平板振动中的复杂边界条件

图1为一矩形板，在y=0之边界上，C1部分固定，其余板边均为简支，q为均布且随时间谐和变化的荷载，q（x，y，t）为垂直板面作用之荷载。

图1

［5］ теория прикрадний улругости.уан цлнъди.

板的基本方程为：

令

方程①可以表示为：

显然在C1+C2边界上具有混合边界条件。在C1区间存在条件：

在C1区段上具有未知弯短

我们寻找下列形式的方程③的解答：

此处W（x，y）为板在荷载eiwt g（x，y）作用下的挠度振幅。

G（x，y，ζ，0）为在板周边简支情况下由作用在x轴上（ζ，0）点的集中弯短rδ（x-ζ）tiwt所引起的板在（x，y）点的挠度值。

应用C1区间边界条件可以决定未知弯知M（ζ）。

求解积分方程⑤即可求得M（ζ），这样即可得到W（x，y）。

应当注意，在函数W0（x，y）和G（x，y，ζ，0）中得到参数q和ω。

在ω、q不变数值下，方程⑤给出板的固定M（x）值，而方程④给出荷载q（x，y）eiwt作用下的挠度振幅值。

参数ω不是任意的。而应与板的自振频率相同。从方程⑤再加之W0（x，y）=0决定这个频率。这时

参数应该这样选择，以便满足方程⑥。

接着研究板的强迫振动，这就要决定G（x，y，ζ，0）和W0（x，y）。

函数G（x，y，ζ，0）应满足下列方程：

以及如下边界条件：

由⑨式得到常微分方程组：

此处

求解方程可得：

函数G（x，y，ζ，0）满足⑧的前四个边界条件；从另四个边界条件决定常数An，Bn，Cn，Dn。(www.xing528.com)

最后得：

因此：

此处：

函数应满足方程

和边界条件

当g=const时可以求得函数：

此处

将、式代入⑤得：

采用近似解答方法，将y=0边和C1区段分成α=S·Δx，c1=r·Δx，方程导致：

在确定的参数β，δ情况下，计算Fi，Kij值并解答关于M的方程。

研究C1=a时的个别情形，在这种情况下可以精确解答方程⑤，用三角级数表示并将这个级数代入方程，完成指定的积分得：

因此：

一个板边具有不同边界条件，在自由振动时由方程得到：

近似解答可得下列方程组：时，把y=0边分成六份（s=6）亦假定q=0（β=0）的行列式表示为：

令式的行列式为：

即可决定自由振动频率。

当令

此处

以逐次渐近法得：

如果同样得到：

如果同样得到：

——译自：ВитАлът новАцкий“динАмикА сооружЕний”