发展学生的应用意识展开教学

“统计与概率”的内容与实际生活有着密切的联系，在该领域的学习中，发展学生应用意识也是重要的目标。教学时，教师要注重设计贴近学生生活的情境，使学生经历收集数据、整理数据和分析数据的过程，鼓励学生对数据的来源、收集和描述数据的方法、由数据得到的结论进行合理的质疑，培养学生利用统计知识解决问题的意识，逐步发展学生的应用意识。切忌将统计的学习处理成单纯数学计算和绘图技能。

案例1 《用列举法求概率（第2课时）》教学设计

教材：人教版初中数学九年级上册第二十五章《概率初步》第2节《用列举法求概率（第2课时）》。

（一）教材分析

统计与概率是义务教育阶段四大学习板块之一，在整个初中阶段有着举足轻重的作用。概率问题是人们日常生活中经常碰到的问题，人们都自觉或不自觉地应用概率思想，在现实生活中有着非常重要而广泛的应用。本节课是“用列举法求概率”的第2课时，是在学生学习了直接列举法、列表法求随机事件概率的基础上，学习更一般的列举方法求概率——画树状图法。树状图法是一种解决实验由多步（或涉及多个因素）完成问题的好方法，尤其是解决三步或三步以上（或涉及三个或三个以上因素）完成问题时，这种方法比列表法更加优越，具有普遍的适用性，它既是“用列举法求概率”知识的延续，又为继续研究古典概率，包括高中的排列组合提供了一种思维方法。在列举过程中注重培养学生思维的条理性，加强数学知识与现实生活的联系，进一步体会数学的价值和丰富内涵。

（二）学情分析

通过前面的学习，学生对有限可能性事件概率的意义有了初步的认识，并能用直接列举法和列表法求简单事件的概率。作为九年级学生，已经具有一定的活动经验和体验，具备一定的主动参与、合作意识和初步的分析、抽象、归纳概括能力。具有自主学习意识，能在教师创设的便于观察和思考的学习环境中，结合真实的背景素材，获取新知，并学会应用新知解决问题的技能与方法。

（三）教学目标

（1）在具体情境中了解概率的意义，会画树状图计算简单事件的概率。

（2）通过画树状图求概率的过程培养学生思维的条理性，提高学生分析问题、解决问题的能力。

（3）通过对不同列举方法的比较和探究，渗透数形结合、分类讨论、由特殊到一般的思想，进一步发展学生抽象概括的能力。

（4）在自主探究、合作学习中培养勇于探索的学习精神，感受数学的简洁美，及数学应用的广泛性，增强应用意识。

教学重点：画树状图计算简单事件的概率。

教学难点：通过学习画树状图计算概率，培养学生思维的条理性。

（四）教学诊断分析

通过前面的学习，学生虽然已经对事件的可能性有了初步的认识，并且能够利用列表法计算简单事件发生的可能性。但是，真正列举事件的结果，学生并没有经验，尤其是面对复杂的随机事件，事件究竟分几步完成，对学生而言比较困难。为此，在教学过程中要尽量鼓励和引导学生主动探究和构建知识结构，利用分类的方法有序地列举，亲身经历画树状图法的形成过程，并在应用中逐渐加深理解。

本节课研究在一次实验中涉及3个步骤或更多个步骤时，用树状图法求概率，这种概率问题在这个学段最为复杂，尤其是当问题的背景变化时，学生是否真正理解题意。例如在每次实验中有几步，每步是否是等可能的，是否与顺序有关等，教学时应给学生足够的时间去思考、交流、切磋。另外，画树状图遇到分枝较多时，找m、n的值容易出现错误，因此，在明确随机事件的情况下，总结确定m、n的不同方法供不同层次的学生选择使用是很有必要的。

（五）教法、学法分析

（1）教法分析

根据本节教学内容和学生年龄等特点，本节课将采用启发引导和探究相结合的教学方法。在教学过程中“以情境创设为前提，以问题驱动为导向，以学生活动为阵地，以培养能力为宗旨”，在整体设计中采用“创设问题情境—探究学习—交流展示—剖析例题—巩固新知”的模式展开教学；通过真实、熟悉的情境，激发学生的学习动机，尽力唤起学生的求知欲望，促使他们动脑、动手、动口，积极参与学习活动全过程，在老师的指导下生动地、主动地、富有个性地开展学习活动。让学生在探究、交流、归纳、应用的实践活动中自主参与知识的发生发展过程。

（2）学法指导

按照学生认识规律，遵循以学生为主体、教师为主导、教学活动为主线的思想，以自主探究为主，适时点拨为辅的方法进行学习，使学生轻松参与知识的形成过程和应用过程，提高学生分析问题和解决问题的能力。

（六）教学过程

1.复习提问 巩固旧知

问题1：你知道求简单随机事件概率的方法有哪些？

问题2：用列举法求概率的基本步骤是什么？

设计意图：通过提问，对前一节课所学方法的步骤进行归纳，为本节课用画树状图法求概率做好铺垫。

2.创设情境 探究学习

（视频播放）宁夏风光和银川国际公路自行车比赛的录像。

展示课件1：为倡导绿色出行，某单位为每位职工赠送了两张2019年度银川国际公路自行车比赛开幕式门票，可小明家有3口人，到底让谁去呢？小明想出了一个好办法，即用“手心手背”的游戏方式确定哪两个人去，并制定如下规则：三人同时伸出一只手，三只手中恰好有两只手心向上或者手背向上的两人去，若无此情况，再次游戏。

你能帮小明求出一次游戏就确定出哪两个人去的概率吗？

设计意图：从学生身边的事着手，以银川国际公路自行车比赛为背景提出问题，使学生产生一种情感上的亲和力和感召力，而“手心手背”的游戏学生又非常熟悉，极大的激发学生的学习兴趣和参与意识。学生通过计算概率，既复习了上节课用直接列举法求简单事件的概率，又为下一环节探究用其他方法求概率做了铺垫。对学生出现的问题和想不到的方法给予及时点拨和引导，体现教师的主导作用。

3.交流展示 引出新知

请用直接列举法的同学板书探究结果，并进行简单说明。

手心—A

方法1：

AAA，AAB，ABA，ABB，

BAA，BAB，BBA，BBB。

通过学生自主探究，并准确地表述出自己的方法，培养学生分析问题、解决问题以及归纳问题的能力。引导大家对两种方法进行比较，感受思维的条理性和实施得有序性。

设计意图：通过探究学习活动，使学生在探索的过程中学会交流与合作，有利于展示学生对问题解决的不同策略，真正体会问题解决的过程，培养学生的发散性思维和创新能力以及克服困难的勇气。

4.典例精析 应用新知

例题 甲、乙、丙三个口袋中分别装有大小、形状相同的小球若干，甲口袋中装有2个小球，分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个小球，分别写有字母C、D和E；丙口袋中装有2个小球，分别写有字母H和I；现要从3个口袋中各随机取出一个小球。求：

（1）取出的3个小球中恰好有1个，2个，3个写有元音字母的概率各是多少？

（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？

出示问题串，引导学生分析：

问题1：该题目与前面所学的利用列表法求事件概率相比有何不同？

问题2：需要分几步完成一次试验？顺序是怎样的？

问题3：尝试列树状图，列出所有可能的结果，共有多少种？

问题4：你是如何确定概率公式中m、n的值？

设计意图：借助问题串，引导学生分析、对比前面所学内容，体会画树状图法的必要性和优势，进而帮助学生掌握画树状图解决概率问题的技能。在明确随机事件的情况下，总结确定m，n的不同方法供不同层次的学生选择使用。

归纳确定m，n的值方法（板书）。

方法1：通过画出的树状图按由上至下、由左至右的方法把每一个可能的结果写出来，从中找出m，n的值。

方法2：直接看树状图的最后一步，就可以求出n的值；再由最后一步向上逐个找出符合要求的可能结果，求出m的值。

方法3：由上至下，根据每一层分成几种结果，利用乘法原理求出n的值，再找出符合要求的可能结果，求出m的值。

问题5：前面我们按甲、乙、丙的顺序画出树状图，如果改为其他的顺序，求出的概率还是一样的吗？

设计意图：通过动手实践，使学生体会一次试验步骤的不同顺序，不影响随机事件发生的概率。

想一想：画树状图求随机事件的概率需要哪些步骤？

明晰画树状图求随机事件概率的基本步骤：

（1）明确一次试验的几个步骤及顺序。

（2）画树状图列举一次试验的所有可能结果。

（3）确定m，n。

设计意图：通过归纳，可以加深学生对新方法的理解，更好地认识到列表法和画树状图求概率的优越性在于能够直观、快捷、准确地获取所需信息，有利于学生根据实际情况选择正确的方法。

5.随堂练习 巩固新知

（1）小亮上学需要经过三个十字路口，每个十字路口遇到红绿灯的机会都相同，小亮希望上学时经过每个路口都是绿灯，这样的机会有多大呢？

（实物投影展示学生的答案，师生共同进行点评。）

设计意图：为了检验学生对画树状图法掌握的情况，加深对列表法、树状图法各自优势的认识，以便面对问题时能灵活选择合适的方法，提高应用所学知识解决问题的能力，设置练习（1），除了巩固涉及三个步骤实验适合用画数形图的方法外，还兼为练习（2）做铺垫。

（2）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大小相同，同向而行的三辆汽车都经过这个十字路口时，求下列事件的概率：

①三辆车全部继续直行；

②两辆车右转，一辆车左转；

③至少有两辆车左转。

（实物投影展示学生的答案，师生共同进行点评。）

设计意图：练习（2）是三步实验的事件，是让学生体会画树状图法的优势。巩固画树状图求概率的知识，感受概率与生活的密切联系。虽然有27种可能的结果，比较复杂，但有练习（1）搭建的攀援之梯，大部分学生不会感到困难，在学生独立解答的基础上，有针对性地指导困难学生，保证全体学生共同进步。

（3）拓展练习：袋中有4张上海世博会吉祥物“海宝”的图片（图片的形状大小一样，图片分别标有A，B，C，D），依次取出（不放回）两张图片，求取出的两张图片中恰好有一张是图片A的概率是多少？

解：两张图片中恰好有一张是A记为事件M。

设计意图：拓展练习是两步不放回地抽取，使学生认识到树状图在列举不同类情况时表现出来的优越性，弥补了列表法的不足，成为分类列举确保不重不漏而不可或缺的重要工具。同时展示学生解题策略的多样性，拓展学生思维。

6.归纳小结 布置作业

归纳小结：学生回顾反思，教师适时引导

（1）用列表法或树状图法求概率时，应注意各种结果出现的可能性务必相同，其目的是保证列举的不重不漏。

（2）当实验包含两步时，列表法较方便，当然也可以用树状图法（尤其是“抽取不放回”类问题），如果事件是三步或三步以上的实验时，采用树状图法较为方便，此时难以用列表法。

（3）列表法和树状图法求概率体现数形结合及分类的思想，我们常常借助分类的方法把复杂问题转化为简单问题来解决。(www.xing528.com)

设计意图：通过问题反思的形式引导学生回顾、归纳、表达，形成知识体系，培养学生归纳总结概括的能力，充分发挥学生的主体作用。

7.布置作业

（1）教材P138页习题第4、5、6题。

（2）以生活中等可能事件为背景，编一道计算概率的题目，并解答。

设计意图：通过作业进一步落实知识和技能，巩固所学知识，体会数学与生活的密切联系。

（七）预期效果分析

（1）以现实生活为背景提出问题，既达到很快切入主题，又激发学生的学习兴趣和主动参与意识。

（2）充分发挥学生的主体性，让学生的思维在教师的引导下层层展开，学生“听”有所“思”、“练”有所“获”，使传授知识与培养能力融为一体。

（3）精心设计的例题和练习，既能让学生获得成功的喜悦，提高学习能力，又能及时找到不足，调整学习目标，促进自身发展。

案例2 《中位数和众数（第1课时）》教学设计

教材：北师大版初中数学八年级上册第六章《数据的分析》第二节《中位数和众数（第1课时）》。

（一）教材分析

统计与概率是中小学数学课程的重要内容之一，在九年义务教育阶段占有重要的位置。一个完整的统计活动过程包括数据的收集、整理、描述、分析数据、作出决策这五个环节。在七年级，学生已经学习了数据的收集、整理与描述。《中位数和众数》是北师大版初中数学八年级上册第六章《数据的分析》第二节的内容，本节课主要让学生认识数据统计中除平均数外另外两个用来表示数据集中趋势的基本统计量，即中位数和众数，学会利用平均数、中位数、众数分析数据的集中趋势并作出合理决策，这节课是继平均数学习之后的后续内容，既是对前面所学知识的深化与拓展，提高学生对数据处理的能力，又联系现实生活，培养学生应用数学意识和发展学生的统计观念，为以后学习统计知识打下基础。

（二）学情分析

在小学第二学段学生已初步接触了平均数、中位数和众数这三个基本统计量，对三个基本统计量有一定的认识。在此基础上，通过上节课的学习，学生对平均数已经有了比较全面的了解，这为学习中位数、众数奠定了基础，同时，通过初中一年的学习，学生已初步具备一定的归纳、猜想能力，对数学学习有一定的兴趣，能够积极参与探究，但在学习方式方面，如自主探究、合作交流的意识还有待加强，尤其是结合数据分析作出合理决策是学生初次接触的，对学生是一个挑战。

（三）教学目标

（1）理解中位数和众数的概念和意义，会求一组数据的中位数和众数。

（2）结合具体问题解释中位数和众数的实际意义，并能分清平均数、中位数、众数三者的区别，根据实际问题情境选择适当的统计量表示数据的特征。

（3）通过实际问题情境经历探索中位数、众数的过程，培养学生的应用意识和实践能力。

（4）在解决实际问题的情境中，让学生体会数学与实际生活的联系，感受统计在生活中的应用，增强统计意识，培养统计能力。

教学重点：会求中位数和众数，能结合实际情境理解中位数和众数的实际意义。

教学难点：理解平均数、中位数和众数这三个概念之间的联系与区别，能根据具体问题选择适当的统计量分析数据信息并作出决策。

（四）教学诊断分析

（1）本节课的中位数和众数的概念容易理解，但在求中位数时容易出错，在教学中需强调两点：①先将一组数据按由小到大（或由大到小）的顺序排列；②当一组数据的个数是偶数时，要求中间两个数的平均数作为这组数据的中位数。一组数据中，每个数据出现的频数一样，求这组数据的众数时，是学生易出错点，有学生会认为这组数据的众数是每个数据都是众数，只要特别注意抓住概念中“最多”这个关键词，则可消除学生的误解。教学中通过分别代表几种不同情形的7组数据，巩固学生对中位数和众数的求法。

（2）在教学中最大的难点是在实际问题情境中让学生选取适当的数据的代表解决问题。由于没有什么标准，很难总结规律，学生会从自己的认知出发，感性分析问题。如在讨论问题情境中的问题——你认为用哪个数据的代表反映这家公司员工的一般工资水平，更合适？学生在小组讨论交流中，可能有用1800元（众数）或中等水平工资1900元（中位数）来回答，这样的选择都算比较合理，但也有同学还是认为是2700元（平均数）。应引导学生考虑实际背景，通过对这组数据的分析，结合实际背景，公司中只有两个员工的工资是在2700元以上，所以用平均数2700元描述这组数据的集中趋势是不合适的。同时也让学生意识到，这三个基本的统计量不能剥离了实际背景进行分析，从而使学生真切感受到这三个基本统计量的实际意义。

（3）在例题教学中，涉及如何利用样本的中位数估计总体的中位数的问题，从而评价成绩为142分的选手的成绩，由于这名选手的成绩不在样本数据当中，学生可能不易理解，只是知其然，道不出所以然。这就需要在教学中结合本题的实际引导学生体会用样本估计总体的思想。

（五）教学过程设计

1.创设情境，导入新课

招聘启事

因本广告公司扩大规模，现需招员工若干名，我公司员工人均月收入为2700元，有意者欢迎加盟！

XX广告公司人事部

2020年7月20日

问题1：你怎样看待该公司员工的收入？观察表中的数据，通过计算该公司员工的月平均工资谈谈你的看法。

问题2：用平均数2700元，反映这家公司员工的一般工资水平合适吗？为什么？

设计意图：通过生活中的真实问题，引起学生对“月工资水平”的认知冲突，发现在实际生活中某情况下，用平均数来描述数据特征有时是不合适的，从而激发学生的学习兴趣。（引出课题）

2.探索新知

问题3：职员C说：“我的工资是1900元，在公司算是中等收入。”如何理解“中等收入”？

设计意图：让学生交流讨论，初步感受员工的中等收入实际上就是找中位数的过程。

问题4：1900在这组数据中处在什么位置？

初步形成中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数。

（出示新工资表）

问题5：这组数据的中位数是多少呢？

设计意图：一组数据的个数是偶数时，如何确定中位数？

（板书中位数的概念）将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数。如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数。

练习巩固：试求出下列各组数据的中位数。

（情境，其中另一个职员：我们好几个人的工资都是1800元。）

问题6：认真观察这组数据，1800在这组数据中有什么特征？

设计意图：从问题情境中，得到众数的概念。

（板书众数的概念）一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。

巩固练习：求下列各组数据的众数。

议一议：通过上面的学习，你认为用哪个数据反映这家公司员工的一般工资水平，更合适？

设计意图：与问题情境相呼应，运用学过的知识进行分析，进一步掌握所学内容。

3.例题讲解

在一次男子马拉松长跑比赛中，抽得12名选手的成绩如下（单位：分）。

136 140 129 180 124 154 146 145 158 175 165 148

（1）样本数据（12名选手的成绩）的中位数是多少？（学生独立完成）

（2）一名选手的成绩是142分，他的成绩如何？（学生交流讨论）

设计意图：应用新学知识于不同情境中，体会中位数、众数在生活中的应用，并渗透样本估计总体的思想。

4.拓展延伸

一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码的鞋销售量如下表所示：

你能根据上面的数据为这家鞋店提供进货建议吗？

（由学生叙述思考的过程，讲清自己的看法，经讨论辨析，最终形成共识。）

设计意图：巩固新学知识，感受众数的意义与作用。

5.课堂小结

回顾本节课学习的内容，谈谈收获。

设计意图：让学生进行小结，回顾本节课所学的知识，加深对数据的代表的理解及体会数学与生活的联系。

6.布置作业

必做题：课本第136页的第2、4题。

选做题：为了促进学生参加体育锻炼，学校超市决定购买一批运动鞋供学生选购，想调查各班级学生所穿的鞋的尺码大小。请帮超市调查本班级同学所穿的鞋的尺码大小，根据所得到的数据进行整理，计算所得数据的中位数、众数，并为学校超市购买运动鞋提出建议。

设计意图：分层次布置作业，其中“必做题”面向全体学生，巩固知识，加深理解；“选做题”面向学有余力的学生给他们一定时间和空间，互相合作，自主探究，增强实践能力。

（六）案例评析

（1）以故事贯穿课堂，采用了“情景教学”“探究式”“启发式”等多种教学方式，创造性使用教材，创设生活情境，通过生生或师生之间相互讨论，在问题解决过程中，建立数学模型，通过引导学生认识中位数、众数的特征，自主完成从具体事例中抽象出中位数、众数的概念。在教学过程中以问题串的方式启发学生，以生动的实例吸引和鼓励学生，在提出问题、分析问题、解决问题、提升能力的情境中展开教学，师生共同探究，逐步完善学生对数据处理的认知结构。

（2）教学设计遵循学生的认知心理，数学教学是数学活动的教学，学生才是数学学习的主人。在教学中，以学生独立思考为基础，适时激发学生的学习兴趣及积极性，组织与引导学生自主探索与同伴合作交流获取本节的知识内容。

（3）教学过程中教师不仅关注结果，更关注过程与方法，重视过程评价，使学生能积极参与数学思考，进一步提高学生学习数学的信心。