嵌入期权及其在30年期债券中的应用

3.3.1　期权价值的计算

本章用赫尔-怀特模型来计算期权价值。赫尔-怀特模型在期权定价领域取得了重大进展。在他们的模型中，赫尔和怀特引入了对任意收益率曲线的完全匹配和确定性的均值回复特征。另外，赫尔-怀特模型对债券价格及欧洲期权提供了一个分析公式，这一点是其他模型所没有的。关于这方面的更多信息可参见Rebonato（1996）的文章。赫尔-怀特模型的一个缺点是存在着负利率的可能性，但Rebonato（1996）认为这不是一个很大的问题，因为该影响很小，特别是对均值回复模型来说更是这样。也有很多其他的期权模型可供使用，比如布莱克模型（1990）等。当然，所有的模型都有它的优点及不足之处。

Hull和White假定短期利率（r）遵循以下过程：。其中，是时间的函数，的选择保证模型适合初始的期限结构，a是均值回复率，t是时间，σ是标准差，dz（t）是促使期限结构变化的维纳过程。假定名义利率的下界为零，使用赫尔-怀特模型需要注意的一个问题（特别是在低名义利率时期）是，该模型允许负利率的存在。

布莱克（1995）认为可将名义短期利率看成一个期权，因为它在影子真实利率与通货膨胀率之和、或者零之间取较大者。按照Black的方法，为了考虑该期权因素，我们需要创建一棵允许负名义利率存在的利率树，然后用零来替代负名义利率。问题在于我们用数据去适合模型时，负利率出现的概率大小。如果负利率频繁地出现，并且负值很大，那么布莱克所建议的调整会减少由负利率所引起的偏差。布莱克（1995）指出，对于均值回复模型（如赫尔-怀特模型）来说，负利率存在的可能性是很小的。汉森、希顿和李楠（2008）也提出负利率的问题，但是他们也认为负利率出现的可能性很小，预期利率几乎总是为正值。赫尔-怀特（1997）赞成朗斯塔夫和施瓦兹的观点，他们研究发现，用模型去适合世界大多数国家的市场数据时，出现负利率的可能性很小，负利率不是一个很大的问题。但日本是一个例外。在日本，短期利率非常低。总起来说，仅仅当利率低于1%时（如日本），负利率问题才成为一个重要的问题。在当今中国市场上，虽然利率也很低，但仍然没有低到接近1%。实际上，在本章后面所讨论的期限结构模型中，假定一年期资产利率和负债利率分别为6%和3%，这远远超过我们所担心的下界。

回到赫尔-怀特模型，考虑一个两期债券。我们的中介目标是找出看涨期权的价值以及息票利率（icb），该利率使可赎回债券CB（该债券在发行后的第一期可赎回）在时间0以平价销售。为了找到这些值，假定在时间2收到1000+c（c为息票，c=1000icb）。在时间0不可赎回债券NCB的价格为：

上式中r0为在时间0的一期即期利率，E（NCB1）由下一期运动到上节点（NCB1，u）、中节点（NCB1，m）和下节点（NCB1，d）的概率得出。在时间0债券的期权价值（OVB0）为：

换句话说，期权价值是取立即执行期权时的价值与到时间1执行期权时期权价值的现值两者中的较大者。CB0为：

当icb取某一值时，CB0为1000，NCB0大于CB0的数量正好等于期权价值。icb的值可用试错法解出。除到期前的一期外，NCB、OVB和CB的值均可用这种方法解出，在最后一期期权会被执行（在这个简单的例子中是时间1），这时期权价值为：(www.xing528.com)

上式中，j分别表示上节点、中节点和下节点。NCB1，j同（1000+c）/（1+r1，j），因为1000+c为债券在时间2的价值。CB1，j等于不可赎回债券的价格减去期权价值，即NCB1，j-OVB1，j。如果债券的到期期限为30年，方程（3.6）～（3.8）（下标不同）可用于第0期到第28期，方程（3.9）可用于第29期。

3.3.2　期限结构、提前支付/提前收回惩罚、重新融资成本以及其他的期权参数

为了计算期权价值、久期和凸度，需要知道期限结构。我们所用的期限结构用下式表示：

上式中R（m）是一个m年的零息票债券的即期利率。我们取β的值为0.5，这意味着30年期利率比1年期利率高1.7%。资产与负债之间的收益率差距是商业银行收入的主要来源。我们令0.06和0.03分别为资产和负债的α值，这意味着资产和负债之间的收益率差距为3%。

如果借款者执行嵌入的看涨期权，借款者通常要为期权的执行支付一定的提前支付惩罚（PP）。进一步而言，一旦他们的贷款（或债券）被赎回，发行新贷款通常需要重新融资成本。所以，当借款者提前支付时，不仅要支付平价，而且还要支付提前支付惩罚以及重新融资成本。由于以上原因，我们在前面描述的模型中计算期权价值时，执行价格用的是［par+PP+RC］而不是平价par。我们假定PP为2%、RC为2%，从而执行价格应该是1040。类似地，嵌入的看跌期权中通常含有提前提取惩罚（WP）。有效的执行价格为［par-WP］而不是仅仅为平价par。我们假设WP为2%，从而执行价格就为980。我们为利率模型创建一棵树，α=0.05，σ=0.015，Δt=0.25年，利率的期限结构是向上倾斜的，资产为：R（m）=0.06+0.5ln（m）/100，负债为：R（m）=0.03+0.5ln（m）/100。例如，0.25年、0.5年、0.75年、1年、1.25年资产的零息票利率分别为5.31%、5.65%、5.86%、6.00%、6.11%；对于长期资产，如29年、29.25年、29.50年、29.75年、30年资产的零息票利率分别为7.68%、7.69%、7.692%、7.696%、7.70%。我们通过创建一棵基于相应的资产和负债到期期限的树来计算看涨期权（对于资产）和看跌期权（对于负债）的价值。例如，当我们计算一个5年期债券的期权价值的现值OVB0时，我们扩展2期的树到20期（假定看涨期权在第19期到期，即发行后的4.75年）。类似地，为计算30年期的资产的期权价值OVB0（期权在第119期到期，即发行后的29.75年），要创建一棵120期的树。

对于每一棵树，赫尔-怀特模型先通过将利率模型适合于初始的利率期限结构来计算出，然后通过与漂移率及σ保持一致，来决定与期限nΔt相对应的节点出发的3个分支的概率。^[1]①一旦选定了与期限nΔt相对应的节点的3个概率，就可以计算出E（NCBnΔt+Δt）和E（OVBnΔt+Δt），相应地也可以计算出NCBnΔt和OVBnΔt。因为允许期权在资产或负债到期前的一期执行，所以最短的期限为0.5年，虽然最长的期限为30年。给定期限结构、提前支付惩罚和重新融资成本（对于资产）、提前提取惩罚（对于负债）和期权参数，我们对0.5至30年的资产和0.5至30年的负债分别创建119期的树（因为0.25年的到期期限被排除在外）。