“综合与实践”活动的内容要特别突出“综合”。这种综合不仅表现为数学内部各分支（如几何、代数、统计）之间的综合、数学与其他学科的综合、数学与学生日常生活实际的综合，而且还表现为解决问题的过程中要求学生的各种能力、各种方法、各种工具的综合。它不是一个具体知识点的直接应用，也不是已有数学知识、方法反射式的套用，而是给学生一个综合应用以往学过的所有数学知识、方法，去实际解决一个数学内部或生活实际问题的机会，条件未必可丁可卯，线索未必清晰可见，问题本身和结果可能还需要另外的解读。在“综合与实践”内容的选择上，以学生熟悉的生活、感兴趣的事物为背景，紧密联系学生实际，从学生的生活经验和已有知识经验出发，创设生动有趣的情境，引导学生通过观察、操作、实践归纳、类比、思考、探索、猜测、交流、反思等活动，掌握基本知识和技能。
“综合与实践”活动的实施要突出“做”和体现“过程”。“综合与实践”的实施是以问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动，它有别于学生对具体知识的探索活动，更有别于课堂上教师的直接讲授。教师通过问题引领，让学生全程参与实践过程，经历相对完整的学习活动。它的核心是学生在教师的引导和帮助下有目标的、自主的实践活动。在具体的教学中要注意：①充分发挥学生的主体性，关注学生的学习过程。《课标》在课程理念中指出，“有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者”。教师可以向学生推荐活动，学生做出选择并实施这些活动，在活动的选择中学生要有较强的自主性。在活动的形式上要鼓励学生独立思考，多采用诸如小组合作、实景观察、实地测量、动手操作、直接收集数据、问卷调查真实数据计算等活动形式，使学生真正动起来，在活动中积累数学活动经验，提升数学能力和素养。②鼓励学生思维方式的多样性，突出过程性评价。解决问题的方式方法是多样的，在“综合与实践”的教学活动中，教师要创设利于学生思考、交流、合作的课堂氛围，鼓励学生独立思考，积极参与讨论和交流，培养学生良好的思考习惯和合作意识，鼓励学生大胆质疑，提出不同的看法和解决方法，允许学生有错误的看法和方法，给学生留下足够的时间和空间去探索和思考，培养学生的创新意识与实践能力。在活动中，教师要以过程性评价为主，依据特定的学习形式、特殊的学习对象以及具体的解决问题过程来选择适当的评价形式。
案例 《设计遮阳篷》（第1课时）教学设计
课题：北师大版初中数学九年级（下册）综合与实践《设计遮阳篷》P117～P119。
（一）教材分析
“综合与实践”的内容是帮助学生综合运用已有知识与经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定实践性和综合性的问题，以培养学生解决问题的能力。《设计遮阳篷》旨在使学生综合运用所学知识（如三角函数、圆、抛物线、相似等数学知识及地理知识）解决生活中的实际问题，体会数学是一门具有广泛联系、十分有用的学科；在解决问题中学生要经历查阅资料收集和分析信息，测量基础数据并画图，动手制作模型等过程，学生将获得科学研究的体验，以及发扬与同伴合作和克服困难的精神，使他们的自信心得到发展。
《设计遮阳篷》教材设计了2个课时，本节课是第1课时，本课时主要围绕设计满足“既能最大限度地遮挡夏天的阳光，又能最大限度地使冬天的阳光射入室内”这样一个条件的遮阳篷，引导学生将复杂问题简单化，即舍弃一些次要因素，抓住主要矛盾，做出合理的假设；经历将实际问题数学化，即将实际问题转化为数学问题，运用所学的知识，通过计算、推理、分析得到数学结论，进而回到实际生活中进行检验的数学建模过程。
（二）学情分析
九年级学生通过三年的学习，积累了丰富的活动经验，具有一定的自主探究和合作交流的能力，已具备解决这类实际问题所需的相关知识，如三角函数、圆、抛物线等数学知识及地理知识，能比较熟练地运用数学知识解决一些现成的应用型问题。但是由于学生日常社会实践的机会较少，对遮阳篷缺乏了解，特别是“如何将生活中的遮阳篷抽象成几何图形、建立数学模型、提出符合他们现有的知识能力水平的数学问题”还是有一定难度。
（三）教学目标及重难点
教学目标：
（1）通过调查实践，分析遮阳篷设计原理，设计解决问题的方案，经历和体验建立数学模型解决实际问题的过程，并在此过程中尝试发现和提出问题。
（2）经历从实际问题抽象出数学问题—建立模型—综合应用已有的知识解决问题的过程；在解决问题的过程中进一步丰富学生的空间观念和符号感。
（3）通过自主探究、合作交流获得成功的体验和克服困难的经历，增进学生应用数学的信心。
教学重点：将复杂实际问题简单化，抽象出数学问题—建立模型—综合应用已有的知识解决问题。
教学难点：将复杂实际问题简单化，抽象出数学问题，建立数学模型。
（四）教学策略分析
本节课主要以学生自主探究、合作交流的形式展开，利用导学案，并借助问题串引导学生设计满足多个条件的遮阳篷，通过“复杂问题简单化”“实际问题数学化”“学以致用”“归纳拓展”等一系列教学活动，让学生亲历实际问题—数学建模—解决方案设计的探究过程，提高学生解决问题的能力，积累解决复杂实际问题的经验。
（五）教学过程
1.走近遮阳篷
（课件展示遮阳篷图片）
思考：①通过上网查询或实地查勘，你知道遮阳篷有哪些形状、类型？
②你知道遮阳篷的设计原理吗？设计遮阳篷要考虑哪些因素？
③设计固定的遮阳篷需要满足什么条件？
设计意图：让学生走近遮阳篷，分享课下学习成果，认识遮阳篷的相关知识，尤其是明晰遮阳篷的数学设计原理及需要满足的条件，为后面的问题探究奠定基础。
2.提出问题
假设某居民楼地处北半球某地，窗户朝南，窗户的高度为h cm。此地一年中正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为α，最大夹角为β。请你为该窗户设计一个遮阳篷，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内。（如图1）
图1
思考：
①阅读问题，你从中获取到哪些信息？
②设计一个固定的直角形遮阳篷，需要关注哪些因素？
设计意图：通过对具体实际问题的分析，让学生经历将复杂问题简单化即舍弃一些次要因素，抓住主要矛盾，做出合理假设的过程，并学会分层解决复杂问题的方法。
3.活动探究：探究遮阳篷的设计方案
（1）建立数学模型
思考：①解决实际问题的基本思路是什么？
②在已抽象出的几何图形中，哪些量是已知的，哪些量是未知的？
③要设计同时满足两个条件的遮阳篷，有什么好的处理策略？
设计意图：学生结合已有经验，思考讨论解决实际问题的办法，教师通过动画演示，让学生经历将实际问题数学化的过程，建立数学模型；并体会分层研究问题的必要性。
（2）分层解决问题
探究活动1：让夏天的阳光尽可能地留在外面。
夏天，当太阳光与地平面的夹角为β时（如图2），其中AB表示窗户（AB=h cm，如图3），BCD表示直角形遮阳篷。要想使太阳光刚好不射入室内，遮阳篷BCD应如何设计？
图2
图3
思考：①一束平行光线照射到窗户上，要想让所有光线刚好全部不射入室内，关键是挡住透过遮阳篷边沿（即点D）与窗户哪个点的光线？
②满足上述条件的光线与遮阳篷CD的夹角是多少？为什么？
③请在图2中画图表示。此时，BC，CD唯一吗？说说自己的理由。
处理方法：学生结合问题串，独立思考，全班交流，通过画图或解直角三角知识解释BC、CD不唯一的原因。(www.xing528.com)
教师引导学生关注“刚好全部不射入”条件，演示画图，总结设计方案。结论：当太阳光与地平面的夹角为β时，要想让所有光线刚好全部不射入室内，关键是挡住透过遮阳篷边沿（即点D）与窗户下端A点的光线，即经过DA的光线与地面的夹角为β或∠ADC=β即可，BC，CD不唯一。
设计意图：以问题串的形式，明晰问题解决的方向，引导学生思考，自主探究符合条件的设计方案，并通过动手实践，画出符合条件的图形，讨论交流自己的想法，为下一环节的合作探究做铺垫。
探究活动2：让冬天的阳光尽可能地全部射入室内。
冬天，当太阳光与地平面的夹角为α时（如图4），其中AB表示窗户（AB=h cm，如图5），BCD表示直角形遮阳篷。要想使太阳光刚好全部射入室内，遮阳篷BCD应如何设计？请在图4中画图表示。此时，BC，CD唯一吗？说说自己的理由。
处理方法：
小组合作，要求：①独立思考后，小组合作交流，确定遮阳篷设计方案。
②在学案上画出示意图，并判断BC，CD是否唯一？
图4
图5
③学习小组选派代表全班交流设计思路及设计方案。
教师关注学生在合作学习中的表现，适时给予有困难的小组进行帮助、指导。
设计意图：类比活动1的方法，通过小组合作，探究解决问题的方法并设计符合条件的方案，培养学生的合作意识及准确的语言表述能力。
探究活动3：二者兼顾——在冬天能最大限度地使阳光射入室内，在夏天又能最大限度地遮挡炎热的阳光。
要同时满足上面两个条件，那么遮阳篷BCD应如何设计？请在图6中画图表示。此时BC唯一吗？CD呢？你是怎样发现的？
处理方法：①学生独立完成设计方案的设计，画出示意图如图7，并能讲解自己的设计思路。
②小组合作，讨论：解释BC、CD的唯一性，并用含h、α、β的关系式分别表示BC和CD；小组代表讲解推导过程。
图7
③教师关注学习困难学生，进行个别辅导；关注学生推导关系式可能出现的多样性（通过三角函数及方程组思想解决问题或借助一次函数交点的方法解决问题）。
方法1：在Rt△BCD中，∠BDC＝a，则BC＝CD·tanα①。
在Rt△ACD中，∠ADC＝β，则AC＝h+BC＝CD·tanβ②。
设计意图：综合前面解决问题的方法，独立设计符合同时满足上述两个条件的遮阳篷，让学生进一步理清设计方法，提高学生独立设计符合条件方
图6案的能力。
4.学以致用
就北半球而言，冬至这一天的正午时刻，太阳光与地平面的夹角最小；夏至这一天的正午时刻，太阳光与地平面的夹角最大。已知银川地区一年中正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为30°；最大夹角为75°。某居民楼窗户的高度为150 cm。请设计一个直角遮阳篷，并求出BC，CD的长度（精确到1 cm）。
处理方法：①学生独立完成，个别交流。②教师重点关注学生解决实际问题的方法，引导学生先建立数学模型，画出符合题意的几何图形，进而解决问题，克服学生代入相关数据进行简单计算的做法。
设计意图：通过具体的实际问题，让学生经历实际问题—建立数学模型—运用数学知识解决问题的过程，达到学以致用的效果。
5.总结方法，推广设计
（1）议一议
若根据上面的BC和CD的长度为银川地区设计一个遮阳篷BCD，那么你认为它符合本课学习一开始提出的要求吗？你能提出进一步的改进意见吗？与同伴进行交流。
想一想：如何利用所学的知识，测量我们这里正午时刻太阳光与地平面的夹角？
设计意图：通过讨论交流，让学生进一步体会什么是数学建模，明晰在建立数学模型时，只能考虑主要因素，舍弃次要因素；数学模型反映实际问题中的关系和规律还有待于检验、修改，要结合具体的问题进行完善。
（2）拓展延伸
①如图8，如果要求遮阳篷的CD边为圆弧形（C，D同高），那么你还需要知道哪些数据才能进行设计？
②如图9，如果要求遮阳篷的CD边为抛物线形状，那么你还需要知道哪些数据才能进行设计？
③如果要求CD边可伸缩，那么应该如何设计？
图8
图9
设计意图：提供学生熟悉的几何形状，让学生结合本节课的学习经验，学会抓住主要因素进行不同形状的遮阳篷设计，体会数学的应用价值，激发学生课后研究的热情，为后续第2课时设计遮阳篷模型，书写设计报告奠定基础。
6.课堂小结
本节课你有哪些收获与不足？与同伴交流。
设计意图：通过学生的交流，教师归纳，帮助学生积累解决实际问题的策略、方法及经验，起到“画龙点睛”的效果。
7.布置作业
查阅有关资料，以小组为单位为教室窗户设计一个遮阳篷模型，并形成文字和数据说明。
（六）教学反思
本节课重点围绕设计一个满足条件的遮阳篷展开教学，教学中教师充分信任学生，尽可能地将问题留给学生，让学生通过自主探究、动手实践、合作交流，经历解决实际问题的整个过程，从而积累解决实际问题的经验与活动经验。虽然教师在课前对问题解决进行了充分的预设，但在实际教学中，教师始终以学生的思维方向为主线，围绕学生在解决问题中的质疑展开教学，真正体现了学生是课堂的主人的教学理念。借助导学案开展教学，学生预习效果良好，课堂表现积极，思维活跃，敢于质疑，达到了预期的效果。
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