构建利率二叉树的步骤和方法

构建利率二叉树的基本思想与前面所说的bootstrapping非常类似，都是通过一年期债券、两年期债券、三年期债券等来依次求出相应期限的利率。

首先，我们可以从一年期的债券价格得出一年期的即期收益率，这样就有了r0。然后，我们再来看一年后的远期利率，在这里的求解方法是试错法（我们可以用Excel中的单变量求解来计算，见下面的例子）。先假设一个r L值，于是也就有了r H值。观察市场上两年期的债券，将债券第二年支付的票息和本金分别按r L和r H折现到第一年年末，并求出期望值，因为利率二叉树假设上升和下降的概率都为1／2，因此这个期望值为：

这个值再加上第一年的票息，用r0折现到当前时点，算出现值：

将PV与两年期债券价格比较。如果PV小于债券价格，则说明我们选取的r L过大，应将其变小后再试；反之，则应选用较大的r L。如此这般，直到PV正好等于债券价格。

【例5．2 建立利率二叉树】

本例中，我们使用例5．1中的债券信息来建立一个利率二叉树。假设波动率为10％。

图5．5显示了这个模型，我们将一步步来构建利率二叉树。

第一棵树（图上半部门）就是我们将要构建的利率二叉树。第一年利率为8．47％，可以根据一年期限债券简单算出来。对于以后几年，我们先将最近的那个利率设为1％（单变量求解要求有一个初始数值），然后，较高的利率为较低的利率乘以e2σ，如C20中公式所示（注意到我们用“＄”符号固定了B17单元格，这样在复制C20公式到其他地方的时候就不会改变对单元格B17的引用）。然后，将C20中的公式复制到这棵树的其他区域（最低的那个利率始终为1％）。

图5．5

第35行中要输入现金流，后来将会说明如何在这一行输入数据。当前时点没有现金流，所以设为0。

第二棵树（图中下半部分）计算的是现值。单元格B39计算的是债券现在的价值，公式为：＝（（C39＋C40）／2＋C＄35）／（1＋B20）。单元格C39和C40中分别计算在两种利率情形下债券一年后的价值。将这两个数值取平均，加上一年后收到的现金流，再按即期利率折现，即为债券现在的价值。我们将B39中的公式复制到这棵树的其他区域。

下一步我们来计算第二年的利率。两年期债券票息为9。所以在C35中输入9，代表第一年年末会收到票息。D35中输入本金加票息：109。此时， B39中的数值变为107．68，这个数字等于（（107．68＋107．92）／2＋9）／（1＋8．47％）。(www.xing528.com)

接下来，在“数据”菜单中选择“模拟分析——单变量求解”，将会显示如下对话框。在“目标单元格”中选择B39，在“目标值”中输入99．64（两年期债券价值），在“可变单元格”中选择C21。点击确定，求解器将会求解使得目标单元格中数值等于目标值时的可变单元格的值。

图5．8显示了计算结果。这样我们就计算出了第二年的利率。

图5．6

图5．7

图5．8

接着，将三年期债券的现金流输入第35行，使用同样的方法计算第三年的远期利率，计算结果如图5．9所示。

图5．9

图5．10

重复这一过程，即可建立十年期的利率二叉树（图5．11）。

图5．11