理解等比数列及其求通项公式的方法

如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的公比,通常用字母q表示(q≠0),即等比数列通项公式为:an=a1·qn-1(a1·q≠0).

由等比数列的通项公式知:当公比等于1时,该数列既是等比数列,也是等差数列.非零常数列既为等比数列,也为等差数列.

如果a、G、b成等比数列,那么G叫作a与b的等比中项,有G2=ab.

方法简述

1.基本量法

例1 在等比数列{an}中,a1+an=66,a2·an-1=128,且前n项和Sn=126,求n及公比q.

点拨 抓住所给项的下标和相等,利用等比数列的性质a1an=a2an-1,先求出a1、an的值,再运用通项公式.

解答 ∵a1an=a2an-1=128,又a1+an=66,

∴a1,an是方程x2-66x+128=0的两根.

解方程,得x1=2,x2=64.

∴a1=2,an=64或a1=64,an=2,显然q≠1.

若a1=2,an=64,由得

2-64q=126-126q,∴q=2.

由an=a1qn-1得2n-1=32,∴n=6.

若a1=64,an=2,同理,得

综上所述,n的值为6,公比为q=2或

反思 等比数列中五个基本量a1、q、an、n、Sn,知三可求二,列方程组是求解的常用方法.解本题的关键是利用a1an=a2an-1,进而求出a1、an,要注意a1、an有两组解.

2.归纳法与构造法

归纳法或归纳推理,有时叫作归纳逻辑,是从个别性知识,引出一般性知识的推理,是由已知真的前提,引出可能真的结论.它把特性或关系归结到基于对特殊的代表的有限观察的类型;或公式表达基于对反复再现的现象的模式的有限观察的规律.

所谓构造性的方法就是数学中的概念和方法按固定的方式经有限个步骤能够定义的概念和能够实现的方法.从数学产生那天起,数学中的构造性的方法也就伴随着产生了.

例2 已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*),求数列{an}的通项公式.

点拨 由数列的递推关系或求出数列的前几项,对所求得的项观察、分析,寻找规律,从而归纳猜想出数列的通项公式;或按角标依次减小,逐层替代;或通过整理变形,构造出一个新的等比数列,求得数列通项公式.

解答 解法一:(归纳法)

由a1=1,an+1=2an+1(n∈N*),可得

即an=2n-1(n∈N*).

解法二:(构造法)

∵an+1=2an+1(n∈N*),∴an+1+1=2(an+1).

∴{an+1}是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列.

∴an+1=2n,即an=2n-1(n∈N*).

解法三:(构造法)

∵an+1=2an+1(n∈N*), ①

∴an=2an+1+1(n≥2). ②

①②两式相减,得an+1-an=2(an-an-1)(n≥2).

∴{an+1-an}是以a2-a1=2为首项,2为公比的等比数列.

∴an+1-an=2n,∴(2a+1)-an=2n.

即an=2n-1(n∈N*).

解法四:(构造法与归纳法相结合)

由a1=1,an+1=2an+1(n∈N*),可得

an-2an-1=1;

2an-1-22an-2=2;

22an-2-23an-3=22;

……

2n-2a2-2n-1a1=2n-2;2n-1a1=2n-1.

以上n式相加,得

即an=2n-1(n∈N*).

反思 将以上方法融会贯通,通过类比,可以解决关于求数列通项公式的问题.

3.错位相减法

错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式.形如an=bn·cn,其中bn为等差数列,cn为等比数列;列出前n项和Sn,再把所有式子同时乘以等比数列的公比,即q·Sn;然后错一位,两式相减即可.

例3 求数列1,3a,5a2,7a3,…(a≠0)的前n项和Sn.

点拨 数列求和应根据其表示灵活处理.注意系数具有等差、字母具有等比的特点,联想等比数列前n项和公式的推导方法——错位相减法.

解答 若a=1,

则Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n2;

若a≠1,

则Sn=1+3a+5a2+…+(2n-1)an-1. ①

①式两边同乘以a,得(www.xing528.com)

aSn=a+3a2+5a3+…+(2n-1)an. ②

①-②,得

则

综上所述,

反思 这个数列可以看成一个等差数列和一个等比数列的对应项的乘积组成,这种数列我们称为“混合数列”.本题要注意的是分a=1和a≠1两种情况讨论.

4.分类讨论思想法

每个数学结论都有其成立的条件,每一种数学方法的使用也往往有其适用范围,在我们所遇到的数学问题中,有些问题的结论不是唯一确定的,有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究,还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的,这样字母的取值不同也会影响问题的解决,由上述几类问题可知,就其解题方法及转化手段而言都是一致的,即把所有研究的问题根据题目的特点和要求,分成若干类,转化成若干个小问题来解决,这种按不同情况分类,然后再逐一研究解决的数学思想,我们称之为分类讨论思想.

树立分类讨论思想,应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧,做到“确定对象的全体,明确分类的标准”,分层别类不重复、不遗漏地分析讨论.

例4 数列{an}中,a1=1,anan+1=4n,求Sn.

点拨 利用已知条件找出an与an+2的关系,求和时分奇偶讨论.

解答 由anan+1=4n,得an+1an+2=4n+1,∴

∴{a2n-1}与{a2n}各组成公比为4的等比数列,而a1=1,a2=4.

∴n为奇数时,Sn=(a1+a3+…+an)+(a2+a4+…+an-1)=

∴n为偶数时,Sn=(a1+a3+…+an-1)+(a2+a4+…+an)=

反思 考查等比数列的基本性质及前n项和公式的运用.

5.放缩法

所谓放缩法,即:要证明不等式A<B成立,有时可以将它的一边放大或缩小,寻找一个中间量,如将A放大成C,即A<C,后证C<B,这种证法便称为放缩法.

例5 已知数列{an}中,a1=5且当n>1,n∈N时,an=a1+a2+…+an-1.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求证:

点拨 该数列从第二项开始,每一项是其前面所有项之和,于是通项an与一个和有关,所以引入前n-1项和.

解答 (1)设Sn=a1+a2+a3+…+an,

所以当n>1,n∈N时有an=Sn-1.

所以an+1=Sn.两式相减,得an+1-an=Sn-Sn-1=an.于是an+1=2an(n>1,n∈N).

所以a2,a3,a4,…是等比数列,公比为2.

因为a1=5,所以a2=a1=5.

故当n>1,n∈N时,an=5×2n-2.

所以

(2)证明:(放缩法)

反思 在解题中注意项数的初始值,以及数列通项与和的相互转化.

易错解读

易错点 忽视等比数列求和公式的不同情况.

在等比数列求和公式中要注意分两种情况q=1和q≠1讨论.

例6 设数列{an}是等比数列,前n项和为Sn,若S3=3a3,求公比q.

解答 当q≠1时,S3=a1(1+q+q2)=3a1q2,即2q2-q-1=0,解得或q=1(舍去).当q=1时,S3=a1+a2+a3=3a3也成立.所以或q=1.

反思 等比数列求和时,若不能确定q是否等于1,则要分类讨论:

公比q=1时:an=a1,Sn=na1;

公比q≠1时:

经典训练

1.{an}是公比为2的等比数列,且a1+a4+a7+…+a28=100,则a3+a6+a9+…+a30等于___________.

2.数列{an}中,已知a1=m,an=pan-1+q(n≥2),其中p≠1,且q≠0,则an=_________.

3.已知数列{an}中的相邻两项a2k-1,a2k是关于x的方程x2-(3k+2k)x+3k·2k=0的两个根,且a2k-1≤a2k(k=1,2,3,…).则数列{an}的前2n项和S2n=_________.

4.设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d.若ak是a1与a2k的等比中项,则k=(　).

A.2　B.4　C.6　D.8

5.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于(　).

A.80　B.30　C.26　D.16

6.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求此四个数.

7.设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.

(1)求{an},{bn}的通项公式;

(2)求数列的前n项和Sn.

8.已知n∈N*,各项为正的等差数列{an}满足a2·a6=21,a3+a5=10,数列{lgbn}的前n项和是

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求证数列{bn}是等比数列;

(3)设cn=anbn,试问数列{cn}有没有最大项?如果有,求出这个最大项;如果没有,说明理由.