BS定价公式和期权的希腊字母Greeks计算

综上所述，我们利用了各种二叉树模型对欧式或美式的看涨或看跌期权进行了定价。尽管二叉树提供了一种容易理解期权定价原理的方法，但有封闭解的Black－Sholes公式仍然是欧式期权定价理论的核心内容。一方面，我们知道，在一定条件下各种二叉树定价的结果随着步长的缩短逼近于由BS公式的定价结果；另一方面，有了定价的解析表达式，对于各种定量分析都带来了极大的便利。可是试想，对于美式看跌期权我们是无法利用BS公式进行定价的，只能借助二叉树或盟特卡罗模拟等其他模型。单单是进行期权定价就可能会耗费不少时间，如果进一步希望进行参变量敏感性分析的话，对计算机空间与时间的要求就都会提出一定的挑战。那么对于欧式期权而言，我们就完全没有必要在二叉树的框架下进行这些分析了。

首先，我们给出原始的BS公式：

C＝SN（d1）－Xexp（－r T）N（d2）

d1＝［ln（S／X）＋（r＋0．5σ2）T］／σ

d2＝［ln（S／X）＋（r－0．5σ2）T］／σ

之后，经过Merton的扩展，将红利因素纳入了考虑范围，并用于给其他期权定价，如外汇期权等。只需将初始的BS公式中的股票即期价格S用Sexp（－q T）代替就行了，d1和d2的表达式也作相应的修改。(www.xing528.com)

然后，我们希望在对Black－Scholes公式有一定了解的基础上，对其各种定价参数进行敏感性分析，从而得出欧式期权的各种Greeks。BS公式的输入参变量有股票现值S、利率r、期权有效期限、波动率等。Delta（Δ，描述股价变化对期权价值的影响），rho（ρ，描述利率变化对期权价值的影响），theta（θ，描述期权有效期变化对期权价值的影响），vega（ν，描述波动率变化对期权价值的影响）；Gamma（γ，描述股票价格变化对delta的影响，实际上期权价值是对股价的二阶偏导数。事实上，BS所满足的偏微分方程将这些Greeks联系在了一起：θ＋r SΔ＋0．5σ2S2γ＝r C（t，S，σ），其中的C（t，S，σ）表示欧式看涨期权的价值（读者不妨将BS公式带入该方程中进行验证看其是否成立）。这些希腊系数的计算公式如下：

下面的Excel表将给出各种Greeks的计算结果。

注：需要讲述如何在Excel中输入希腊字母。要在Excel中输入希腊字母，首先需要了解这些希腊字母的等价字母，例如m和s的小写就是μ和σ，而S和D又是ε和Δ（Delta）的大写。若希望在Excel或Word中输入μ，只要先输入m，选中m并通过字体选项将字体从Arial更改为Symbol就可以了。

在图8．7中，我们给出了欧式看涨期权的Greeks计算过程。事实上读者必须事先了解这些希腊字母在表外的计算公式，只要在Excel中根据计算公式直接打入公式即可。