二项分布应用

1．在每次试验中只有两种可能的结果,而且是互相对立的;

2．每次试验是独立的,与其他各次试验结果无关;

3．结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努利试验．

在试验中,事件发生的次数为一随机事件,它服从二项分布,二项分布可以用于可靠性试验．可靠性试验常常是投入n个相同的试样进行试验T小时,而只允许k个试样失败,应用二项分布可以得到通过试验的概率．

方法简述

例1　在100件产品中有95件合格品,5件不合格品．现从中不放回地取两次,每次任取一件．求:

(1)第一次取到不合格品的概率;

(2)在第一次取到不合格品后,第二次再次取到不合格品的概率．

点拨　求条件概率的通常方法是利用条件概率公式,这就需要求P(AB)和P(A)．

解答　设A＝{第一次取到不合格品},B＝{第二次取到不合格品}．

(1)P(A)＝

(2)根据条件概率的定义计算,需要先求出事件AB的概率所以有

反思　注意条件概率的公式．

例2　甲、乙两名射击运动员,分别对一目标射击一次,甲射中的概率为0．8,乙射中的概率为0．9,求:

(1)两人都射中的概率;

(2)两人中恰有一人射中的概率;

(3)两人中至少一人射中的概率;

(4)两人中至多一人射中的概率．

点拨　(1)审题应注意关键词句,例如“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”等．

(2)复杂事件的概率通过将复杂事件拆分为几个互斥事件,然后利用互斥事件的概率加法公式进行求解．

(3)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有:

①利用相互独立事件的概率乘法公式;

②正面计数较繁或难以入手时,可以从对立事件入手计算．

解答　(1)记事件A:甲射中目标;事件B:乙射中目标．两人都射中的概率为

P(AB)＝P(A)P(B)＝0．8×0．9＝0．72．

(2)“两人中恰有一人射中”包括“甲中乙不中”“甲不中乙中”两种情况,其对应事件为互斥事件,则

(3)“两人至少有_一人射中”包括“两人都射中”和“两人有一人射中”两种情况,其概率为

(4)“至多有一人射中”包括“有一人射中”和“两人都未射中”,故所求概率为

反思　从反面解决概率问题,速度可能会更快．

例3图

例3　将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落,小球在下落过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入A袋或B袋中,已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是．

(1)求小球落入A袋中的概率P(A);

(2)在容器入口处依次放入4个小球,记X为落入A袋中小球的个数,试求X＝3的概率．

点拨　因为小球每次遇到黑色障碍物相互独立,且每次向左(或向右)的概率都是,因此该试验属n次独立重复试验．

解答　(1)记小球落入B袋中的概率为P(B),则P(A)＋P(B)＝1,由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落,小球将落入B袋．

所以P(B)＝

所以P(A)＝1－P(B)＝．

(2)由题意知,

反思　注意n＝3,P＝独立重复试验,是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中,每一次试验只有两种结果,即某事件要么发生,要么不发生,并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．

例4　甲、乙、丙3人每次射击命中目标的概率分别为0．7,0．6和0．5,求:

(1)3人各向目标射击一次,恰有两人命中目标及至少有一人命中目标的概率;

(2)若甲连续射击三次,他恰好一次命中的概率．

点拨　注意审清题意．

解答　(1)设Ai(i＝1,2,3)表示事件“第i人命中目标”,显然A1,A2,A3相互独立,且P(A1)＝0．7,P(A2)＝0．6,P(A3)＝0．5．

3人中恰有两人命中目标的概率为0．44．

3人中至少有一人命中目标的概率为

(2)设Ak表示“甲在第k次命中目标”,k＝1,2,3．显然A1,A2,A3相互独立,且P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0．7．

甲连续射击三次,恰好一次命中的概率为A3)＝0．189．

反思　考虑“至少”等问题,可以从反面入手．

例5　已知在10只晶体管中有2只次品,从中连续抽取两件,且取出的产品不再放回,求下列事件的概率．

(1)两只都是正品;

(2)两只都是次品．

反思　利用条件概率公式．

解答　设事件Ai(i＝1,2)表示第i次取到正品,则表示第i次取到次品．

依题意(www.xing528.com)

(1)A1A2表示第1次,第2次都取到正品,即表示两只都是正品,根据乘法公式

(2)

反思　本题中两个都是正(次)品,由于是连续抽取且抽后不放回,故与条件概率有关．

易错解读

例5　甲、乙两人参加一次英语口试,已知在备选的10道题中,甲能答对其中的6道,乙能答对其中的8道,规定每次考试都从备选题中随机地抽出3道,至少答对2道才算合格．

(1)求甲答对试题数X的概率分布;

(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．

解答　(1)依题意,甲答对题数X的概率分布如下:

(2)解法一:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为:

解法二:∵甲、乙两人考试均不合格的概率为

∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

易错点　至少一人合格从正面考虑情况较复杂,容易出错．

例6　在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂,准备进行某种实验,过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区,其中小锥体叫第一实验区,圆台体叫第二实验区,且两个实验区是互通的．假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的,且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的．

(1)求蜜蜂落入第二实验区的概率;

(2)若其中有10只蜜蜂被染上了红色,求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率;

(3)记X为落入第一实验区的蜜蜂数,求随机变量X的数学期望E(X)．

解答　(1)记“蜜蜂落入第一实验区”为事件A,“蜜蜂落入第二实验区”为事件B．

依题意,有

∴P(B)＝1－P(A)＝．∴蜜蜂落入第二实验区的概率为

(2)记“恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区”为事件C,则

∴恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率

(3)因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的,且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的,所以变量X满足二项分布,即

∴随机变量X的数学期望

易错点　恰有一只蜜蜂落入第二实验区的概率容易出错．

例7　在我市“城乡清洁工程”建设活动中,社会各界掀起净化美化环境的热潮．某单位计划在小区内种植A,B,C,D 4棵风景树,受本地地理环境的影响,A,B两棵树的成活概率均为,另外两棵树C,D为进口树种,其成活概率都为a(0＜a＜1),设,X表示最终成活的树的数量．

(1)若出现A,B有且只有一棵成活的概率与C,D都成活的概率相等,求a的值;

(2)求X的分布列(用a表示);

(3)若出现恰好两棵树成活的概率最大,试求a的取值范围．

解答　(1)由题意,得

(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,4．

则X的分布列为

(3)由0＜a＜1,显然,即P(X＝1)＞P(X＝0);P(X＝3)＞P(X＝4)．

由上述不等式解得a的取值范围是

易错点　出现恰好两棵树成活的概率最大如何体现是容易出错的地方．

经典训练

1．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A,B中至少有一件发生的概率是(　)．

A．　B．　C．　D．

2．位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是．质点P移动5次后位于点(2,3)的概率是(　)．

A．　B．

C．　D．

3．设每门高射炮击中飞机的概率为0．6,今有一架飞机来犯,需要(　)门高射炮射击,才能至少以99%的概率击中它．

A．3　B．4　C．5　D．6

第4题图

4．一个电路如图所示,A,B,C,D,E,F为6个开关,其闭合的概率都是,且是相互独立的,则灯亮的概率是(　)．

A．　B．

C．　D．

5．同时抛掷三颗骰子,设A＝“三个点数都不相同”,B＝“至少有一个6点”,则P(B|A)为(　)．

A．　B．　C．　D．6．甲、乙两人独立地解决同一问题,甲能解决这个问题的概率是p1,乙能解决这个问题的概率是p2,那么其中至少有1人能解决这个问题的概率是(　)．

A．p1＋p2　B．p1·p2　C．1－p1·p2　D．1－(1－p1)(1－p2)

7．在一个盒子中有大小相同的10个球,其中6个红球,4个白球,两人无放回地各取一个球,则在第一个人摸出红球的条件下,第二个人也摸出红球的概率是(　)．

A．　B．　C．　D．

8．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0．9,则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．

9．加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为_________．

10．某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0．8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于_________．