二元期权交易的Gamma和Delta增加需进行对冲方案

二值期权，又称为数字期权，二元期权等等。其结构很简单，即比较到期时标的资产价格是否高于或者低于行权价格，如果高于或者低于行权价格，期权卖方即向期权买方进行一笔固定大小的支付。反之，和欧式期权一样，卖方将不会进行任何支付，期权买方的权利金打了水漂。

这个期权为什么受到市场的广泛欢迎的原因非常简单，无论购买者的金融背景如何，都可以完全理解这个结构背后的金融含义。

同时，这个期权结构是一个绝对收益结构，即最终两种可能性的偿付均为一个事先已知的常数。这使得这个结构是可以提前计算和许诺条件满足时的收益率的。因此在打破刚兑的背景下，这个结构由于其到期偿付在条件下的固定收益本质而备受青睐。

举例而言，银行固定理财收益是3％，可能对于散户来说，这个收益率比较低，不具备吸引力。因此，银行可以再构建一个结构性存款结构。即在揽储时，拿出3％的资金去做一个二值期权结构，而把剩下的97％的钱依然进行固定理财。

那么到期这种存款结构的效果如何呢？如果二值期权行权，这个结构性存款的收益就会很高，视行权条件的严苛程度，这个存款的收益上限可以到10％甚至20％之高，而如果二值期权没有行权的话，亦可通过固定理财实现变相刚兑保本。这也是结构性存款的有趣之处，即将固定的低收益，转化为有条件的高收益。

请注意，依照我国现行监管条例，在没有场外衍生品业务牌照的情况下，以任何平台或个人对个人形式开展二值期权的连续交易或持有到期交易均为非法。

那么，在实际中，如何对二值期权进行对冲呢？我们在此介绍两种方法，PDE方法和静态复制方法。

1.PDE方法

PDE方法指的是使用偏微分方程求得定价公式和Greeks的解析解。进而使用标的资产或场内欧式期权对Delta和其他高阶Greeks进行对冲。需注意的是，标的资产仅能用于对冲Delta，而高阶Greeks的对冲，往往需要使用场内欧式期权或其他场外期权。

PDE方法的方法论和欧式期权的对冲是非常接近的。计算出Greeks，然后在市场上找一个反向且尽可能相等的Greeks敞口，即可完成对冲。逻辑很简单，主要是以对冲策略的执行问题为主。

二值期权的估值定价和Greeks计算都比较简单，从模型角度上来说是存在解析解的。定价公式的解析解如下：

这里Q是二值期权行权时的固定偿付数额，其他参数的定义与BSM公式的定义一致。

那么既然这么简单的话，为什么说二值期权的对冲难度比欧式期权大很多呢？主要体现在二值期权到期结算的跳跃和非连续上。

可以很容易理解的是，二值期权的到期偿付在行权价格处是断开的，左右两侧则分别是连续且水平的。以一个看涨的二值期权为例，在到期前的瞬间，当资产价格在行权价格左侧时，该期权价值接近于0，而当资产价格在行权价格右侧时，该期权的价值为Q。

那么会出现一个问题，在资产价格穿越行权价格的时候，这个二值期权由于结算的跳跃和非连续，价格会变化Q，而此时资产价格变动幅度几乎为0。这意味着在这个点处，二值期权的Delta为无穷大。

同时，由于二值期权在行权价格两侧的到期结算为水平的，因此在标的资产价格与行权价格不相等时，这个二值期权的Delta都是0，那么与之相同的是，二值期权的Gamma也和Delta结构相似，在行权价格处无穷大，而在其他各点处均为0。

当然，这是一个极端的到期前瞬间的情况，但是在到期前其实这个问题依然存在，只是一个程度问题。二值期权在行权价格附近的Delta和Gamma非常大，而在偏实值和虚值的两端，Delta和Gamma则相对很小。

这会给对冲带来什么问题？显而易见地，每次标的资产价格穿越行权价格时，二值期权都会产生一个较大的Gamma和Delta，会需要大量的对冲。这个时点处会产生很大的摩擦和冲击成本，标的资产市场的流动性也未必支持在短时间内进行如此大量的操作。同时，当标的资产价格远离行权价格时，这些新建的敞口又需要进行平仓操作以确保最终的损益和二值期权的结算接近。标的资产的价格路径是无法预测的，存在多次往复穿越行权价格的可能性。而每一次穿越行权价格，都会对对冲行为造成很大的冲击和影响，也会造成对冲成本的陡然上升。

因此，使用PDE方法进行二值期权的对冲，从原理上来说不是不可行的，只是在实际操作中会遇到费时费力，同时效果难以保证的问题。当然，场外期权由于是券商自行报价，往往价差极宽，甚至卖价可以到买价的150％，在大部分情况下，即使平盘技术差一点，一个很宽的报价也可以覆盖这部分额外成本，从实际效果来说，可能会吞噬一部分利润，基本也不至于会亏。(www.xing528.com)

2.静态复制方法

静态复制方法指的是使用多个场内欧式期权构建一个组合以使得在行权边界内与场外期权近似、线性或甚至完全一致的结算，并使用这个场内欧式期权组合针对Greeks进行动态对冲或干脆持有这个组合进行保完即忘式对冲。

静态复制方法的优势在于，将场外期权的对冲问题转化为了一个场内欧式期权组合的对冲问题。通过构建场内欧式期权组合平滑和消除结算上的跳跃和非连续点，并且由于该期权组合是一个多空组合，同时有欧式期权的多头和空头，各个期权之间的Greeks还存在一定程度的互相抵消，因此从总体对冲执行而言反而比单个欧式期权的对冲更加简单。

静态复制方法的劣势在于，对于间断点的处理往往比较生硬。以二值期权为例，明明有一个跳跃的点，把场外结构换成一个场内组合这个跳跃点就凭空消失了？很明显，一定存在无法完全匹配的情况。在某些点处，会出现对冲不足或过度对冲的情况，使得最终的损益与场外期权的损益之间还存在一定差距。

那么我们来看看，对于一个二值期权而言，怎么使用静态复制法进行对冲，以及对冲效果如何。

一般来说，使用静态复制法来对冲二值期权最简单的做法是构建一个价差期权组合。以二值看涨期权为例，可以用一个行权价格较低的欧式看涨期权多头和一个行权价格较高的欧式看涨期权空头构建牛市价差组合，以对二值期权进行近似。

可以很容易地看出，在两个欧式看涨期权的行权价格外侧，价差期权组合的表现和二值看涨期权的表现是一致的。问题依然出现在二值看涨期权的行权价格，或者说跳跃点处。

在跳跃点左侧到价差期权较低的行权价格这段区间内，价差期权组合的结算是高于二值看涨期权的，存在过度对冲的问题，即按照价差期权组合的Greeks进行对冲的话，其到期偿付会超过二值看涨期权。而在跳跃点右侧到价差期权较高的行权价格这段区间内，会存在对冲不足的问题，即按照价差期权的Greeks进行对冲的话，到期偿付会不足以满足二值看涨期权的偿付要求。

直观上很容易产生这样的误解，过度对冲实际上不是一个大问题，毕竟按照价差期权进行对冲的话，到期总能满足甚至超出二值期权的偿付要求。这种理解当然是有问题的，因为到期更高的偿付，意味着更高的对冲成本，对冲不足同理，到期不足以偿付二值期权，但是其相应的，对冲成本也更低。具体的损益，实际上和欧式期权的对冲一样，是依赖路径，难以事先确定的，这也是静态复制法导致的对冲误差。

对于价差期权的两个行权价格进行不同的选择会影响对冲误差产生的区间。两个行权价格距离越接近，对冲误差的区间越小，但是意味着价差期权需要加更高倍数的杠杆以满足二值期权的偿付要求，执行时更加麻烦，成本也相对更高。而两个行权价格距离越远，执行会变得更加简单，成本也相对较低，但是对冲误差相对就较大。一般而言，由于价差期权组合的两个欧式看涨期权并未发生实际交易，而仅是计算理论的Greeks，所以具体行权价格的设定需要将二值期权放在组合维度中进行权衡和考量，实务中，一般以不超过距离二值期权行权价格最近的两个场内期权的行权价格为宜。

这种做法的好处在于，第一可以消除二值期权结算中的跳跃非连续点，将其转化为一个更简单的欧式期权组合进行处理。第二，在最难以处理的跳跃非连续点处，价差组合的Gamma由于敞口是多空匹配的，反而很低。即使在绝对值最高的价差组合中单个期权的行权价格处，组合的Gamma也不会大于单个期权的Gamma，因此在进行Delta对冲时，处理起来反倒更加简单。

当然，还有另一种比这个更加简单的，保完即忘的静态复制法，即真的以距离二值期权的行权价格最近的两个场内欧式期权做一个价差期权组合，然后持有到期。如果出现过度对冲的话，可以确认一笔预期外盈利，而如果出现对冲不足的话，确认一笔预期外亏损。当有多个相同标的资产但行权价格不同的二值期权需要对冲时，单笔交易的敞口较低，敞口之间也会存在分散和抵消。在对于二值期权报价的买卖价差报的比较宽的情况下，价差收益往往可以覆盖可能的对冲亏损，总体来说不是一个大问题。

毕竟，谁还能每次抛硬币都立着呀？

二值期权不仅被广泛地使用在结构性存款上，也往往被使用于场外期权的对赌上。不仅如此，金融机构还可以拿多个二值期权和欧式期权结构，构建更加复杂的场外期权工具。

篇幅所限，我们在此仅介绍一种复杂结构的二值期权，区间累计型期权。

一个简单的区间累计型期权可以这样设计，将总损益Q，拆分成N份。其中N为区间累计型期权到期前的交易日数，在每个交易日收盘观测标的资产价格，每有一天达到行权价格，即积累一份1/N的损益，并在到期时进行结算。可以看到，这种结构的区间累计型期权实际上是N个到期日分别为到期前每一个交易日的二值期权的组合。

当然，在实操中，场外期权结构的设计需要因地制宜，需结合自身敞口、风险偏好、市场看法、客户需求、对冲能力等多个维度进行考量。场外期权结构亦具有很强的定制性，因此无法悉数列举，在此仅介绍一种使用较为简单的场外期权结构组合成更复杂的结构的思路，以供参考。