数学思考的重要性：鸽巢原理的应用和数形结合思想的探讨

【知识框架】

【知识梳理】

1.常用的数学思想方法

数学思想方法可以帮助我们有条理地思考，简捷地解决问题。常见的数学思想方法有：

（1）转化法

转化法是指在解答一些复杂的、陌生的问题时，可以根据题目中存在的相等关系，把新问题通过换角度、换方式、换叙述等办法进行变化，把新的问题和复杂的问题转化为已学的问题或容易解决的问题，最终使问题得到解决的方法。

（2）数形结合法

数形结合法就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，把复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而优化解题途径的方法。

（3）对应法

实际问题中存在着一些相关联的对应量，它们之间存在着一对一的联系。解题时通过观察、比较和分析，找准对应量之间的对应关系，就能实现由未知到已知的转化，这种运用对应关系解题的方法就是对应法。

（4）列表法

用表格的形式表示题中的已知条件和问题，使条件和条件之间，条件和问题之间的关系条理化、明朗化，有利于探求解题的思路，从而达到解决问题的目的，这种方法就是列表法。

（5）观察法

观察法是通过观察数学问题中数字的变化规律、位置特点、图形特征，条件与结论之间的关系，题目的结构特点等，从而发现其中的数量关系，找到问题答案的方法。

（6）分析法

分析法是一种从问题出发，逐步追溯到已知条件，进而解决问题的逆向思维方法。简单地说，就是由“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”。

（7）综合法

综合法是一种从已知条件出发，逐步推出要解决的问题的正向思维方法。简单地说，就是由“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”。

除上述常见的数学思想方法，还有分析综合法、画图法、枚举法、割补法、分割法、添补法、凑整法、尝试法、比较法、化归法、倒推法、类比法、设数法、归纳法、操作法、对比法、等值变换法、抓不变量法、分段计算法、分类讨论法、找基准数法、集合表示法、移多补少法、排列组合法、假设法、画线段图法、最优化法、建模法、方程法、统筹法、消元法、画辅助线法、排除法等。

2.数学广角

（1）找规律

根据给定的图形或数字，探索其中简单的排列规律，解决生活中的实际问题。

（2）推理

三个事物的推理：对三个事物进行推理判断时，要找准事物之间的逻辑关系，分析后再进行判断。（三个事物的推理可以借助连线的方法进行分析与判断）

在方格（4×4）中填数：先看哪一个空格所在的行和列出现了三个不同的数，这样就能确定这个空格里应填的数，以此类推，就能把方格里的数填完整。（确定好填数的顺序是解决在方格中填数问题的关键）

（3）排列组合（搭配问题）

排列：先确定第一个位置，再确定第二个、第三个……位置，有几种可能，就有几种排列法。如从1～4这4个数字中选取3个组成三位数。

组合：按照一定的顺序把搭配的事物两两相连，有几条线就得到几个组合。

注意：排列与事物的顺序有关，组合与事物的顺序无关。

（4）集合（重叠问题）

重叠问题的解题策略：先从已知条件入手进行分析，画出集合图，再借助集合图进行思考。

重叠问题的解题方法：方法一，两部分相加后减去重复部分；方法二，一部分减去重复部分，再加上另一部分。

（5）假设法（鸡兔同笼）

解答“鸡兔同笼”问题可以用列表法和假设法。假设法是先做出某种假设，再根据这种假设进行计算、推理和解答。当题中所给数据比较大，不易采用列表法时，用假设法比较简便。

（6）统筹优化（沏茶问题、烙饼问题、对策论问题、找次品问题）

沏茶问题：合理安排时间——思考完成一项工作要做哪些事情；分析做每件事各需要多长时间；合理安排工作的顺序，明确先做什么，后做什么，哪些事情可以同时做（同时做不同的事情能节省时间）。

烙饼问题：烙饼的最优方案是每一次尽可能地让锅中按要求放最多的饼，这样既不会浪费资源，又能节省时间。[若每次最多烙2张饼，则烙饼所需要的最短时间=烙饼张数×烙每面饼所需要的时间（烙1张饼除外）]

对策论问题：解决同一个问题有不同的策略，要学会寻找最优方案。（可以用枚举法选择最优方案）

找次品问题：找次品问题的最优解法一般是把待测物体分成3份，每份要分得尽量平均。能平均分成3份的，就平均分；不能平均分成3份的，也应使多的一份与少的一份只相差1。在不知道次品是轻还是重的情况下，需要再多称一次。

（7）数学建模（植树问题、鸽巢问题）

①植树问题

非封闭线路上的植树问题：

1）两端都种

棵数=间隔数+1=全长÷树距+1

全长=树距×（棵数-1）

树距=全长÷（棵数-1）

2）一端种，一端不种

棵数=间隔数=全长÷树距

全长=树距×棵数

树距=全长÷棵数

3）两端都不种

棵数=间隔数-1=全长÷树距-1

全长=树距×（棵数+1）

树距=全长÷（棵数+1）

封闭线路上的植树问题：

棵数=间隔数=全长÷树距

全长=树距×棵数

树距=全长÷棵数

②鸽巢问题

1）“鸽巢原理”（一）：把m个物体任意放进n个鸽巢中（m和n是非0自然数，且m＞n），那么一定有一个鸽巢中至少放进了2个物体。

2）“鸽巢原理”（二）：把多于kn个的物体任意放进n个鸽巢中（k和n是非0自然数），那么一定有一个鸽巢中至少放进了（k+1）个物体。

3）应用“鸽巢原理”解题的一般步骤：

a.分析题意，把实际问题转化成“鸽巢问题”，即弄清“鸽巢”（“鸽巢”是什么，有几个鸽巢）和分放的物体。

b.设计“鸽巢”的具体形式。

c.运用原理得出在某个“鸽巢”中至少分放的物体个数，最终解决问题。

（8）数形结合思想（数与形）

数形结合是学习数学的一种重要的思想方法。运用数形结合的方法，可以帮助理解计算方法，进行计算。同时也可以探索数学规律，借此解决问题。（在运用数形结合的方法探索数学规律时，一定要把图形和数一一对应）

【指点迷津】

1.某小学举办安全知识竞赛，共25道题，每答对一道题得4分，答错一道题不仅不给分还要倒扣2分，小军答完20道题共得88分，小军答对了几道题？

【典型错误】　（25×4-88）÷（4-2）

=（100-88）÷2

=12÷2

=6（道）

25-6=19（道）

【分析】　做对一道题和做错一道题相差的不是4-2=2（分），而是4+2=6（分）。所以，明确做对一道题和做错一道题相差6分是解决这道题的关键。

【解答】　（25×4-88）÷（4+2）

=（100-88）÷6

=12÷6

=2（道）

25-2=23（道）

2.有3包味精，其中2包每包250克，另1包不是250克，但不知道比250克重还是轻。用天平至少称（　　）次，能保证找出那包不是250克的味精。

A.1　　B.2　　C.3

【典型错误】　A

【分析】　选A是对题意理解不清楚。因为那包不是250克的味精可能比250克重，也可能比250克轻，所以至少要称2次才能保证找到那包不是250克的味精。

具体称法：天平左、右两端各放一包味精，如果天平平衡，剩下的为那包不是250克的味精。如果不平衡，则拿下轻的（或重的），把剩下的那包放在天平上。如果天平平衡，则拿下的为那包不是250克的味精；如果不平衡，则重的（或轻的）为那包不是250克的味精。

【解答】　B

3.有红、黄、蓝、绿四种颜色的棋子各3颗，至少拿出几颗能保证有2颗颜色相同的棋子？

【典型错误】　3×4÷4

=12÷4

=3（颗）

答：至少拿出3颗能保证有2颗颜色相同的棋子。

【分析】　这道题错在把棋子的总颗数当作要分放物体的数量，求得的结果也与所求问题不符。这道题属于已知鸽巢数量（4种颜色即4个鸽巢）和分的结果（保证一个鸽巢里至少有2颗颜色相同的棋子），求要分放物体的数量，与各种颜色棋子的数量无关。

【解答】　4+1=5（颗）

答：至少拿出5颗能保证有2颗颜色相同的棋子。

【点拨】　其实，在已知鸽巢数量和分的结果情况下，要求分放物体的数量时，可以用“鸽巢数量+1=分放物体的数量”来计算。

【锦囊妙计】

【例1】　毕达哥拉斯学派在世界数学史上首次建立了数和形之间的联系，有效地印证了他们提出的“万物皆数”的观点，并且他们将这种数形结合的思想推广到了三维空间。如下图，图中小球的数目称为三棱锥数。已知前4个三棱锥数分别是1，4，10，20，则下一个三棱锥数是（　　）。

【分析】　前4个三棱锥数分别是1，4，10，20，从图中不难看出它们的规律是后面一个图比前一个图多一层，且从上往下每一层的小球数目是有规律的：第一层1个，第二层1+2个，第三层1+2+3个，第4层1+2+3+4个，所以第5个图形是在第4个图形的基础上增加了第五层，第五层的小球数目为1+2+3+4+5=15个，则下一个三棱锥数是20+15=35。

【例2】　袋子里有三种球，分别标有数字2，3和5，东东从中摸出了12个球，它们的数字之和是43。东东最多摸出标有数字2的球多少个？

【分析】　假设12个球都是数字2，就能求出其和与实际和的差，要使标有数字2的球尽量多，则与实际相比少的部分尽可能都用标有数字5的球。因为用标有数字5或3的球去替换标有数字2的球，一个2换成一个5，增加3，一个2换成一个3，增加1，要使标有数字2的球尽可能多，就尽可能多地换成标有数字5的球。

【解答】　假设12个球都标有数字2，则和是12×2=24，(www.xing528.com)

与实际43相比，少了43-24=19，

比实际少的部分用3或5去换：（5-2）×6+（3-2）×1=19，

标有数字2的球的个数：12-6-1=5（个）。

答：东东最多摸出标有数字2的球5个。

【例3】　一架天平，只有5g和30g两个砝码，要把300g盐平均分成3等份，最少称几次？怎么称？

【分析】　300g盐平均分成3份，每份就是100g。在分的过程中，最关键的是称第一个100g。我们可以用砝码称出35g盐，再利用30g砝码和35g盐称出65g盐，这样有了100g盐，接下来就简单多了。在称量物体时，要充分联系实际，不要只想着用砝码称物体，还要想着用砝码和物体去称物体，用物体去称物体。

【解答】

【专项训练】

数学思考专项训练A组

一、填空题。

1.找规律填数。

（1）1，5，9，13，（　　），21，25，…

（2）1，2，4，8，16，（　　），64，128，…

（3）1，4，9，16，（　　），36，（　　），64，…

（4）5，17，8，15，11，13，（　　），（　　），…

2.根据每组中三个相关联的式子，求A，B，C。

（1）C-A=0.4　　A-B=0.3　　C+B=1.1　　A=（　　）　　B=（　　）　　C=（　　）

（2）A+A+A=37.5　　A×B=225　　C÷B=6　　C=（　　）

3.▲▲○□★▲▲○□★▲▲○□★…照这样排下去，第30个图形是（　　），在前2021个图形中，▲有（　　）个。

4.把一根1米长的木条锯成6段，要锯（　　）次。如果每锯一段要1.5分钟，那么全部锯完要（　　）分钟。

5.乐乐用一平底锅煎鸡蛋，每次只能煎两个鸡蛋，两面都要煎，每面要2分钟，煎5个鸡蛋最少要用（　　）分钟。

6.按如图的方式摆桌子，一张桌子可以坐6人，两张桌子可以坐10人……按照这种方式继续摆下去，10张桌子可以坐（　　）人，n张桌子可以坐（　　）人，70人需要（　　）张桌子摆在一起。

7.有7颗外观一样的玻璃球，其中6颗一样重，另外一颗轻一些，如果用天平称，最多称（　　）次就能保证称出来，最少（　　）次就可能称出来。

8.甲、乙、丙、丁四人中，甲不是最矮的，丁不是最高的，但丁比甲高，丙不比大家高。这四人按从矮到高的顺序排列是（　　）、（　　）、（　　）、（　　）。

二、选择题。

1.东东早上上学前要做以下事情：

他完成这些事情至少需要（　　）分钟。

A.77　　B.50　　C.47　　D.55

2.小红玩掷骰子游戏（一颗骰子），要保证掷出来的点子有两次相同，她至少要掷（　　）次。

A.5　　B.6　　C.7　　D.8

3.8个玻璃球，其中一个略轻些，用天平称出次品，（　　）种分法比较合理。

A.8（1，2，6）　　B.8（4，4）

C.8（2，3，4）　　D.8（3，3，2）

4.一列火车从甲城到乙城，中途要经过3个站，这列火车要准备（　　）种不同的票价。

A.10　　B.14

C.18　　D.20

三、解决问题。

1.王叔叔购买了150本图书，其中一部分图书是8元一本的，另一部分图书是10元一本的，共花去1372元。两种价格的图书各买了多少本？

2.星光小学五（3）班和五（4）班比赛50米短跑，规定赛制为三局两胜。五（3）班跑得最快的3个人分别是小张、小明和小林，成绩分别为7.2秒、7.5秒、7.9秒；五（4）班跑得最快的三个人分别是小刚、小强、小刘，成绩分别为7.3秒，7.6秒，7.7秒。如果五（4）班要赢五（3）班，那么五（4）班应该如何派出选手？

3.五（2）班有42人，参加体育兴趣小组的有30人，参加文艺兴趣小组的有25人，全班每人至少参加一个兴趣小组。五（2）班两个兴趣小组都参加的有多少人？

4.一个口袋里装有红球、黄球、绿球各6个，这18个球除颜色不同外形状都一样。

（1）至少要从口袋里摸出几个球才能保证其中有两个球的颜色相同？

（2）至少要从口袋里摸出几个球才能保证其中有两个球的颜色不相同？

（3）至少要从口袋里摸出几个球才能保证其中有三个球的颜色不相同？

5.一串数字9，2，1，3，…，从第三个数字起，每个数字都是它前面两个数字之和的个位上的数字，则第80个数字是几？前80个数字之和是多少？

数学思考专项训练B组

一、填空题。

1.找规律填数。

（1）3，5，9，17，（　　），（　　），129，…

（2）1，2，2，4，8，32，256，（　　），…

（3）

2.如图是一个运算器的示意图，A，B是输入的两个数据，C是输出的结果。右表是输入A，B数据后，运算器输出C的对应值。请观察表格进行判断，当输入A值是2020，输入B值是19时，运算器输出C值是（　　）。

3.三（3）班参加美术兴趣小组的有25人，参加合唱队的有23人，两项都参加的有13人，两项都没有参加的有7人，三（3）班共有学生（　　）人。

4.小亮集邮，他用10元钱正好购买了1角和5角的邮票共40枚。1角的邮票有（　　）枚，5角的邮票有（　　）枚。

5.有一把破旧的尺子，上面有一段刻度模糊不清，只有1，2，5，6，10，11这几个刻度，用这把尺子一次可以画出（　　）条不同长度的线段，最长是（　　）厘米，最短是（　　）厘米。

6.根据如图所示的变化规律，把表格填完整。

二、选择题。

1.一实心方阵的最外层每边有10人，这个方阵一共有几人？正确的列式为（　　）。

A.10×10　　B.（10-1）×（10-1）　　C.（10-1）×4　　D.（10+1）×（10+1）

2.把10只鸡关在3个同样的笼子里，使得每个笼子里都有鸡，可以有（　　）种不同的关法。

A.7　　B.8　　C.9　　D.10

3.某校举行英语竞赛，试卷共有20道题，每做对一道题得5分，不做或做错一道题扣2分。小军共得79分，他做对了（　　）道题。

A.11　　B.13　　C.15　　D.17

4.赵阿姨给孩子买围巾，围巾有红、黑、灰三种颜色，但结果总是至少有两个孩子的围巾的颜色一样，赵阿姨至少给（　　）个孩子买围巾。

A.1　　B.2　　C.3　　D.4

三、解决问题。

1.鸭和狗共有120只，鸭比狗多120只脚。鸭和狗各有多少只？

2.某校组织783名学生去参观A，B，C三处景点。规定每名学生至少参观一处，最多可以参观两处，至少有多少名学生参观的景点相同？

3.小明和小红玩抢“32”的游戏，规则如下：若第一个人报1，第二个人接着往下报2或2，3，若第一个人报1，2，第二个人接着往下报3或3，4，然后又轮到第一个人报数，第二个人接着往下报一个或两个数，像这样两人反复轮流，每人每次说一个或两个数，但不可以连续说三个数，谁抢到“32”谁就赢。那么小明怎样报数才能取胜呢？

4.一根木棒长3米，从一端开始，先锯一段20厘米的小木棒，再锯一段10厘米的小木棒，长短交替锯成一段一段的小木棒。如果每锯一段小木棒要3分钟，锯完休息1分钟，这根木棒可以锯成几段？全部锯完需要多少时间？

数学思考专项训练C组

一、填空题。

1.一箱口香糖，其中1瓶较重的是次品。用天平称，如果至少称4次能保证找出这瓶较重的口香糖，这箱口香糖最多有（　　）瓶。

2.有3个盒子，只有1个盒子里有礼物，另外两个是空的，每个盒子上都写了一句话。

这三句话中只有一句是真的，请你想一想，礼物在（　　）盒子里。

3.A，B是两个自然数，我们规定A#B表示一种新的运算，它表示A与B的积加上它们的和，如，2#3=2×3+5，5#4=5×4+9。那么，（11#12）#13=（　　）。

4.观察右表中的“序号”和“等式”，按规律解决问题。

（1）序号20的等式中，第一个加数是（　　）。

（2）第二个加数是125的等式，序号是（　　）。

（3）序号是n的等式，第三个加数是（　　）。（用含有字母n的式子表示）

（4）和是330的等式，序号是（　　），这个等式是（　　）。

5.布袋里有4种不同颜色的小球若干个，最少取出（　　）个小球就能保证其中一定有3个小球的颜色相同。

二、选择题。

1.乐乐用平底锅煎荷包蛋，第一面煎2分钟，第二面只要煎1分钟，也就是煎好一个荷包蛋需要3分钟。这个平底锅一次只能煎2个荷包蛋，乐乐家共3个人，每人一个荷包蛋，至少要煎（　　）分钟。

A.4　　B.5　　C.6　　D.9

2.甲、乙、丙、丁与东东五位同学一起比赛下象棋，每两人下一盘。甲已经下了4盘，乙已经下了3盘，丙已经下了2盘，丁已经下了1盘，这时东东下了（　　）盘。

A.10　　B.4　　C.2　　D.0

3.16个人进行乒乓球单打比赛。如果是淘汰赛（两个人进行比赛，输的退出不再比赛，赢的再与其他人比赛），决出冠军一共要进行（　　）场比赛。

A.8　　B.12　　C.15　　D.16

4.把25个玻璃球最多放进（　　）个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有5个玻璃球。

A.5　　B.6　　C.7　　D.8

三、解决问题。

1.把50枚黑棋子排列在正五边形的5条边上，每条边上的黑棋子的个数相等，且每个角上有1枚黑棋子，然后在所有相邻的两枚黑棋子之间放两枚白棋子。五条边上黑、白棋子共有多少枚？

2.把360条鱼分给若干只小猫，每只小猫分得的鱼的数量不超过10条。无论怎样分，至少有多少只小猫分得的鱼同样多？

3.有8个球，编号是①～⑧，其中有6个球一样重，另外两个球都轻1克，为了找出这两个轻的球，小明用天平称了3次，结果如下：

第一次：①+②比③+④重。

第二次：⑤+⑥比⑦+⑧轻。

第三次：①+③+⑤与②+④+⑧一样重。

那么两个轻的球的编号是（　　）和（　　）。