离散型随机变量的均值与方差

1．离散型随机变量的期望和方差都是随机变量的重要的特征数,期望反映了随机变量的平均值,方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．事实上,期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均．E(X)由X的分布列唯一确定,而D(X)表示X对E(X)的平均偏离程度,D(X)越大表示平均偏离程度越大,说明X的取值越分散．

2．求离散型随机变量的期望与方差,首先应明确随机变量的分布列,若分布列中的概率值是待定常数,应先求出这些待定常数后,再求其期望与方差．

3．离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质:

4．二项分布的期望与方差:若X~B(n,p),则E(X)＝np,D(X)＝np(1－p)．

5．对求离散型随机变量的期望和方差的应用问题,首先应仔细地分析题意,当概率分布不是一些熟知的类型时,应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件,并准确判断各事件的相互关系,从而求出各随机变量相应的概率．

方法简述

例1　在篮球比赛中,罚球命中得1分,不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0．7,那么他罚球1次得分X的均值(期望)是多少?

点拨　基本公式应用．

解答　因为P(X＝1)＝0．7,P(X＝0)＝0．3,

所以E(X)＝1×P(X＝1)＋0×P(X＝0)＝1×0．7＋0×0．3＝0．7．

例2　一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项正确．每题选对得5分,不选或选错不得分,满分100分．学生甲选对任一题的概率为0．9,学生乙则在测验中对每题都从各个选项中随机地选择一个,求学生甲和乙在这次测验中的成绩的均值．

点拨　基本公式应用．

解答　设学生甲和乙在这次单元测验中选对的题数分别为X1,X2,则

X1~B(20,0．9),X2~B(20,0．25),

∴E(X1)＝20×0．9＝18,E(X2)＝20×0．25＝5．

由于答对每题得5分,学生甲和乙在这次测验中的成绩分别是5 X1和5 X2．所以,他们在测验中的成绩的均值分别是:

E(5X1)＝5E(X1)＝5×18＝90,E(5X2)＝5E(X2)＝5×5＝25．

反思　由概率计算数学期望的基本过程．

例3　根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0．25,有大洪水的概率为0．01．该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60000元,遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备,有以下3种方案:

方案1:运走设备,搬运费为3800元;

方案2:建保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能防小洪水;

方案3:不采取措施,希望不发生洪水．

试比较哪一种方案好．

点拨　只需计算出各种方案的数学期望即可．

解答　用X1,X2和X3分别表示方案1,2,3的损失．

采用第1种方案,无论有无洪水,都损失3800元,即X1＝3800．

采用第2种方案,遇到大洪水时,损失2000＋60000＝62000元;没有大洪水时,损失2 000元,即

同样,采用第3种方案,有

于是,E(X1)＝3800,

E(X2)＝62 000×P(X2＝62000)＋2000×P(X2＝2000)

＝62000×0．01＋2000×(1－0．01)＝2600,

E(X3)＝60000×P(X3＝60000)＋10000×P(X3＝10000)＋0×P(X3＝0)

＝60000×0．01＋10000×0．25＝3100．

采取方案2的平均损失最小,所以可以选择方案2．

反思　数学期望在实际生活中应用非常广泛．

例4　有一批数量很大的产品,其次品率是15%,对这批产品进行抽查,每次抽取1件,如果抽出次品,则抽查终止,否则继续抽查,直到抽出次品为止,但抽查次数不超过10次,求抽查次数X的期望(结果保留三个有效数字)．

点拨　审清题意即可．

解答　抽查次数X取1≤X≤10的整数,从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的,取出次品的概率是0．15,取出正品的概率是0．85,前(k－1)次取出正品而第k次(k＝1,2,…,10)取出次品的概率:

P(X＝k)＝0．85k－1×0．15(k＝1,2,…,10)．

需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率:P(X＝10)＝0．859．

由此可得X的概率分列为

根据以上的概率分布,可得X的期望:

E(X)＝1×0．15＋2×0．1275＋…＋10×0．2316＝5．35．

反思　数学期望的结果可以是实际中不出现的数值．

例5　某城市出租汽车的起步价为10元,行驶路程不超出4千米时租车费为10元,若行驶路程超出4千米,则按每超出1千米加收2元计费(超出不足1千米的部分按1千米计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15千米．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客,由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定,每停车5分钟按1千米路程计费),这个司机一次接送旅客的行车路程X是一个随机变量．设他所收租车费为Y．

(1)求租车费Y关于行车路程X的关系式;

(2)下表为随机变量X的分布列,求所收租车费Y的数学期望．(www.xing528.com)

(3)已知某旅客实付租车费38元,而出租汽车实际行驶了15千米,问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?

点拨　基本公式应用．

解答　(1)依题意,得Y＝2(X－4)＋10,即Y＝2X＋2．

(2)E(X)＝15×0．1＋16×0．5＋17×0．3＋18×0．1＝16．4,

∵Y＝2X＋2,∴E(Y)＝2E(X)＋2＝34．8．故所收租车费Y的均值为34．8元．

(3)由38＝2X＋2,得X＝18,5×(18－15)＝15,所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟．

易错解读

例1　随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差．

解答　抛掷散子所得点数X的分布列为

∴标准差＝

易错点　注意标准差和方差的区别．

例7　有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息:

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?

解答　根据月工资的分布列,利用计算器可算得:

E(X1)＝1200×0．4＋1400×0．3＋1600×0．2＋1800×0．1＝1400,

D(X1)＝(1200－1400)2×0．4＋(1400－1400)2×0．3＋(1600－1400)2×0．2＋(1800－1400)2×0．1＝40000;

E(X2)＝1000×0．4＋1400×0．3＋1800×0．2＋2200×0．1＝1400,

D(X2)＝(1000－1400)2×0．4＋(1400－1400)×0．3＋(1800－1400)2×0．2＋(2200－1400)2×0．1＝160000．

因为E(X1)＝E(X2),D(X1)＜D(X2),所以两家单位的工资均值相等,但甲单位不同职位的工资相对集中,乙单位不同职位的工资相对分散．这样,如果你希望不同职位的工资差距小一些,就选择甲单位;如果你希望不同职位的工资差距大一些,就选择乙单位．

易错点　数据较多,计算容易出错．

例8　已知离散型随机变量X1的概率分布为离散型随机变量X2的概率分布为

求这两个随机变量期望、方差与标准差．

易错点　方差与标准差的区别．

经典训练

1．口袋中有5只球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3球,以X表示取出球的最大号码,则E(X)＝(　)．

A．4　B．5　C．4．5　D．4．75

2．已知X~B(n,p),E(X)＝8,D(X)＝1．6,则n,p的值分别是(　)．

A．100和0．08　B．20和0．4　C．10和0．2　D．10和0．8

3．样本中共有5个个体,其值分别为a,0,1,2,3．若该样本的平均值为1,则样本方差为(　)．

A．　B．　C．　D．2

4．已知X的分布列为

设Y＝2X＋3,则E(Y)的值为(　)．

A．　B．4　C．－1　D．1

5．某射手射击所得环数X的分布列为:__

已知X的期望E(X)＝8．9,则y的值为(　)．

A．0．4　B．0．6　C．0．7　D．0．9

6．设随机变量X~B(n,p),且E(X)＝1．6,D(X)＝1．28,则(　)．

A．n＝8,p＝0．2　B．n＝4,p＝0．4　C．n＝5,p＝0．32　D．n＝7,p＝0．45

7．一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球,从中同时取出2个,则其中含红球个数的数学期望是_________(用数字作答)．

8．随机变量X的概率分布列为

该随机变量X的均值是_________．

9．设有m升水,其中含有大肠杆菌n个．今取水1升进行化验,设其中含有大肠杆菌的个数为X,求X的数学期望．

10．A,B两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队3名队员,A队队员是A1,A2,A3,B队队员是B1,B2,B3,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间的胜负概率如下:

现按表中对阵方式出场胜队得1分,负队得0分,设A队,B队最后所得总分分别为X,Y．

(1)求X,Y的分布列;

(2)求E(X),E(Y)．