隐含波动率曲面介绍

隐含波动率曲面，指的是一个行权价格—到期期限—波动率的三维图形。在固定到期期限的情况下，其横截面即为隐含波动率曲线，或者根据图像的不同，又可称为隐含波动率微笑，或者是隐含波动率倾斜。

一般来说，在外汇市场上，往往可观测到隐含波动率微笑（即平值合约附近隐含波动率相对较低，而在深度实值/虚值处隐含波动率相对较高），而在权益/股票市场上，观测到的则是单边递减的隐含波动率倾斜。

那么为什么会出现隐含波动率微笑或者隐含波动率倾斜呢？我们在此给出一个直觉上的介绍，具体的数理推导可在John Hull《期权、期货和其他衍生品》第20章的附注中找到。

假设标的资产收益率是一个严格意义上的常漂移率常波动率的维纳过程，那么显而易见地，由于波动率是常数，隐含波动率曲线将一定是水平线，即在任何行权价格处其波动率将会是恒定的。

但是资产价格过程并非是一个漂移率为常数、波动率为常数的维纳过程，实际资产价格的波动率不是常数，甚至是随机的，因此按照我们之前计算Gamma-Theta损益平衡的方法，我们需要对未来的资产价格路径上每一个时点处的瞬时波动率进行估计，这显然是难以做到的，因为根本不知道未来的资产的波动率是多少，也不知道最终到期的时候的资产价格是多少。这会对建模产生较大的模型风险。

为简化建模过程，我们因此需要引入一个布朗桥概念。所谓布朗桥，指的是起始点在当前已知，终止点也已知，而过程则完全随机的过程。因此，我们可以穷举到期时资产可能的所有价格，针对每一个价格构建一个布朗桥，这个布朗桥连接了从0时点（或当前计算时点）资产当前已知的价格，和到期时刻T的某一个行权价格K（这个K可能是不真实存在的，仅是一个在波动率曲线横轴上的资产价格标注，即到期时资产价格等于某个行权价格K）。根据这个布朗桥，沿着股票价格最有可能经过的路径对每一个时点的瞬时方差进行积分。按照第十章第一节第一部分中介绍的平均波动率的计算方法对这条路径计算平均波动率，即为到期时间为T，行权价格为K处的隐含波动率。对每一个K进行一次这样的操作，并将这些隐含波动率做一条线连在一起，就是到期时间为T的隐含波动率曲线。

简而言之，在给定了到期期限T以后，假定到期资产价格ST=K，在所有可能成立的价格路径上，对瞬时波动率按照第十章第一节第一部分中的方法求平均，即为在0时点处，到期期限为T，行权价格为K处的隐含波动率。将所有可能成立的K作图，即为到期期限为T时的隐含波动率曲线。而每一条隐含波动率曲线背后，实际上就隐含了资产到期价格的一个特定分布。John Hull的《期权、期货和其他衍生品》第20章的附注中解释了这个问题。

从直觉上来说，亦可以近似理解成，隐含波动率实际上是在使用正态分布来描述一个实际世界中资产价格的非正态分布，通过在不同的到期资产价格处使用不同的波动率，来使得在每一个资产价格处由正态分布计算得到的概率密度和实际资产价格非正态分布的概率密度处处相等。

怎么理解这个问题呢？考虑一个任意的厚尾分布。所谓厚尾分布，指的是在尾部其概率密度高于与该厚尾分布拥有相同标准差的正态分布。怎么使用正态分布去描述这个厚尾分布呢？我们需要在每一个点处构建一个均值与厚尾分布相同的正态分布，并且使这个正态分布在这个点处的概率密度与这个厚尾分布相同，因此这会需要我们计算一个标准差，而由于厚尾分布的概率密度实际上是大于相同标准差的正态分布的，因此我们对于这个用于拟合厚尾分布的正态分布，我们需要更大的标准差，以匹配二者的概率密度。

因此，在每个点处我们都构建一个这样的正态分布，并以每个点处正态分布的标准差作图的话，在方法论上会和隐含波动率曲线的构建方法非常接近。因此隐含波动率的曲线呈现的微笑和倾斜，实际上反映了市场对于未来到期资产价格的实际分布的预测。而之所以平值合约的隐含波动率往往低于深度实值/虚值合约，亦可粗略地理解成是由于到期资产价格实际分布的厚尾导致的，即资产价格发生大幅变动的可能性高于正态分布的假设，因此如果还需要使用正态分布去度量的话，就需要调高波动率，以使之与实际概率相匹配，而这个波动率的调高，就会根据第十章第一节第一部分中的计算方法反映在隐含波动率曲线上。(www.xing528.com)

因此不难理解为什么在外汇市场上，隐含波动率曲线呈现微笑结构，而在股票市场上隐含波动率则呈现倾斜结构。其主要的原因是，从行为经济学的角度上来说，对于亏损的恐惧会要求额外的风险升水，这个风险升水是通过赋予亏损额外的概率产生的。即市场越担忧什么场景，就会为这个场景赋予更高的概率，进而调高这个场景对应的波动率。

外汇市场是一个所谓的出清市场，举例而言，人民币和美元汇率是对称的，美元升值等价于人民币的贬值，美元的贬值等价于人民币的升值。因此对于任何一种货币的币值上涨或下跌，其担忧和恐慌是对称的。与之相反的，股票市场是一个多头市场，无论存在多少衍生品敞口，最终市场的总敞口都是净多头，大小为股票市场的总市值。因此，在这种环境下，对于股票市场而言，市场总是担忧下跌而不那么担忧上涨的。因此在股票市场上，隐含波动率往往呈现倾斜，而在外汇市场上则往往呈现几近于对称的微笑。

至此，我们介绍了隐含波动率曲线的两种主要图像形式，对此可能会产生的一个问题是，这个图像的函数形式是否有无套利的约束条件，还是说这个图像可以随便形成？对这个问题我们略过复杂的数学推导过程，直接给结果。答案是，有约束条件。Dupire给出了著名的Dupire公式，表明了当资产价格服从：

则隐含波动率曲面的无套利条件为：

或

那么，还有一个可能的问题是，我们至此并没有区分看涨看跌期权，从逻辑上来说，看涨期权的持有者担心下跌，而看跌期权的持有者担心上涨，这会对我们目前的结论产生什么影响？答案是没有任何影响，因为对于看涨看跌期权而言，从理论上来说，二者的隐含波动率曲线应当是完全一致的。

这是否是一个令人惊讶的问题？答案是否定的，因为看涨看跌平价的存在，可以很容易地通过代入Black-Scholes-Merton公式，得到看涨看跌平价在BSM框架下成立的前提是，对于看涨看跌期权使用完全相同的波动率。对此，读者可自行推导，从数学角度上来说，应当没有任何技术性门槛。

然而在实际中，尤其是国内市场，经常会看到看跌期权的隐含波动率显著高于看涨期权的隐含波动率。其原因在前文中阐述过，是因为做空机制缺乏，使得无法通过看涨看跌平价完成套利，如果套利在执行维度是不成立的，那么价格就可以是不满足套利条件的。