隐含波动率曲面无参数模型结果

截至上一章，我们介绍了隐含波动率曲面的概念、锚定方法和插值。在本章中，我们将会开始具体介绍隐含波动率曲面的建模。

首先需要明确的一点是，正如我们在前面一小节中介绍的，资产价格到期分布和隐含波动率曲线是一个一一对应的关系，即从资产价格分布中可以计算得到一条唯一的隐含波动率曲线，同时任何一条隐含波动率曲线也可计算出唯一的资产价格的到期分布，二者在某种意义上来说是等价的。

但是在实际操作中，资产价格的分布是非常难以估计和预测的，因此往往需要通过两种方式进行处理：

1.从市场有限的资产报价中拟合一条光滑连续的市场隐含波动率曲线，并以此计算隐含在市场隐含波动率曲线中的资产价格分布；

2.以方式1中的结果作为起始点，对于曲线和曲面的局部或整体进行一定程度的修正。

在实操中，对于隐含波动率曲线的调整，在模型层面上往往是在曲线维度上进行调整，在绝大部分情况下，并不涉及对于具体的资产价格分布的调整和处理。

这样会涉及对于市场隐含波动率曲面建模或者说拟合的问题，因为市场上可供交易的期权数量是有限的，而在隐含波动率曲线推导中，从原理上来说，形成一条光滑连续的隐含波动率曲线要求对于所有可能的到期资产价格均进行ST=K的假设，并在此基础上对于每个可能价格均构建布朗桥，进而计算隐含波动率，这在实操中是非常复杂以至于难以被接受的。因此，往往在实操中，对于隐含波动率曲线或曲面的建模往往依赖于对于这个曲线或曲面模型进行特定函数形式的假设，并使用市场上有限的报价点基于假定的函数形式根据样本点进行拟合，从方法论上，有些类似于对于数据样本进行最小二乘法的线性回归模型拟合。

从风险中性定价的角度而言，这个函数形式自身需要满足Dupire公式的无套利要求，但是这些模型就往往非常精细和复杂，以至于无法满足迅速报价和交易的要求。在实操中，往往使用更简单、运算速度更快，但是不满足无套利条件的函数形式，以满足业务的时间性要求，至于误差问题，往往可以通过拉宽价差来解决。

从这个角度而言，我们需要对如何从市场有限的期权报价，或者说有限的隐含波动率报价拟合连续曲线的方法进行介绍。首先我们会先介绍最简单的无参数模型，主要着重介绍两个无参数模型：线性插值和三次样条函数插值。

线性插值，指的是在两个有报价的行权价格之间，在波动率上进行线性插值。举例而言，行权价格为100的期权合约波动率为20％，行权价格为150的期权合约波动率为30％的话，行权价格为125的期权合约的波动率通过线性插值方法则为25％，行权价格为140的期权合约的隐含波动率则为28％，尽管市场上可能并不存在行权价格为125或者140的期权。

对于具体的实现问题，我们在此略过，相信对于读者而言，这不会是一个显著问题。

三次样条插值，或者叫Cubic Spline，指的是构建一系列连续且平滑的三次函数作为隐含波动率曲线函数形式，以确保所有市场隐含波动率均处于这组三次函数上，且这组三次函数构成的图像在数学上处处连续且可导。

在隐含波动率曲面上进行的三次样条插值，从具体形式上，可以看成是将市场隐含波动率的观测值之间进行分段，把行权价或者logmoneyness分成n个区间，其中n+1为市场隐含波动率的观测点数量。在两侧的端点上，分别是实虚值程度最深的两个期权。

三次样条指的是，每个小区间内的曲线都是一个三次函数。且在这些分段三次函数上，曲线本身，其一阶导和二阶导均连续。(www.xing528.com)

由于有n个区间，因此需要4n个函数来求解所有的参数，其中，每个隐含波动率的观测点都需要同时在左右两个三次函数上，这会产生2（n-1）个函数，两个端点也需要满足最左侧和最右侧的函数，这又会产生两个函数，即2n个。

内部的一阶导和二阶导也需要连续，因此这会产生2（n-1）个函数，那我们还差两个函数来求解所有的分段三次函数所需要的参数。而这两个函数我们则需要通过边界条件来获得。

有三种边界条件：自然边界，固定边界，非纽结边界。

自然边界，指的是指定两个端点二阶导数为0。

固定边界，指的是指定两个端点的一阶导数为一个定值。

非纽结边界，指的是指定左侧端点的三阶导等于第二个观测点的三阶导，同理，右侧端点的三阶导等于倒数第二个观测点的三阶导。

任何一种方式都可以补齐剩余的两个方程，并求出三次样条函数里的所有参数。看起来公式很多，但是实际上求解却出乎意料地简单快捷。我们非常建议读者自行做一次这个插值，搞清楚逻辑，然后再使用效率更高、代码实现更严谨的现成轮子。

读者可能会产生一个问题，无论是线性的还是三次样条都是有参数的，为什么称其为无参数模型？主要的原因是这些参数没有任何意义，仅为了作图而存在，对于曲线整体来说，每一个分段都有一组对应的参数，既没有金融意义，也没有图像意义。在实际交易或定价中，根本不会有人在这些参数中花任何时间和精力，交易员只关注这条图像，甚至连参数是什么都不需要知道，即使知道也没有意义。因此这些模型被称为无参数模型。

在实际中，请特别注意，插值方法并不要求Sticky Strike，在Sticky Delta的锚定假设下，仅需将隐含波动率的函数形式中的K换成K/F0或delta等，即可完成对Sticky Delta锚定假设下的建模。

因此在Sticky Delta下，也可以更加容易理解，为什么需要隐含波动率曲线或曲面模型，而非使用单个合约的隐含波动率时间序列进行分析和建模了。因为在Sticky Delta下，由于资产价格是变动的，单个合约的隐含波动率时间序列并不是一致的，即从函数曲线上来看，这个隐含波动率时间序列的横轴并不是一致的，因此如果单纯地处理时间序列的话，会面临刻舟求剑的基础性错误。

简而言之，无参数模型的优势很明显，简单、直接、快速、处理简便，也不需要假设资产价格的随机过程，因此避免了对资产价格随机过程假设错误的问题。但是缺点也非常明显，这类模型没有任何金融学含义，仅仅是一种用数学函数描述市场的做法，为了得到曲线而得到曲线，因此，这个曲线是不具备作为起始点供交易员结合自身判断进行调整的条件的。

同时需要明白的一点是，不假设资产价格的随机过程，在绝大部分情况下是可以避免假设错误的问题的，但是对于假设错误的模型问题以这种方式解决的话，在逻辑上小题大做，从严谨性上来说，相比于假设宽泛但是严谨的模型而言，毫无假设，多多少少看起来有一些勇敢。

然而不可否认的是，即使在现在，部分金融机构依然使用这种方法来构建波动率模型，在此亦不做赘述。