理论凸度与有效凸度详解

债券的凸度从理论上讲是收益率曲线的二阶变化，而之前我们研究的久期反映的是债券价格相对于到期收益率之间的一阶变化。在利率波动较小的情况下，债券利率敏感性的大部分可以被久期所解释，但如果利率波幅较大的话，那么用久期去反映利率风险就显得不够充分，于是我们就寻求二阶变化（也叫做曲率变化）来补充反映。理论凸度的计算公式如下：

式中，PVCF表示当期每笔现金流量的现值；

PVTCF表示当期所有现金流量的现值总和；

Y表示到期收益率；

f表示每年的利息支付频率。

对于零息债而言，其凸度可以简化为：

对于一个含权债而言，其理论凸度在某些利率点变得不适用，因为正的凸度通常会变成负数。正凸度对投资人是有利的，利率上升幅度和下降幅度相同，债券价格下降的幅度要小于价格上升的幅度；反之，负凸度是对投资人不利的，利率上升幅度和下降幅度相同，债券价格下降的幅度要大于价格上升的幅度。我们通过凸度的原始定义出发来计算所谓的有效凸度：

至于有效凸度，与有效久期一样，我们也希望将它放在可转换债券中进行讨论和分析。利用第一节例子中的债券作为案例。由于Excel中并没有现成的关于Convexity的计算公式，所以我们不妨在VBA中事先编辑一个CONVEXITY的函数。

Function CONVEXITY（settlement As Date，maturity As Date，coupon As Double， yield As Double，frequency As Integer）As Double

Dim num＿period As Double，delta＿time As Double，second＿order As Double，i As Integer，Bond＿Price As Double

num＿period＝frequency×（maturity－settlement）／365

delta＿time＝num＿period－Int（num＿period）

second＿order＝0(www.xing528.com)

For i＝0To Int（num＿period）

second＿order＝second＿order＋（i＋delta＿time）×（i＋delta＿time＋1）×

（coupon×100／frequency）／（1＋yield／frequency）＾（i＋delta＿time＋2）

Next i

second＿order＝（second＿order＋num＿period×（num＿period＋1）×100／（1＋yield／frequency）＾（num＿period＋2））／frequency＾2

Bond＿Price＝Bond＿Clean＿Price（100，coupon，yield，（maturity －settlement）／365，frequency）

CONVEXITY＝second＿order／Bond＿Price

End Function

在以下Excel表中的H列中是利用CONVEXITY函数对凸度进行的计算，I列是应用了有效凸度的计量方法进行计量，可以发现两者区别并不大，这是由于我们所计算的债券并不含有期权性质所致。若债券含权，则只能应用有效凸度的计量方法（基于凸度的定义）。

图9．3

在以上的结果中，我们可以验证关于久期的一些基本结论：利率下降，凸度增加；利率上升，凸度降低。请读者试着借用这个Excel模板，验证票息下降、凸度增加以及到期日增加、凸度增加这两个结论，并观察凸度随着到期日增加的速度如何变化。