学习单利和复利的计算方法：探究利率的意义和计算

(一)单利与复利

1.单利

单利是指按照固定的本金计算的利息。按照单利计算的方法,只要本金在贷款期限中获得利息,不管时间多长,所生利息均不加入本金重复计算利息。这里所说的“本金”是指贷给别人以收取利息的原本金额。“利息”是指借款人付给贷款人的超过本金部分的金额。

单利利息的计算公式为:

其中,I代表利息,P代表本金,i代表利息率,t代表时间。

若用FV代表本息之和,则

例如,一笔期限5年,年利率为6%的10万元贷款,按照单利的计息方式,到期后应支付的利息与本息和为:

2.复利

复利是指在每经过一个计息期后,都要将所生利息加入本金,以计算下期的利息。这样,在每一个计息期,上一个计息期的利息都将成为生息的本金,即以利生利,也就是俗称的“利滚利”。

复利的计算公式是:

其中,n代表期数。

以上题为例,如果采取复利的计息方式,到期后应支付的利息与本息和为:(www.xing528.com)

用单利法计算利息手续简便,易于计算借款成本,有利于减轻借款者的利息负担。用复利法计算利息,有利于加强资金的时间观念,有利于发挥利息杠杆的调节作用和提高社会资金的使用效率。

(二)终值与现值

如果今天给你100元和10年以后给你200元,你会选择哪一个呢?为了回答这个问题,需要用某种方法来比较不同时点上的货币价值,由此引入两个经济学的概念——现值(PV)和终值(FV)。我们在制定经济决策时,必须考虑货币的时间价值、货币的机会成本。由于货币在不同的时间有不同的价值,所以不同时间的货币收支不宜直接进行比较,只有把它们换算到相同的时间上,才能进行比较。人们习惯于把货币资金现在的价值简称为现值,用PV表示;把货币资金在未来某个时间的价值称为终值,用FV表示。终值又称将来值,是现在一定量的资金折算到未来某一时点所对应的金额,俗称本利和。现值又称本金,是指未来某一时点上的一定量资金折算到现在所对应的金额。现值和终值是一定量资金在前后两个不同时间上对应的价值,其差额即为资金的时间价值。利率是资金的时间价值的一种具体表现,现值和终值对应的时点之间可以划分为若干期,相当于计息期。

一般来说,利息可以看成资金的时间价值,这是因为即使你将资金捂在手中,不做任何的投资,这笔资金本来就有一笔很确定的收益:存款的利息收入。这笔收益并不因为将资金捂在手中而消失,这就是你将资金捂在手中的机会成本,也是资金的时间价值。有了利息,也就等于有了利率,现值与终值就可以相互转化了(一般均以复利计息)。

为了解决上面这个问题,可以这样考虑:如果今天把100元存入银行,假设银行存款利率为10%,这100元钱10年后的本息和是多少(即这100元钱10年后的终值是多少)?按照式(5-5),10年后的终值为:

通过计算,可知今天的100元的价值等于10年后的259.37元的价值,也就是说今天的100元在利率为10%的水平下,10年后的终值是259.37元,所以应该选择得到今天的100元,而不应该选择得到10年后的200元。我们还可以这样认为,在利率是10%的条件下,10年后的259.37元在今天的现值是100元。

这里需要注意的是,做出选择的关键是利率,如果利率发生变化,做出的选择可能不同。如果银行存款的利率变为5%,100元在10年后的终值则变为162.89元,在这种情况下,你应该选择得到10年后的200元,而不应该选择得到今天的100元。当然,现值与终值是最简单的货币时间价值,现实生活中的住房分期付款、养老金、长期储蓄计划等都要比现值、终值复杂得多。

拓展阅读5-4

复利的魔力

1626年,荷兰人用价值约24美元的东西,从印第安人手里买下了纽约。当时买到的土地,总面积约为22平方英里(约57平方千米)。这么便宜地把纽约卖掉,人们通常认为印第安人是上了荷兰人的当,但是,如果我们用复利终值公式计算一下,却可能得出印第安人是最为精明的商人的结论。假如当时印第安人把这24美元存入银行,按每年6%的复利计算,那么到2008年大约就变成了1 051亿美元;按每年7%的复利计算,那么到2008年大约是37 621亿美元;按每年8%的复利计算,那么到2008年大约是130万亿美元。而美国2007年的国民生产总值是11.6万亿美元。如果这24美元能够每年得到8%的收益率,他的后代现在用这笔钱不要说可以买回纽约,就是买回整个美国也绰绰有余。另外,我们可能还会注意到一个问题,就是收益率即使有很小的差别,在很多年后计算的终值也会差别很大。这就是复利增长的魔力所在,因此爱因斯坦把复利称为“有史以来最伟大的数学发现”。