欧式期权详解：定义，特点及JR二叉树模型定价方法

欧式期权是最简单的期权，期权持有人有权在到期日以固定的执行价向卖方购买股票。欧式期权的最大特点就是只有在到期日可以行权。对这个特点的进一步解释是：期权的到期价值是路径独立的，也就是说，到期的价值只和到期时的价格相关，与从初始价值是如何演变为那个到期价格的路径是没有关系的。对于这样的期权，蒙特卡罗模拟以及二叉树模型都是可行的。

在引言中，我们基本上已经了解了如何在Excel中构建一个二叉树。但如果我们对JR树的生成稍做修改，如股票价格的变化是一个乘数，而不是一个加数，那么就能够得到一个新的JR二叉树。在实际应用中，新的JR树参数表示为：

其中，r是无风险复利率，q是股票的连续股利率，σ是年化的波动率，δt是时间步长。我们可以发现，在JR树中的股价变动由两项组成：第一项是风险中性的漂移项（drift term），第二项则是基于简单的二叉树波动项（volatility）。事实上，可以证明这样生成的价格树是风险中性的，且股票最终价格分布在期限非常多的情况下会趋近对数正态分布。

下面我们就举一个比较完整的例子来说明如何利用新的JR二叉树对欧式期权进行定价。

假设股票价格的现值S为100，波动率为20％（年化），期权为欧式看涨期权，它的执行价为95，有效期为0．5年。还假设股票每年有3％的红利，无风险连续复利为8％。希望利用JR二叉树模型对该欧式期权定价。下面将构造九期二叉树来定价。参数及二叉树如图8．2所示：

图8．2

事实上，由于讨论的是欧式期权，故只需关注股价的终值，即K列中的值。可以通过下面的公式得到看涨期权对应于每个中期价格的期权价值：

V＝Max（（S－X），0），其中X就是执行价（放在A5中），S就是每一个中期的股票价格（这里共有10个，放在K20～K29中），而计算的结果放在了L20～L29。(www.xing528.com)

下一步就是要计算看涨期权收益的期望值，并将其用无风险收益率折现。因此需要看涨期权的每一种收益发生的概率，实际上也就是从初始价格演变到最终价格的概率，这些值放在M20～M29中，其中M20中的公式是：＝COMBIN （＄C＄13，A20）＊＄F＄10＾＄C＄13。最后的两项给出了任一序列的概率（1／2＾9），COMBIN函数给出了每一个看涨期权收益的路径数。于是10个中期收益以及其相关概率如下：

表8．1

期权收益的期望值是各个收益的加权平均，并用无风险利率折现得到风险中性定价。因此，在单元格F14中通过公式“＝EXP（－C6＊C10）＊SUMPRODUCT （L20：L29，M20：M29）”给出看涨期权的当前价值。

利用该模型同样可以计算欧式看跌期权。只要将L20～L29中的公式修改成：

V＝Max（X－S，0）。我们通过C15中的一个参数iopt将看涨及看跌期权的到期价值统一为一个表达式：V＝Max（iopt＊（X－S），0）。那么L20实际表达式就是：＝MAX（（K20－＄C＄5）＊＄C＄15，0）。

问题：考克斯、罗斯和鲁宾斯坦（CRR）提出了参数的可选择性，从而创建了一个风险中性的环境。价格乘数u和d只依赖于波动率σ和时间步长δt，而与漂移项无关：

这些参数反映的是δt期间内的股票价格变化波动率，关键是要能够计算出风险中性下上涨的概率和下跌的概率。请读者在理解上面例子的基础上试着模仿表格计算同样的一个欧式期权当期价值。