时间序列的平稳性、自相关性和白噪声的检验

（1）平稳性检验

通常，如果时间序列｛r（t）｝满足（a）期望和时间无关（b）两个随机变量之间的协方差仅与时间间隔相关，那么称该时间序列是弱平稳的。在很多金融理论和实务中通常都假设资产的收益率是满足弱平稳性的。而在实际中，弱平稳性意味着数据的时间图显示出T个值在一个常数水平上下以相同的幅度波动。

这就给我们带来一个最直接的问题，我们的金融市场中的数据是否满足弱平稳性？于是检验经济金融数据的平稳性显得非常关键。实际工作中，有两个办法：其一，利用统计学检验的方法检验时间序列是否满足平稳性；其二，通过画图来观察。

（2）自相关性检验

两个随机变量X和Y的相关系数定义为

其中μX和μY分别是X和Y的均值，并且假定方差是存在的。这个系数度量的是X和Y线性相关性的程度。若其为0，则表示X和Y不相关。当我们有时间序列样本时，相关系数可以由它对应的样本系数估计出来：

自相关函数（ACF：Auto correlation function）

考虑弱平稳收益率序列rt，当rt与它的过去值rt－m线性相关时，可以把相关系数的概念拓宽至自相关系数。rt和rt－m的相关系数称为rt的间隔为m的自相关系数，通常记为ρm。在弱平稳的假定下，它只是m的函数，具体地说，定义：

从该定义式看，显然，一个弱平稳序列rt是前后不相关的当且仅当对所有的m＞0，ρm＝0。对一个给定的收益率样本，设r－是样本均值，即r－＝。那么的间隔为m的样本自相关系数定义为：(www.xing528.com)

对任意固定的正整数m，是渐近服从正态分布N（0，1／T）的。实际运用中，我们通常用来检验H0∶ρm＝0，Ha∶ρm≠0这样的假设。对有限的样本， 是对ρm的有偏估计，偏差的阶数是1／T。如此，当样本量较小的时候这个偏差是不容忽视的，但大多数金融应用中，T是相当大的，故这个偏差并不严重。

我们称，…为rt的样本自相关函数（ACF）。这个函数在线性时间序列中起着重要作用。事实上，一个线性时间序列模型可完全由其ACF决定，线性时间序列的建模就是用样本ACF来刻画数据的线性动态关系的。

（3）白噪声检验

如果时间序列｛rt｝是一个均值和方差有限、独立同分布的随机变量序列，则称该时间序列为白噪声。若｛rt｝还服从均值为0、方差为σ2的正态分布，则称这个序列为高斯白噪声。对于白噪声序列，自相关系数为0。在实际应用中，如果所有样本自相关函数接近于0，则可以认为序列是白噪声序列。

线性时间序列

若时间序列｛rt｝能写成rt＝μ＋，其中μ是rt的均值，φ0＝1，而｛at｝是白噪声序列，则称｛rt｝为线性序列。其中φi系数决定了rt的动态结构，我们常常称这些系数为rt的φ权重。我们很容易得到E（rt）＝μ，Var（rt）＝，间隔为m的自动协方差

其中φ0＝1，m≥0。线性时间序列模型就是用来描述rt的φ权重的经济计量和统计模型。