促进初中数学知识自然生成的有效策略

1.创设有效问题情境

《课标》指出：数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维。可以说，有效教学“发生”的前提条件之一便是学生能积极主动的参与。因此，课堂教学情境重在于创，贵在于新，旨在于效，让所创设的情境成为学生积极参与、快乐学习和自主探究的环境，让所创设的情境真正发挥提高课堂教学效率的作用，而不是成为课堂教学环节的“摆设”。

案例1

在教学义务教育教科书北师大版七年级下册“5.4探索三角形全等的条件（3）”时，执教者创设这样的情境引入本节课的学习。

如图1，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，你能帮他想个办法吗？（课件展示图1）

图1

图2

问题1：如图2，当每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量，而且他只带了一把卷尺时，能完成任务吗？

问题2：工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”；你知道为什么吗？

【说明】结合实景图，学生在给定问题的引导下，积极地进行思考，把实际问题转化成数学问题，并回忆学过的三角形全等的有关判定，巩固复习判断三角形全等的方法。接着提出：当每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量，而且他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？教师充分调动学生的积极性，想出各种解决问题的办法，并鼓励学生大胆交流，表述自己的理由，并将自己的思路写下来，与同伴交流。在问题1中，当学生感到困难时，演示工作人员的测量方法及下面结论。并引导学生思考：①如何验证这个结论呢？②我们要作的直角三角形要知道哪两边的长？通过问题串引导学生对工作人员提出的办法及结论进行思考，思考验证他们的方法，从而展开直角三角形全等这种特殊条件的探索。

上述问题能有效激发学生的学习兴趣，激起他们的好奇心，吸引他们主动参与，更好地进行数学思考。只有这样，才能不断冲击学生头脑中原有的数学认知结构，并利用有关知识与经验去“同化”或“顺应”当前要学习的新知识，使他们以“再发现”和“再创造”的方式经历数学知识的发生发展过程，促进知识自然生成，达到学生对知识意义的建构。

2.巧妙揭示知识背景

知识的自然生成内涵有两层，一是尊重知识间的内在联系和结构特点进行教学；二是遵循学生的认知规律和心理意愿来开展教学。明确知识的内在联系和结构特点是知识自然生成教学的前提。由于受教材篇幅和结构体系的制约，有些数学教学内容往往省略了知识的发生和发展过程。这样，教材中呈现给学生的就是“死”的结论，老师要摸索初中数学知识的自然生成规律，摸清学生的已有知识储备及学习经验，抓住知识理解的关键，突出知识形成过程的本质和重点所在，使学生对知识的接受不唐突，不牵强，一切来得都非常自然。

案例2

在教学北师大版教材八年级下册“5.3频数与频率（1）”时，执教者这样设计教学活动。

课堂上调查每一位学生最喜欢四门学科中哪一门功课（如用A表示语文，B表示数学，C表示英语，D表示物理）。通过现场调查掌握第一手资料，使学生明白统计的数据并不是凭空捏造出来的，同时，为下一环节的讨论提供合适的数据，引出频数这个概念，体会频数可以用来衡量对象出现的频繁程度。在此基础上出示老师所带两个班级体育成绩情况统计表：

体育成绩统计表

提出问题：

（1）1班、2班中哪个班级的及格人数多？你觉得哪个班级体育成绩较好些？

（2）比较两个班级的体育成绩能否只从各分数段的人数来看呢？你认为应该怎样比较？

【说明】通过这样两个活动让学生多次体会数据的整理与表示，帮助学生感知频数和频率这两个新概念产生的必要性及背景，把数学知识的生成过程以显性的、确定的方式呈现出来，这种呈现方式也为教师提供了“创造性使用教材”的空间。实现学生对数学知识的“知其源（追溯源头）、会其神（领悟本质）、通其用（感受价值）”的实践活动。 这样，知识的获得就成了学生爱学的自然过程。

3. 精心设计好问题串

《课标》指出：学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。为落实这一理念，需要采用“问题串”把教学引向深入。心理学家维果茨基关于认知心理学的观点认为，人的认知结构可以划分为三个层次，即“已知区”、“最近发展区”和“未知区”。 人的认知水平就是在这三个层次之间循环往复，不断转化，螺旋式上升。 课堂提问不宜停留在“已知区”与“未知区”，问题串设计要落在学生的“最近发展区”，善于积累经验的教师会寻找学生“已知区”和“最近发展区”的结合点，在知识的“增长点”处设置悬念，在学生可能形成思想、观念等原始生长点处利用问题串引导，使学生认知结构中的“最近发展区”上升为“已知区”，不知不觉唤起学生对学习的热情，逐步提高问题的难度，从而促进数学知识的自然生成。

案例3

在进行“对顶角”的教学时，教师可以设计以下问题串：

问题1：把两根小木条中间钉在一起，使它们形成4个角，这4个角的大小能自由改变吗？在制作过程中你有什么感想？

问题2：在相交的道路、剪刀、铁栏栅门等实际问题中（教师通过多媒体课件呈现图片），你能发现哪些几何形象？试作出它的平面图形？

问题3：如果将剪刀用图形简单地进行表示（如图3），那么∠1与∠2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？能试着说明你的理由吗？

问题4：找找生活中对顶角的例子。

图3

【说明】问题1是一个与学生的生活紧密联系的数学实验，直观的动态模型能够使学生初步形成对学习对顶角概念的形象雏形理解，从而让学生经历知识的发生过程，能够给学生提供充分的实践与想象的空间。问题2配合问题1对几何形象进一步去观察、操作、猜想，使学生的发现与归纳在更高的思维层次上展开，从而克服了直接给出“两线四角”引入对顶角概念的单一教学模式，促使学生进行探究式的主动学习。问题3为学生提供了极好的探究“对顶角相等”这一性质的现实模型，让学生亲身体验了对顶角性质的归纳，使之自然稳固地内化到认知结构中。问题4让学生回到现实中，应用对顶角的概念去寻找生活中对顶角的例子，既能使学生体验到数学的应用价值，又能加深学生对知识的理解，真正实现知识的自主建构。因此，这些问题串预设了丰富的具有现实背景的问题，关注了学生的生活经验，让学生动手“做”数学，开拓了学生的思维空间，提高了学生的自主探索能力。

因此，问题串的生成，要做到问题前后连通，这样有助于搭建学生学习的“脚手架”，引导学生自主探究，把学生由问题的“浅滩”诱入问题的“深水”处，让一串问题生成了一节课的全部知识，既表现了一节课的整体美感，又提高了整节课的效益，达到提纲挈领的作用。

4.采用梯度式探究教学

《课标》指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。探究教学，它的核心是构造一系列探究的方法，来展示知识发生、发展过程，并内化为经验，是数学问题的结构和演变的过程。所以，探究的价值不仅仅是获得知识，更重要的是让学生经历探究的过程，感受数学文化的底蕴。探究应能诱导学生积极思考，要想探究活动井然有序，课堂效果好，教师就得抓住契机设置启发学生思考、梯度适宜的探究活动。

案例4

在教学义务教育教科书北师大版七年级上册“2.8有理数的乘法”时，可以这样设计。

（1）甲水库的水位每天升高3厘米，乙水库的水位每天下降3厘米。4天后甲、乙水库的水位的总变化量各是多少？

如果用正号表示水位上升，用负号表示水位下降，那么4天后甲水库的水位变化量为： 3＋3＋3＋3＝3×4＝12（厘米）。

同理，乙水库的水位变化量为：

（-3）＋（-3）＋（-3）＋（-3）＝（-3）×4＝-12（厘米）。

（2）运用上面的运算方法，进行下列计算：

（-3）×3＝__________(www.xing528.com)

（-3）×2＝__________

（-3）×1＝__________

（-3）×0＝__________

（3）观察以上算式，你能发现什么规律？

（4）猜一猜：

（-3）×（-1）＝__________

（-3）×（-2）＝__________

（-3）×（-3）＝__________

（-3）×（-3）＝__________

（5）观察每个式子中的两个因数及积的符号，你能得到什么结论？

【说明】这一组探究活动，先以问题（1）这个探究情境，引导学生运用已有的生活经验初步感知-3乘以4的实际背景，为问题（2）的探究搭建平台。问题（3）通过探索规律，让学生自己观察发现算式的因数与积的关系：当第二个因数减少1时，积增大3，为问题（4）的猜想提供方向。 当第二个因数从0减少为-1时，积从0增为3，规律继续下去，有理数乘法法则的三种情况便逐一呈现出来。通过对特例的归纳，鼓励学生运用自己的语言加以描述，得出法则。

事实上，学生学习的过程与科学家的研究过程在本质上是一致的。教学中应引导学生像“小科学家”一样通过探究活动去发现问题、提出问题、分析问题直至最后解决问题。因此，探究是一种需要，能够集中学生的注意力，激发学习兴趣，产生学习动机，明确学习目标，建立知识联系，使学生的求知欲由“潜伏状态”进入“活跃状态”，从而能深入地理解知识的生成过程。

5.巧用动手实践活动

在课堂教学中，有的数学知识，可以让学生在动手实践中自然获得。学生既能从中发现数学原理，又能体验到问题的结论和方法之间的精彩过程，以已有的知识和经验为基础进行积极“和谐”的建构活动，可以把新的学习内容自然地纳入已有的认知结构中去。实践证明，只有通过学生自主探索、动手操作、观察、比较，这样的课堂才能更具生命力，才能让学生更牢固地掌握知识，促进高效课堂自然生成。

案例5

在教学义务教育教科书北师大版八年级下册“5.5三角形的内角和定理的证明”时，教师这样展开教学。

（1）我们知道，三角形三个内角的和等于180°，你还记得这个结论是怎样探究得到的吗？

（2）每个学生用手中的三角形纸片动手实践，找出验证方法。

（3）交流各种验证方法。

方法1：（用折纸的方法验证三角形内角和定理）先将三角形纸片一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行，然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合，最后得所示的结果。 （如图4）

方法2：将三角形纸片任意两角剪下，拼凑在第三个顶点处。（如图5）

方法3：将三角形纸片三顶角剪下，随意拼凑在一条边上。 （如图6）

图4

图5

图6

【说明】“三角形三个内角的和等于180°”是小学就已获得的结论，本节课则是要严格证明这一结论，难点是添加合适的辅助线， 突破这一难点的方法是与实验方法建立起联系，让学生从中得到启发：证明的方法虽然很多，但基本思路都是把分散的三个角“搬”到一起构成一平角，而作平行线则是将角“搬”到一起的基本途径。

在以上的教学中，教师不是简单地把知识灌输给学生，而是充分体现学生的主体地位，让学生动手操作，亲身实践，动脑思考，围绕学生学习中的问题展开教学，学生在实验的同时，也经历了知识的形成过程，可以加深理解，长久记忆，真正明确知识的来龙去脉。这个过程不是刻意的，不是强加给学生的，而是动态、自然地生成。

6.重视运用多媒体技术

《课标》指出：积极开发和有效利用各种课程资源，合理地应用现代信息技术，注重信息技术与课程内容的整合，能有效地改变教学方式，提高课堂教学的效益。需要注意的是，现代信息技术的作用不能完全替代原有的教学手段，其真正价值在于实现原有的教学手段难以达到甚至达不到的效果。

案例6

在教学义务教育教科书北师大版八年级上册“3.5它们是怎样变过来的”时，有以下几个教学环节。

（1）图7由四部分组成，每部分都包括两个小“十字”。最右侧部分能经过适当的旋转得到其他的三部分吗？能经过平移得到吗？能经过轴对称得到吗？还有其他的方式吗？

图7

图8

图9

（2）怎样将图8中的右图变成左图？

（3）你能将图9的左图通过平移或旋转得到右图吗？

【说明】本节课旨在通过几组相对活泼的问题，向学生展示图形之间的变换关系。借助“十”字组成的简单复合图形，提出具有一定开放性的问题，如果在黑板上画出各种变化情况，有些变化学生只能想象，部分学生能力达不到。利用Flash可以展示随意变化，形成多种情况，逐步培养学生良好的空间观念和一定的创新意识。

现代媒体技术解决了几何图形的运动变化难以真正在黑板上直观展示的“尴尬”，为我们提供了一个十分理想的“做数学”的环境。学生可以任意拖动图形、观察图形、猜测并验证图形，在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景，从而更有助于学生理解和证明。多媒体所呈现的丰富的动态的图形，可以极大地开阔学生的视野，给学生更多“发现”的机会，同时，课堂教学也能在动态、直观地展示中自然生成。

总之，新课程理念下的动态、自然生成的教学，不是简单的传递和被动的接受。由于学生的差异、课堂问题的突发性，教学过程中常常会出现疑惑，更有可能出现创新思维的火花。因此，教师要努力提高自己的教育智慧，巧用这些生成性资源，顺势进行引导，就会激起学生思维的碰撞，使数学知识因自然生成而美丽，使数学课堂因自然生成而精彩。