正弦定理与余弦定理的详细解释和应用

余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.

正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即

解斜三角形:由斜三角形的六个元素(三条边和三个角)中的三个元素(至少有一个是边),求其余三个未知元素(可能有两解、一解或无解)的过程,叫作解斜三角形.

本节利用正、余弦定理来解斜三角形.

方法简述

1.数形结合思想

在解决数学问题时,根据问题的背景和可能性,使数的问题借助形去观察,而形的问题借助数去思考,采用这种“数与形结合”的方法来解决数学问题的策略,我们称之为“数与形结合的思想方法”.

它的主要特点:数⇒形⇒问题的解决;形⇒数⇒问题的解决.

事实上,数学作为客观事物的一种存在形式,其中任何问题都具备“形”的因素.从理论上说,任何一个数学问题都可发掘其中的“形”,并发挥它的直观作用,从而给出它的一些具有实体感的解答.几何中“形”的重要作用是不言而喻的,就代数的问题来说,若注意充分发挥“形”的作用,其效果往往比进行纯数学理论的抽象、烦琐,甚至枯燥的推演要好得多.

数与形结合的基本思路是:根据数的结构特征,构造出与之相适应的几何图形,并利用图形的特性和规律,解决数的问题;或将图形信息部分或全部转换成代数信息,削弱或清除形的推理部分,使要解决的形的问题转化为数量关系的讨论.

例1 若AB=2,AC=2BC,则S△ABC的最大值为________.

点拨 数与形的结合,构造底边AB上高线的函数解析式,求出S△ABC的最大值.

例1答图

解答 如图所示,建立直角坐标系,点B、点A的坐标分别为B(0,0),A(2,0).设点C的坐标为C(x,y).

由

化简,得

其中,

所以,当时,

h(x)取最大值h(-2)=22.

那么,△ABC的面积最大值=

反思 本题求解方法与过程有多样性.

也可以设BC=a,则AC=.

由余弦定理,得

可求得

那么

当且仅当a2=12,即时,取得最大值.

例2图

例2 如图所示,在△ABC中以点B为圆心,线段BC的长为半径的半圆分别交AB所在直线于点E、F,交线段AC于点D,求弧的长.(精确到0.01)

点拨 求弧长的关键是求出弧所对的圆心角的大小,再利用弧长公式求解.

例2答图(a)

解答 解法一:联结BD,如图(a)所示.

在△ABC中,由余弦定理,得

所以

由正弦定理,得,所以

在△DBC中,因为BD=BC,故

所以

例2答图(b)

解法二:如图(b)所示,以点B为坐标原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,联结BD.

由条件可得点A的坐标为(-2,0),点C的坐标为(1,1).

故直线AC的方程为

圆方程为x2+y2=2.

联立得

解得或x=1,则点D的坐标为

所以

故向量的夹角∠DBC的余弦值为

即

所以,

反思 本题有两种解法,一种是利用正余弦定理求出圆心角,另一种是通过建立直角坐标系求解点坐标,利用向量夹角公式求出圆心角.

2.三角形边角转换法

利用正弦定理和余弦定理等有关定理,将三角形的边、角相互转换以达到便利研究三角形有关问题的方法就是常用的边、角转换法.

用正弦定理将边转换到角,可以使原题中的代数与三角函数综合问题转化为纯三角比问题,便于利用三角公式进行变形,求得有关角的三角比关系或值.

利用正弦定理、余弦定理将角转换为边,又可以使三角比问题转化为代数问题,运用代数恒等变形得到边之间的关系,并为利用代数函数有关性质解决问题创造了有利条件.

在三角形中关于边、角的主要关系式有:

(1)A+B+C=180°;

(2)a+b>c,a-b<c(a,b,c对等地位,以下同);

(3)A>B⇔a>b;

(4)正弦定理

(5)余弦定理:c2=a2+b2-2abcosC;

(6)a2+b2=c2⇔C为直角⇔cosC=0;

a2+b2<c2⇔C为钝角⇔cosC<0;

a2+b2>c2⇔C为锐角⇔cosC>0;

(7)sinA=sin(B+C);cosA=-cos(B+C);

(8)三角形面积公式:

例3 若△ABC满足a(bcosB-ccosC)=(b2-c2)cosA,试判断该三角形的形状.

点拨 由于该题条件是关于边或角的齐次式,可以采用两条以下证明思路:

①利用余弦定理,统一为边关系;(www.xing528.com)

②利用正弦定理,统一为角关系.

解答 解法一:(统一为边关系)

由余弦定理,得

即b2(a2+c2-b2)-c2(a2+b2-c2)=(b2-c2)(b2+c2-a2).

变形为2(b2-c2)(a2-c2-b2)=0.

所以b2=c2或a2=b2+c2.

即△ABC是等腰三角形或直角三角形.

解法二:(统一为角关系)

由正弦定理,得

sinA(sinBcosB-sinCcosC)=(sin2B-sin2C)cosA.

故

从而sinAcos(B+C)sin(B-C)=sin(B+C)sin(B-C)cosA.

于是sin(B-C)=0或sin(B+C-A)=0.

故B=C或B+C=A.

故△ABC是等腰三角形或直角三角形.

反思 一般地,我们可以利用正弦定理或余弦定理,将已知关系中的边转换为角,或角转换为边,然后从角或边的关系判断三角形的形状.

例4 在△ABC中,已知三边a、b、c的对应角A、B、C满足

(1)判断△ABC形状;

(2)若a=2,B=x,当x为何值时有最小值.

点拨 (1)化切为弦,再将三角比转化为B、C关系;

(2)利用还原法转化为代数函数,通过研究其单调性,求最值.

解答 (1)因为A+B+C=π,所以sin(B+C)=sinA.

原式可化为

所以2sinBsinC=cosBcosC+sinBsinC.

即cosBcosC-sinBsinC=cos(B+C)=0,得

故△ABC为直角三角形.

(2)在Rt△ABC中

有b=2sinx,c=2cosx.

所以

令

所以

又由于上单调递增,因此在区间上单调递减.

由,得

仅当时等号成立.

故

反思 令sinx+cosx=t,这是一种有用的代换,它可以将式中sinx+cosx,sinxcosx这样的式子转化为代数,这样就可以把三角问题转化为代数问题,利用函数方法处理问题了.

方法点悟:三角形边角转换法是研究三角形有关问题的基本方法.三角形的边和角的合理转换有利于利用三角函数或代数方程解决问题,因此熟练掌握公式是转换的关键.

易错解读

易错点1 多解或漏解.

解三角形的过程中,要注意各个角之间的大小关系,并要检验内角和,防止出现漏解多解的情况.

例5 已知在△ABC中.求cosC.

反思 在解三角形时,三角形解的个数是一个很容易被忽视的问题,本题在解题过程中易犯下列错误:由

易错点2 基本公式不熟练.

边角转换时,一般采用两种做法:①利用余弦定理,统一为边关系;②利用正弦定理,统一为角关系.注意根据实际问题灵活使用.

例6 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且

(1)求的值;

(2)若,求bc的最大值.

当且仅当,故bc的最大值是

反思 解斜三角形中求三角形一边长或求三角形面积可用正弦定理、余弦定理来处理,除记清两定理内容外,两公式易用错.

经典训练

1.在△ABC中,若,C=150°,BC=1,则AB=________.

2.在△ABC中,三个角A、B、C的对应边长分别为a=3,b=4,c=6,则bccosA+cacosB+abcosC的值为________.

3.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC的大小为(　).

4.设锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=2bsinA.

(1)求B的大小;

(2)求cosA+sinC的取值范围.

5.在ABC中,a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边.若求△ABC的面积S.

6.如图所示,△ACD是等边三角形,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD交AC于E,AB=2.

(1)求cos∠CBE的值;

(2)求AE.

第6题图

7.已知△ABC的外接圆的半径为内角A、B、C的对边分别为a、b、c,向量

(1)求角C;

(2)求△ABC的面积S的最大值.