关注学生证明推理过程，发展推理能力

证明一般需要做到两点：一是出发点正确；二是推理过程正确。在出发点正确的前提下，“证明要合乎逻辑”即由因得果必须有依据。在“图形与几何”中证明的依据是《课标》列出的基本事实和定义、定理、推论、性质等。在日常教学中，教师一定要引导学生充分讨论，阐述自己的证明思路，并能规范、有条理地书写推理过程；要注重鼓励学生通过“一题多解”“一题多变”“多题归一”等方式，提高学生分析、解决问题的能力。

案例1 《三角形内角和定理（第2课时）》教学设计

教材：北师大版初中数学八年级（上册）第七章第5节《三角形内角和定理（第2课时）》P181～P183。

（一）教材分析

本节课是北师大版八年级上册第七章第五节《三角形内角和定理》第2课时。其教学内容为三角形外角的定义以及三角形内角和定理的推论，主要涉及三角形的外角定义，三角形外角的两个定理及应用，同时进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧。这是对三角形内角和定理的拓展和延伸，使学生对三角形的外角由直观感知上升为理性认识，进而掌握三角形外角的定义和性质的应用，旨在利用已经学习过的知识来推导出新的定理以及运用新的定理解决相关问题。它既是对图形进一步认识的重要内容之一，也是用以研究角相等的重要方法之一。因此，作为八年级上册最后一节新课的内容，本节课起着承上启下的作用。

（二）学情分析

学生在前面的几何学习中，已经学习过平行线的判定定理与平行线的性质定理以及严格证明它们的方法，学习了三角形内角和定理的证明以及相关应用，有相关知识的基础，并具有一定的逻辑思维能力和严谨推理习惯，这使得学生能够在充分理解的基础上对三角形内角和定理进行拓展和延伸，为本节的学习奠定了良好的基础。在活动经验方面，八年级学生已具备一定的学习能力，包括自学和交流，具备有条理的思考分析和表达能力，思维正逐步由具体走向抽象，当然依然倾向于通过形象的材料来理解相关知识和概念。但是， 学生仅具备初步的利用定理推理证明的能力，如何证明几何中的不等关系尚存在困难，另外证明的方法、技巧都有待提高。

（三）教学目标分析

根据《课标》及学生学习情况水平的分析，本节课的教学目标确定为：

（1）掌握三角形的概念及三角形内角和定理的两个推论。

（2）经历探索三角形内角和定理的推论的过程，进一步培养学生的推理能力。

（3）鼓励学生在数学活动中学习并体验做数学的乐趣，感受数学的实用价值，体会数学以不变应万变的魅力。

（四）教学重点和难点的分析

重点：三角形内角和定理的推论及其应用。

难点：三角形内角和定理的推论的应用及证明题的说理性。

（五）教法与学法的分析

1.教法分析

数学是一门培养人的思维和发展人的思维的重要学科，因此在教学中，不仅要使学生“知其然”，而且还要使学生“知其所以然”。针对八年级学生的认知结构和心理特征，本节课选择“问题串”法，由浅到深，由特殊到一般地提出问题，引导学生自主探索，合作交流，学生在已有经验的基础上，要在自己的思考过程中得到进步，加深对知识的理解，就必须在教师的引导下，通过同学间的互相探讨、启发，把课堂上所学的内容完全转化为学生自己的知识。

2.学法指导

倡导“自主、合作、探究”的学习方式，采用了“问题串—点拨—练习”的学习方法，让学生自主参加知识的发生、发展、形成过程。在教学过程中，利用课本例题进行一题多变、一题多解启发学生根据习题间的联系进行分组讨论，以“问题串”的形式引导学生进行思考，由浅到深、由易到难，让学生在已有的知识水平上经历探究、思索的过程，诱导他们正确解题、运用多种方法解题，拓展学生的思维，提高想象能力。

（六）教学过程设计

1.温故知新

（1）如图1，在△ABC中，∠A=30°，∠B=40°，则∠1= ___________。

图1

（2）上图中，若将BC延长至D，则可以得到一个新角_____________，这个角还是三角形的内角吗？

设计意图：让学生回忆三角形内角和定理，并让学生从内与外的关系联想到今天我们要学习的内容，从而引入了新课。

2.自主探究

（1）概念：三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，称为三角形的外角。

对应练习：如图2，∠1为三角形的外角的是（ ）。

图2

（2）任意画一个三角形ABC，并画出它的一个外角∠ACD。结合你画的三角形的外角，思考讨论：

①∠ACD与它相邻的内角有什么数量关系？

②∠ACD与不相邻的内角有什么数量关系？

③∠ACD与每个内角有怎样的大小关系？

由探究可得出结论：

推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理，像这样，由一个公理或定理直接推导出的定理叫做这个公理或定理的推论。

设计意图：通过分组讨论，结合“问题串”比较分析，进一步让学生理解三角形内角与外角之间的关系，提高学生的积极性，并引出三角形的内角和定理的两个推论：①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个角的和；②三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的两个内角的和。在讲述外角知识时层层递进，为学生学习三角形内角和定理的两个推论扫清障碍。

3.理解新知，应用拓展

图3

（1）已知：如图3，在△ABC中，∠A=45°，外角∠DCA=100°，则∠A= __________； ∠ACB= _________。

（2）如图4， 试比较∠BDC与∠A的大小关系。

（3）已知：如图5，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。

求证：AD//BC。

图4

思考下列问题，梳理证明思路：

①证明两直线平行的方法有哪些？

②如图5示，欲证明AD//BC，需要找出哪一对角的关系？

③结合已知条件，怎样证明你选择的这对角的关系？

④还有其他证明方法吗？与同伴交流。

⑤选择你喜欢的一种方法，将证明过程书写出来。

图5

设计意图：本题考查了平行线的判定、角平分线的定义、三角形内角和定理的应用及推论1。在“问题串”的指引下学生分组讨论，通过让学生亲自参与完成，培养学生合作交流的能力，在讨论的过程当中发挥学生自主探索和研究的意识，进一步加深理解三角形内角和定理的推论，并强化对推论的应用，进而突出重点。并在解题的过程中学会数学问题一题多解的解题方法。

（4）已知：如图6，P是△ABC内的一点，连接PB，PC。

求证：∠BPC＞∠A。

图6

思考下列问题：

①若要证明两个角的不等关系，我们学过哪些关于角的不等关系的结论？

②如何将∠BPC构造成某个三角形的外角？

③图中哪个角与∠BPC、∠A有不等关系？

④还有其他构造三角形的外角方法吗？与同伴交流。

设计意图：通过这种例子，让学生复习定理2的同时体会不等关系的递推和论证过程，产生浓厚的兴趣，了解数学来源于生活，可以解决生活当中的很多问题。并引发学生思考，使学生学会运用新知识去解决问题，深刻掌握三角形的内角和定理推论的应用，从而突破难点。

4.梳理知识、归纳小结

（1）通过本节课的学习，你获得了哪些知识？

（2）通过本节课的学习，你学到了哪些方法？

（3）在应用推论2判断角的大小关系的时候，应注意什么问题？

设计意图：再次复习三角形内角和定理的两个推论，引导学生总结本节课的知识要点和数学学习方法，使学生从感性上升到理性，学会把握课堂的重难点，达到对知识的综合整理和灵活应用，形成系统知识。

5.课后作业

课本习题7.5。

案例2 《探索勾股定理（第1课时》教学设计

教材：北师大版初中数学八年级（上册）第一章第1节《探索勾股定理（第1课时）》。

（一）教材分析

勾股定理是平面几何有关度量的最基本定理之一，它从边的角度刻画了直角三角形的特征。学习勾股定理是进一步认识和理解直角三角形的需要，也是后续有关几何度量运算和代数学习必要的基础；在勾股定理的发现、验证过程中蕴涵着丰富的数学思想，也正是基于此，教材设计了3个课时，力图再现勾股定理的探究过程，丰富学生的数学活动经验，并感受勾股定理的文化价值。本节课把三角形有一个直角这种“形”的特点转化为三角形三边边长之间的“数”的关系，是数形结合思想；把探求边的数量关系转化为探求面积的数量关系，将边不在格线上的图形转化为可计算面积的格点图形，是转化思想；从探求特殊直角三角形的三边关系到探求一般直角三角形的三边关系，是特殊到一般的思想；本节课主要通过让学生在方格纸上计算面积的方法，发现、探索得到勾股定理，并解决一些简单的问题。

（二）教学问题诊断分析(www.xing528.com)

本节课在教学中需要注意以下几点：

1.数学思想、方法的渗透及学习方法的指导

在勾股定理的发现、验证过程中蕴涵着丰富的数学思想，如本节课中的数形结合思想、转化思想、特殊到一般的思想，为此在教学过程中，教师要注意发挥教师的主导作用，引导学生运用数学思想看待问题、分析问题、解决问题。例如由探究直角三角形三边平方的关系转化为探求正方形面积之间的关系的教学，教师要引导学生观察图表中正方形与三角形间的关系，从“形”的角度看，直角三角形的三边即为各正方形的边，从“数”的角度看，三角形边长的平方即为各正方形的面积，正方形的面积关系就是直角三角形的三边平方的关系，让学生体会数形结合及转化思想。

2.如何计算边长不在方格线上的正方形面积

本节课利用方格纸计算面积的方法，发现、探索得到勾股定理时，如何计算边长不在方格线上的正方形面积对学生来说有一定的困难，也是本节课的难点。教学过程中，图2中图（1）正方形A、B的面积可以让学生通过数格子或正方形面积公式得到，正方形C的面积需要学生通过拼凑或割或补的方法将不能利用网格线直接计算面积的图形转化成可以利用网格线直接计算面积的图形，尤其是在求一般直角三角形斜边上的正方形面积，学生虽然有意识使用割、补的方法计算其面积，但仍然有一部分学生不会进行割或补，这就需要在教学时结合学生的实际需要进行课堂讨论与合作学习。

3.关注过程性教学与评价

数学教学是数学活动的教学，教师要为学生提供数学活动的机会，本节课教科书设计了在方格纸上通过计算面积的方法验证勾股定理的活动，教师在教学时就要注意鼓励学生经历观察猜想、归纳、验证的过程，并就学生在活动过程中的表现采取多样化的方式给予评价，尤其是要尊重个性差异，对学习困难学生及时给予帮助与鼓励，使其能积极投入到教学活动中。

（三）教学目标分析

根据《课标》和本节内容在整个初中数学中的地位与作用，结合八年级学生知识结构和心理特征，从知识与技能、过程与方法、情感与价值观三个目标领域综合考虑制定了本节课的教学目标。

①经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生合情推理意识，体会数学与现实生活的紧密联系。

②能说出勾股定理的内容并会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。

③在探索勾股定理的过程中，经历“观察—猜想—归纳—验证”的探究过程，并体会由特殊到一般、数形结合以及转化的思想方法。

④在探究活动中，培养学生独立思考、合作交流的学习习惯，通过解决实际问题，增强自信心，激发学习数学的兴趣，在教师的介绍下，体会勾股定理的文化价值。

教学重点：勾股定理的发现、探索过程。

教学难点：将边不在格线上的图形转化为边在格线上的图形，以便于计算图形的面积。

课前准备：方格纸、课件。

（四）教学过程

1.创设情景导入新课

活动内容：情境1，出示章前图，通过“怎样与外星人联系”的话题激发学生的探究欲望，明确本章的学习内容。

情境2，如图7，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。旗杆折断之前有多高？

想一想：你需要求哪些线段长度，这些长度确定吗？

图7

活动目的：教师引导学生把实际问题转化成数学问题，也就是“已知直角三角形的两边，如何求第三边？”的问题。再结合“想一想”中的问题，让学生认识到在直角三角形中，任意两边确定了，另外一条边也就随之确定了，三条边之间确实存在一个特定的数量关系，从而引出对直角三角形三边关系的探索。

注意事项：学生能够获取信息，但对于直角三角形中已知任意两边，第三边也就随之确定了理解比较困难，教师可让学生尝试画图并充分的交流自己的想法。

2.尝试猜想 探索验证

活动内容：活动1，尝试猜想。

在纸上任意画若干个直角三角形，测量它们各边的长度，看看三边长的平方有什么关系？

活动目的：让学生画直角三角形，通过测量得出结论，猜想出直角三角形三边长平方的关系。

注意事项：在学生画直角三角形测量时，教师要适当给予帮助，尽可能的减小误差。

活动内容：活动2，探索特殊直角三角形的三边关系。

如图8中图（1）、图（2），等腰直角三角形的三边的平方分别是多少？它们满足上面所猜想的数量关系吗？你是如何计算的？

图8

活动目的：让学生通过直接数格子或正方形的面积公式得出A、B的面积，用割或补的方法得出C的面积，再利用表格有条理地呈现数据，再得出正方形A、B的面积之和等于正方形C的面积的基础上，归纳得出等腰直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

注意事项：教师要引导学生观察图表中正方形与三角形间的关系，从“形”、“数”的角度分析二者的联系，从而将问题转化为求正方形的面积。

活动内容：活动3，探索一般直角三角形的三边关系。

（合作探究）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，对于如图8中图（3）、图（4），一般直角三角形三边的平方分别是多少？你是如何计算的？它们也满足上面的数量关系吗？

活动目的：让学生通过类比活动2的方法，探索一般直角三角形的三边关系。

注意事项：此环节中，求正方形C的面积是本节课的难点，教师可根据课堂的实际需要，组织学生分小组讨论。然后学生以组为单位，交流、展示求面积的不同方法。

3.归纳验证形成结论

活动内容：（1）在单位长度不同的方格纸上任画几个顶点在格点上的直角三角形。看它的三边是否满足上述规律？

（2）直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，它们的三边是否满足上述规律？

活动目的：让学生在课前准备好的方格纸上任意画直角三角形，进而使上面的结论更加一般化。

教师用弯曲的手臂形象的向学生介绍“勾、股、弦”的含义，板书勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果用a，b、c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2。

活动内容：

填空：

（1）如图9，正方形A的面积是 ________。

（2）如图10，直角三角形中未知边的长度是 。

（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=15，c=25，则b= _________ 。

活动目的：这三道填空题是对定理的直接运用，也让学生再次认识到在直角三角形中已知任意两边的长就可以求得第三边。

图9

图10

4.应用新知 解决问题

活动内容：（1）提出“大家还记得开始提出的旗杆问题吗？”

活动目的：让学生利用所学定理解决开始提出的实际问题，前后呼应，使学生从中体会到成功的快乐。

活动内容：（2）出示课本中“随堂练习”第2题。

小米妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。小米量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？

活动目的：让学生亲身经历将实际问题“数学化”的过程，体现 “人人学有用的数学”这一理念。从而达到了学以致用的目的。

5.回顾反思 交流体会

（1）知识内容及应用

（2）学习方法：

●数形结合、转化、割补图形

●特殊 → 一般

（3）解决途径：尝试猜想 → 理性验证 → 归纳总结 → 实际应用。

活动目的：引导学生从内容、数学思想方法、获取知识的途径等方面小结本节课的收获，帮助学生将知识系统化，锻炼学生的综合及表达能力。

6.布置作业

（1）必做题：P7第1、2题。

（2）选做题：P7第4题。

（五）教法特点以及预期效果分析

（1）注重情境的创设以及对实际问题的分析。

在教学设计时考虑到本节课是第一章第一节的第一课时，设计了两个情境：一个是利用章前图，通过“怎样与外星人联系”的话题引出勾股定理，激发学生的探究欲望，同时也明确了本章的学习任务。二是通过实际问题情境引入，引导学生把实际问题转化成数学问题，也就是“已知直角三角形的两边，如何求第三边？”的问题。教师再结合“想一想”，让学生认识到在直角三角形中，任意两边确定了，另外一条边也就随之确定了，三条边之间确实存在一个特定的数量关系，从而自然的引出对直角三角形三边关系的探索。教学时，当教师提出“这些线段的长度确定吗？”学生开始很茫然，不知如何解答，此时教师及时让学生进行讨论，结果学生通过由已知条件作直角三角形，发现它们都是全等关系，进而得出了肯定的结论。

（2）充分体现教师主导、学生主体的教育理念。

本节课采用引导、探究、归纳的方法形成结论，把教学过程化为亲身观察、大胆猜想、自主探究、合作交流、归纳总结的过程。设计了“情境导入—尝试猜想—归纳验证—应用新知”的教学环节，让学生经历知识的发生、发展与形成的过程。教学过程中，充分发挥教师“导”的作用，例如在探索等腰直角三角形的三边平方关系时，首先引导学生由代数式联想到几何图形，再寻找直角三角形与正方形之间的联系，然后再通过几何图形联想到代数式，让学生体会数形结合、转化思想。又比如在探索正方形C的面积时，在学生讨论的基础上，明晰割、补的目的与方法，并借助多媒体加以演示，结果在计算一般直角三角形斜边上的正方形C的面积时，学生自然的想到上面的方法，在交流时学生不但能展示自己割或补的图形，还能清晰的表述自己的作法。同时又注重发挥学生的主体作用，在相信学生、信任学生的基础上，无论是画图猜想、归纳验证还是课堂小结，都留给学生充分的学习时间，让学生通过自己动手、动脑、动口以及同伴合作来发现并解决问题，丰富了学生的数学活动经验。