入a、b进行研究,从而否定假命题,通过排除法得到正确的结论.

解答 取a=2,b=-1,

则|a+b|=1,|a-b|=3,|a|+|b|=3,|a|-|b|=1.

所以B、C、D都错误,故选A.

反思 与不等式有关的选择题,可以通过代入特值的方法,排除错误答案,缩小选择范围,从而减轻解题压力,提高效率.

3.分类讨论法

例5 解关于x的不等式:m(x+3)<x+m.

点拨　将不等式整理后,注意x的系数,根据不等式的性质对问题进行分类讨论.

解答 整理原不等式,得(m-1)x<-2m.

①当m>1时,x<;

②当m=1时,x无解;

③当m<1时,x>.

反思 不等式两边同时乘(或除以)一个数时,要关注这个数的符号.

4.比较法(www.xing528.com)

比较法是最基本的方法,常用于不等式证明,具体可分为作差和作商两种方法.(1)作差法:a≥b⇔a-b≥0;(2)作商法:.其步骤是作差(商)―变形―判断符号.

例6 比较a2-2a+7与2a+1的大小.

点拨　本题通过作“差”,并对“差”式进行恒等变形,再判断“差”式的符号,可达到比较大小的目的.

解答 ∵(a2-2a+7)-(2a+1)=a2-4a+6=(a-2)2+2>0,

∴a2-2a+7>2a+1.

反思 比较两个代数式大小的关键是作“差”后的“变形”,本题是通过配方法来实现“变形”的,用配方法将它们的“差”式,写成几个非负数或非正数的和的形式,就可以判断其符号是正数、负数还是零,从而得出结论.

例7 设a>b>0,比较aabb与abba的大小.

点拨 由于要比较的式子都是正的,且都是积或幂的形式,可选用作“商”法.

解答 ∵,又a>b>0,则a-b>0且

∴,即.又abba>0,∴aabb>abba.

反思 作“商”比较法的变形主要是利用指数的运算及不等式的基本性质,对不等式两边同乘或同除以代数式后,其不等式的方向是否改变,要看所乘或除以的式子的符号,这一点要特别注意.

5.转化法

例8 a、b、c∈R,且,则有(　).

A.b2-4ac≥0　B.b2-4ac>0

C.b2-4ac≤0　D.b2-4ac<0

点拨 根据选项中提示,联想到二次方程的根的判别式.

解答 由已知去分母,得可令,

则有ax2-bx+c=0,此方程至少有一个实根为,所以Δ=b2-4ac≥0.

故选A.

反思 本题是根据题目中的条件判断b2-4ac是正、负还是零的问题,联想到一元二次方程根的判别式,为此想到尽量转化为以a、b、c为系数的一元二次方程,再运用判别式去分离变量,获得正确结果.

易错解读

易错点 忽视不等式性质成立的条件,形式上套用性质导致错误.

利用不等式性质求范围时,减法转化为加法,除法转化为乘法求解.

例9 已知2<a≤3,-2≤b≤-1,求的范围.

某同学的解法如下:

由2<a≤3,-2≤b≤-1,得0≤a+b<2,4≤a-b≤4,-1≤≤-3.以上解是否正确?请说明理由.

解答 上述解法不正确,忽视了不等式性质成立的必要条件.

∵2<a≤3,-2≤b≤-1,∴0<a+b≤2.

又1≤-b≤2,故3<a-b≤5.

又,∴

反思 在运用不等式的基本性质时,分清哪些条件是充分条件,哪些条件是必要条件,是非常重要的.例如由,这个结论是错误的;又如比较的大小时,要搞清楚a、b的符号;若,则不是说x>3;等等.

经典训练

1.若x<y<0,则|x|与-y的大小关系是________.

2.若a>b,c>d,则,这个命题是真命题,应补充条件是_________.

3.若x∈R,则x2+3与2x的大小关系为_________.

4.命题:若a>b,则,是假命题的原因为________.

5.已知a、b∈R,则a>b和同时成立时,则a、b应满足的条件是(　).

A.-b>0>-a　B.a>b>0　C.a<b<0　D.-a>0>-b

6.若m、n∈N*,则m+n>mn成立的充要条件是(　).

A.m、n都等于1　B.m、n都不等于2

C.m、n都大于1　D.m、n至少有一个等于1

7.若a+b=1,a、b∈R,判断的大小关系.

8.某商品计划两次提价,有甲、乙两种方案(p>q>0),经过两次提价后,哪种方案提价幅度大?

9.已知a、b、c、d∈R,有三个不等式:ab>0,bc-ad>0,用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,那么写出所有组成的真命题.

10.已知a>0,a≠1,研究的大小,并将你研究的结论推广.(不需证明)