400米跑道规划设计：解析与实际问题的应用能力

2019年宁夏中考第25题以“400米跑道规划设计”为素材，再现了真实问题情景—提出问题—解决问题的全过程；考察学生数学阅读能力、数学思辨能力、数学抽象能力与综合应用数学知识解决实际问题的能力。评价学生数学建模、运算能力、创新能力和应用意识等核心素养。

1.尊重原有认知，科学质疑

作为中考压轴题，鉴于其选拔、评价、引导、促进教学等功能，命题者充分考虑了学生的已有生活经验和知识基础。一方面，试题突出数学与体育学科的有效整合，用学生生活中最熟悉的操场跑道作为研究对象，真实再现学生日常学习生活场景，有效激发学生的探究欲望，调动学生的探究热情，鼓励学生用数学的眼光观察生活，体会数学的应用之美。另一方面，从知识背景上看，试题立足课本习题，适度进行创新改编。试题所涉及的“400米跑道设计”在学生日常学习中均有接触，北师大版教材在“弧长与扇形面积”一节中出现了跑道弯道半径的计算问题，人教版教材则在《圆》一章结束后安排了“设计跑道”的实验与探究活动。鉴于此，命题者在尊重学生原有认知水平的前提下，对习题进行拓展与创新，将原来直接应用弧长公式计算单个跑道的宽度或确定不同跑道的起跑点拓展为研究跑道周长与跑道宽度两个变量之间的关系，利用三个层层递进的问题设疑，问题的设计再现学生的思维过程，实现数学学科内部知识整合，突出对“过程性”维度目标与“情感态度价值观”维度目标的考查。既照顾不同层次学生，体现考试评价的公平性，又有效区别了学生的解题能力与思维深度，为学生在已有学习基础上进行深度学习搭建平台。

2.巧设思辩元素，诱导探疑

试题在已知条件设置与呈现方面可谓独具匠心，显性与隐性元素交相呼应。细品试题，我们会发现，解答该题目的关键是认识并理解“引起跑道周长发生变化的根本原因是弯道长度（即半圆弧的长）发生了变化”。这种看似简单的题面，欲寻找到解答问题的关键点，则需要学生仔细阅读题目，认真思考、辨析，考察学生的数学阅读能力、抽象能力和数学思辨能力。一方面，命题者“搭梯度，降难度，启思维”。创设第1问，通过让学生计算400米跑道中一段直道的长度=（周长-2πr）÷2=（400-2×3.14×36）÷2=86.96 米，认识400米跑道的基本构成中，直道的长度不会因跑道宽度的变化而变化，在研究跑道周长问题中可以视为常量，将解决跑道问题的视角转移到跑道的弯道区域，为第2问探索跑道周长与跑道宽度之间的关系奠定了基础。另一方面，命题者巧妙地运用数学平面图形与实物插图，“促联想，破难点，明思路”。首先利用实物插图（图2）：400米赛跑中，跑道上每个运动员起跑点不一致。启发学生联想学习生活中400米赛跑时的真实场景，思考导致运动员起跑点不一致的原因，从感性认识逐渐上升到理性认识，进而理解题目中“跑道周长随跑道宽度（距最内圈的距离）的变化而变化”这一显性表述。其次利用几何平面图形，数形结合，明晰跑道宽度的意义及自变量含义的同时，再次引起学生的深度思考：导致跑道周长发生变化的根本原因是什么？题目探究的问题与熟知的旧知有什么区别与联系？将学生从过去“研究跑道个数或单个跑道宽度”的原有认知过渡到现在“先研究跑道宽度，再设计跑道条数”的问题中，实现从常量到变量的转换，学生在思辨过程中会发现：跑道周长是因弯道半径的变化而变化的，引起弯道半径变化的恰是因跑道宽度发生了变化，进而发现跑道周长y与跑道宽度x之间的内在联系，完成表格的填写（表略），写出跑道周长y与跑道宽度x之间的关系式：y=400+2πx。(www.xing528.com)

学生通过阅读、识图和独立思考获得对数学问题的基本认知，捕获思辨元素，体悟思想方法，问题梯度的合理设计，有效激发了学生的探究兴趣，使学生渴求获取知识的同时也为发展学生的创造力提供了载体。

3.落实核心素养，精准答疑

综合分析这道题的完成情况，银川地区其平均得分仅为3.1分，难度系数为0.31，而宁夏全区该试题的平均得分则更低，为什么师生普遍认为“简单”的试题，其平均得分竟如此之低？其原因就在于命题者隐匿在“简单”题意背后的深层次的考量，即学生的数学核心素养。试题在考察学生的数学阅读能力、数学思辨能力、知识迁移能力的过程中，力求提升学生的运算能力、数学建模、创新能力与应用意识等核心素养。如题目中要求π取3.14，在不经意间通过学生对具体数据的计算，计算结果的精准取舍，考察学生的运算功底与严谨的治学态度。又如习题中模型思想的渗透，在第2问命题者通过两种不同的函数表示方式：表格法与关系式法，帮助学生辨析变量间的关系，构建函数模型，加深学生对函数表示方法的认识与理解，体会函数关系中自变量的连续性。而第3问则是在第2问的基础上，突出一元一次方程与一次函数间的联系，考察学生构建方程模型解决问题的能力，体会数学模型在生活中的意义，通过问题的步步解决，建立新知与旧知的联系，再次实现了新知“跑道宽度”到旧知“具体跑道条数的规划与设计”的相互转换，增强学生对数学基本思想的理解，促进学生的数学建模、应用问题等核心素养的发展，展示了数学文化的魅力。