1.提出问题
（1）课前学习成果展示、分享与交流。
（2）提出问题：假设某居民楼地处北半球某地，窗户朝南，窗户的高度为h cm。此地一年中正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为α，最大夹角为β。请你为该窗户设计一个遮阳篷，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（如图1）。
设计意图：让学生充分展示、交流、分享课下学习成果，如遮阳篷作用、形状、设计原理等，让学生借助实物模型思考“设计这样简易的直角遮阳篷需要考虑哪些关键因素？”再提出具体问题，借助实物图片及文字表述，帮助学生理解关键语句，提炼信息，抓住关键要素，做出合理假设，使学生学会将复杂问题简单化的方法。
图1
2.解决问题：探究遮阳篷的设计方案
本环节是本课时的教学重难点的关键所在，需要学生经历将实际问题数学化、用所学数学知识表示实际问题、进行数学计算或数学推理、得到数学结论、回到实际进行检验这样一个完整的数学建模过程。为了突出重点，突破难点，遵循学生的认知规律，教师先引导学生建立数学模型，再进行活动探究，共设计了3个活动，通过师生共学、合作学习、独立学习这样3个有梯度的学习方式展开教学，帮助学生积累数学建模的方法与经验。通过班级优化大师，对小组与个人在学习过程中的表现进行评价，激励学生学习热情。
（1）建立数学模型
思考：
①想一想，平时学习过程中遇到设计问题，我们是如何处理的？
②你能画出几何图形吗？动手试一试或与同伴交流。
③在已抽象出的几何图形中，哪些量是已知的，哪些量是未知的？
④要设计同时满足两个条件的遮阳篷，你有什么好的处理的方法？
设计意图：让学生认知发展成为教学基本依据。此环节由实物图形抽象出几何图形是解决问题的关键，也是难点所在，教师分析学生的原有认知水平，结合问题串唤醒学生的已有知识储备与活动经验，促使学生大胆尝试，主动探究，在此基础上，教师直观演示实物图形抽象成几何图形的过程，突破难点，发展学生几何直观，同时分析、体会分类研究问题的必要性。
（2）活动探究
探究活动一：让夏天的阳光尽可能地留在外面。
夏天，当太阳光与地平面的夹角为β时（如图2），其中AB表示窗户（AB=h cm），BCD表示直角形遮阳篷。要想使太阳光刚好不射入室内，遮阳篷BCD应如何设计？
图2
图3
思考：
①一束平行光线照射到窗户上，要想让所有光线刚好全部不射入室内，关键是挡住透过遮阳篷边沿（即点D）与窗户哪个点的光线？
②满足上述条件的光线与遮阳篷CD的夹角是多少？为什么？
③请在图3中画图表示。此时，BC，CD唯一吗？说说自己的理由。
处理方法：
学生结合问题串，独立思考，全班交流，通过画图或解直角三角知识解释BC、CD不唯一的原因。
教师引导学生关注“刚好全部不射入”条件，演示画图，总结设计方案。结论：当太阳光与地平面的夹角为β时，要想让所有光线刚好全部不射入室内，关键是挡住透过遮阳篷边沿（即点D）与窗户下端A点的光线，即经过DA的光线与地面的夹角为β；或∠ADC=β即可，BC，CD不唯一。
设计意图：解决上述问题的关键是理解“阳光刚好不射入室内”这个条件，并能在几何图形上画出符合该条件的入射光线。考虑到学生初次接触遮阳篷的设计，教师设置有梯度的问题串，引导学生独立思考，采用师生共学的方式，充分讨论交流自己的想法，再利用动画演示促进理解，得出结论：要使光线刚好全部不射入室内，关键是挡住透过遮阳篷边沿（即点D）与窗户下端A点的光线。并进一步分析点D的不唯一性，为下一环节的合作学习做铺垫。
探究活动二：让冬天的阳光尽可能地全部射入室内。
冬天，当太阳光与地平面的夹角为α时（如图4），其中AB表示窗户（AB=h cm，如图5），BCD表示直角形遮阳篷。要想使太阳光刚好全部射入室内，遮阳篷BCD应如何设计？请在图4中画图表示。此时，BC，CD唯一吗？说说自己的理由。
图4
图5
处理方法：小组合作学习。
要求：
①独立思考后，小组合作交流，确定遮阳篷设计方案；(www.xing528.com)
②在学案上画出示意图，并判断BC、CD是否唯一？
③学习小组选派代表在全班交流设计思路及设计方案。
设计意图：让学生有效合作成为课堂主流文化。经历了活动一的学习，学生对解决此类问题已有了初浅的感知与认识，为此，教师改变教学组织形式，舍弃问题串的引导，采用合作学习的形式展开探究，目的是让学生能主动、自觉地尝试应用类比的方法学习新知，授之以“渔”。教师关注学生在合作学习中的表现并给予评价，对学习有困难的小组进行指导与帮助，在成果展示环节鼓励学生大胆质疑。培养学生的合作意识，体会类比思想。
探究活动三：二者兼顾——在冬天能最大限度地使阳光射入室内，在夏天又能最大限度地遮挡炎热的阳光。
要同时满足上面两个条件，那么遮阳篷BCD应如何设计？请在图6中画图表示。此时BC唯一吗？CD呢？你是怎样发现的？
处理方法：
第一步，学生独立完成设计方案的设计，画出示意图如图7，并能讲解自己的设计思路。
第二步，小组合作，讨论：解释BC、CD的唯一性，并用含h、α、β的关系式分别表示BC和CD；小组代表讲解推导过程。
方法一：在Rt△BCD中，∠BDC＝α，则BC＝CD tanα①。
在Rt△ACD中，∠ADC＝β，则AC＝h+BC＝CD·tanβ②。
图6
图7
设计意图：（请看视频）让学生内化过程成为教学关键环节。经历了前面的问题探究过程，让学生独立设计能同时满足上述两个条件的遮阳篷，通过知识的迁移与拓展，促进学生完成知识的内化，培养学生数学建模、合情推理以及运算能力。教师在鼓励、帮助学习困难学生实现知识内化的同时，关注学生建模的过程、学生解决问题的多样性（通过三角函数及方程组思想解决问题或借助一次函数交点的方法解决问题），并让学生展示交流，体验到成功的喜悦。
（3）应用模型
①就北半球而言，冬至这一天的正午时刻，太阳光与地平面的夹角最小；夏至这一天的正午时刻，太阳光与地平面的夹角最大。已知银川地区一年中正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为30°；最大夹角为75°。某居民楼窗户的高度为150 cm。请设计一个直角遮阳篷，并求出BC，CD的长度（精确到1 cm）。
处理方法：学生独立完成，个别学生展示交流。
②议一议：若根据上面的BC和CD的长度为银川地区设计一个遮阳篷BCD，那么你认为它符合本课题学习一开始提出的要求吗？你能提出进一步的改进意见吗？与同伴进行交流。
设计意图：让学生应用模型解决具体问题，体会数学的应用价值，发展学生的应用意识。除直接代入相应数据进行计算外，教师要鼓励学生尽可能的重建模型解决问题，使不同层次的学生都能体验到成功的喜悦。鉴于在数学建模过程中只关注主要因素，设计“议一议”，培养学生敢于向“已有知识结果”质疑的意识与能力，让学生质疑生成成为课堂核心价值，明确数学模型反映的实际问题中的关系和规律还有待于检验、修改与完善。
（4）反思提升
①本节课我们经历了怎样的学习过程？与同伴交流你的收获。
②请谈谈本节课中你的表现及同伴的表现。
③你对老师的教学有哪些建议或肯定之处？
设计意图：课堂小结是对一节课的学习内容、方法经验、情感态度的及时反思，起到“画龙点睛”的效果。借助问题串引导梳理知识要点，充分交流自己的收获，加深学生对数学建模的理解，丰富学生解决实际问题的策略与方法。同时，引导学生进行自评、互评，体现评价的多元化，通过学生对教师的评价，及时发现教师教学问题，营造和谐、平等的互动课堂。
（5）拓展延伸
图8
A.如图8如果要求遮阳篷的CD边为圆弧形（C，D同高），那么你还需要知道哪些数据才能进行设计？
B.如图9如果要求遮阳篷的CD边为抛物线形状，那么你还需要知道哪些数据才能进行设计？
C.如果要求CD边可伸缩，那么应该如何设计？
图9
①知识拓展
②课堂延伸
查阅有关资料及数据，以小组为单位为学校教室的窗户设计一个遮阳篷模型，并形成文字和数据说明。
设计意图：将过程性学习由课堂延伸到课外。改变遮阳篷的形状，辅助图形，为学生提供继续探究的具体素材，让学生及时应用新知，探究、设计不同形状的遮阳篷；再结合自己的探究过程，撰写设计报告，为后期成果展示交流奠定基础。
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