数列概念详解与2n-1项数计算方法

数列是高中代数的重点之一.按一定次序排列的一列数叫作数列.数列中的每一个数叫作这个数列的项.项数有限的数列叫作有穷数列,项数无限的数列叫作无穷数列.数列可以看作一个定义域为正整数集N*或它的有限子集{1,2,…,n}的函数当自变量(项数)从小到大依次取值时所对应的一列函数值.

数列{an}的项an与项数n之间的对应关系叫作这个数列的通项公式.如果给出数列的第1项(或前若干项),并给出数列的每一项与它的前一项(或前若干项)的关系式,这种表示数列的式子叫作数列的递推公式.

方法简述

1.不完全归纳法

不完全归纳法指从一类对象中部分对象都具有某种性质推出这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法.不完全归纳法是从一个或几个(但不是全部)特殊情况作出一般性结论的归纳推理.不完全归纳法又叫作普通归纳法.在研究和解决数学问题时,采用不完全归纳法对结论进行归纳猜测,并在此基础上进行必要的论证是常见的研究方法.

例1 根据下列数列的前几项,写出它们的通项公式:

(1)1,-1,1,-1,… (2) (3)

点拨 根据数列的前几项找到共同的规律,并将该规律一般化:

(1)奇数项为正,偶数项为负,可以考虑用(-1)n+1来实现正负的转换.

(2)将第2项改写成,可以观察到分子和分母各自的规律.

(3)奇数项为负,偶数项为正,从第2项起,分子和分母相差3,而分母的规律比较明显.

解答 (1)an=(-1)n+1或an=cos(n+1)π(n∈N*).

(2)分母上的数分别减去1,得1,4,9,16,…,则分母为n2+1;分子是从3开始的奇数,∴an=

(3)an=

反思 本题属于求数列通项公式的问题,可以通过对个别项进行变形的方法,来发现和总结规律,写出数列的通项公式.

例2 如图所示,第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来(n=1,2,3,…),则第n-2个图形中共有_________条边.

例2图

点拨 第(1)个图由正三角形在每条边上再各扩展出一个三角形变形得到,第(2)个图由正方形在每条边上再各扩展出一个正方形得到,第(3)个图由正五边形在每条边上再各扩展出一个正五边形得到,……,第(n-2)个图形应该是由一个正n边形在每条边上再各扩展出一个正n边形得到.

解答 第(1)个图:3×2+3×2;

第(2)个图:4×2+4×3;

第(3)个图:5×2+5×4;

第(4)个图:6×2+6×5;

……

第(n-2)个图:n·2+n·(n-1)=n(n+1)(n≥2,n∈N*).

反思 本题在归纳一般规律的过程中,不要急着将最后的运算结果算出来,而是要总结构造的一般规律,从而进行研究和推广.

2.特殊—一般—特殊法

数学问题的研究,可以经历“特殊—一般—特殊”的过程.通过研究发现数列的一般规律,然后在一般规律的指导下,再深入认识某一个特殊项,是我们研究数列的通项时经常采用的方法.

例3 已知数列{an}满足,求a20.

点拨 根据数列的递推公式,先尝试列出若干项,对这些特殊项进行分析,可以发现该数列具有周期性,所以利用数列的周期性的一般规律,来研究特殊项的值.

解答 由由此可知,数列{an}是周期变化的,且周期为3,所以可得a20=a2=-3.

反思 尝试根据数列的递推公式写出数列的前若干项,可以帮助我们更加直观地发现数列的一般规律,从而对解决问题提供一定的帮助.

3.运用定义

定义是认识主体使用判断或命题的语言逻辑形式,确定一个认识对象或事物在有关事物的综合分类系统中的位置和界限,使这个认识对象或事物从有关事物的综合分类系统中彰显出来的认识行为.根据相关的数学定义来研究问题的方法,在数学研究问题的过程中是一种常见的有效方法.

例4 设数列{an}的前n项和为Sn,点均在函数y=3x-2的图象上,求数列{an}的通项公式.

点拨 根据数列中前n项和的定义,明确an与Sn的关系,就可以利用定义来进行研究.

解答 依题意,得,即Sn=3n2-2n.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5;

当n=1时,a1=S1=1.

所以an=6n-5(n∈N*).

反思 通过对概念的理解和运用,能够帮助我们解决相应的问题.(www.xing528.com)

4.知识迁移法

知识迁移就是“一种学习对另一种学习的影响”.在学习这个连续过程中,任何学习都是在学习者已经具有的知识经验和认知结构、已获得的动作技能、习得的态度等基础上进行的.这种原有的知识结构对新的学习的影响就形成了知识的迁移.所谓知识迁移法就是利用新旧知识间的联系,进行新旧知识对照,由旧知识去思考、领会新知识,学会学习的方法.

例5 在数列{an}中,其前n项和,试问该数列有没有最大的项?若有,求其项数;若没有,请说明理由.

点拨 将函数的单调性定义进行知识迁移,对数列的单调性进行相应的研究.通过作差的方法比较数列相邻两项的大小关系,来分析数列的单调性,从而确定数列的最大项.

解答 a1=S1=,

当n≥2时,

由于a1也适合,因此

当n≥2时,令an≥an-1,即,得n≤10.

即当2≤n≤9时,an>an-1;当n=10时,an=an-1;当n≥11时,an<an-1.

故该数列第9项或第10项最大.

反思 本题利用数列的函数性质来研究问题,通过将函数单调性的知识迁移到数列当中,研究数列的单调性,从而解决问题.

易错解读

易错点1 概念理解不全面,忽视对第一项的检验.

已知和Sn,求项an,则

例6 已知数列{an}的前n项和Sn=n2-7n-8,求出数列{an}的通项公式.

解答 当n=1时,a1=S1=-14;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-7n-8- (n-1)2-7(n-1)-8 =2n-8.

∵n=1时,2n-8=-6≠a1,

∴an=

反思 已知数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系式,求an时应注意分类讨论的应用,特别是在使用an=Sn-Sn-1进行转化时,要注意分n=1和n≥2两种情况进行讨论.

易错点2 项数计算错误.

掌握项数的计算方法:项数=(末项—首项)÷公差+1.

例7 数列5,7,9,11,…,2n-1的项数是(　).

A.n　B.n-1　C.n-2　D.n-3

解答 5=2×3-1,7=2×4-1,9=2×5-1,……,2n-1=2×n-1.

从3到n,连续(n-2)个自然数,故选C.

反思 在解答数列问题时,及时准确地“数清”数列的项数是必不可少的.在数项数时,要把握数列的项的构成规律,找准数列的通项公式的特点并找准项数.

经典训练

1.数列1,3,3,5,5,7,7,9,9,…的一个通项公式是________.

2.已知数列{an}的前n项和,则其通项an=________.

3.已知,则an=_________.

4.数列1,3,6,10,…的一个通项公式是(　).

A.n2-n+1　B.　C.n(n-1)　D.

5.数列是这个数列的(　).

A.第9项　B.第10项　C.第11项　D.第12项

6.各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且点(an,Sn)在函数的图象上,求数列{an}的通项公式.

7.设数列{an}的通项公式是an=n2-8n+5,则(1)70是这个数列中的项吗?如果是,是第几项?(2)写出这个数列的前5项.

(3)这个数列所有项中有没有最小的项?如果有,是第几项?

8.已知数列{an}的通项公式,求数列前30项中的最大项和最小项.