重新回到BSMPDE

在第九章第一节第三部分中，我们还记得BSM PDE的表述：

现在我们了解了相关Greeks的金融含义以后，我们对这个公式会有新的理解吗？

将Greeks代入BSM PDE，我们有：

移项可得：

上述公式在到期前的任意时点均成立。

一般而言，无风险利率非常小，权利金相比于标的资产价格也非常小，那么，我们又有：

这个公式意味着，当一个组合Delta中性时，Theta和Gamma是反向的。做多Gamma，就会亏损Theta，做多Theta，就会亏损Gamma，如果同时做多或者做空Gamma和Theta，那Delta一定会出现敞口。

对于这一点的说明，我们考虑一个最简单的结构，即单独的一个看涨期权或者看跌期权。对于无论看涨还是看跌期权的权利方而言，都拥有正Gamma和负Theta。在此，假设我们使用标的资产对冲掉所有的Delta，使整个组合市场中性（即对于标的资产价格的变化偏导为0）。那可以看到，Gamma和Theta是反向的。(www.xing528.com)

回顾之前对Gamma的介绍，一个正向的Gamma敞口，会导致标的资产上涨时，期权的Delta往正向移动，而当标的资产下跌时，期权的Delta往负向移动。在任意一种情况下，期权的权利方都会盈利，标的资产价格变动幅度越大，在Gamma恒定的情况下，权利方的盈利也会越大。

天下没有免费的午餐，作为期权的义务方，无论市场如何变动都会导致亏损的期权，为什么会有人去卖这个期权呢？答案在BSM的公式中，在Delta为中性的前提下，权利方的Gamma多头会意味着Theta空头。同理，义务方的Gamma空头会意味着Theta多头，即随着时间的推移，该期权的时间价值会逐步从权利方的口袋转移到义务方的口袋。

那么到底谁会从期权交易中赚钱呢？这取决于市场的波动情况，我们列举两个极端情况，当资产价格波动非常剧烈的时候，资产价格变动幅度非常大，Gamma敞口会导致权利方获利，反之，当资产价格完全不动的时候，Theta敞口会导致义务方白赚时间价值而不用付出任何成本。

打一个比方，Theta相当于一片农田的租金，无论如何都需要支付，而Gamma则是最终这片农田靠天吃饭而赚取的收益，行情波动大，则Gamma收益大，行情波动小，则Gamma收益小。

那么在什么情况下，Gamma和Theta可以打平呢？

理论上，在一开始期权定价时使用的波动率是一个对期权存续期间内（从期权定价时点到到期时点这段时间）资产波动率的完美估计的时候，双方期望损益相等。完美估计的定义为：

这意味着，如果能够完美预测未来平均的波动率为30％的话，在今天能够让买卖双方均公平的，输入BSM模型的波动率为30％。