独立同分布变量之和与布朗运动成果

在概率和统计理论中，当一组随机变量都服从于某一个特定分布，并且两两间互相独立时，我们称这一组随机变量为独立同分布（Identical Independent Variable，简称IID）。

假设一组随机变量　X1,X2,　X3…Xn独立同分布，那么这组变量之和为：

将会具有以下两个特性，我们首先予以讨论。

假设　X1,X2,　X3…Xn两两独立，且为同分布，且具有均值μ和方差σ2＜∞，构建：

我们使用Φ来表示标准正态分布的累计函数，则有：

尽管这个函数是一个反常积分（伽马函数），因此无法使用初等函数予以表达，其数值却可以通过查找正态分布表或者使用几乎任意一款主流的计算软件得到。

定理9.1（中心极限定律）　当n→∞时，Zn的概率分布将会渐进于一个正态分布。更进一步的，当a＜b时，我们有：

这个定律的实用之处在于，不管　iX服从于什么分布，对称或者非对称，离散或者连续，只要是独立同分布变量组，并且该分布具有有限方差，那么这些变量之和就会逼近于一个正态分布。在这里，变量服从相同分布的假设甚至可以被放开，只要这组变量具有相同的均值μ和相同的方差2σ　　∞＜，样本容量足够大（即单一取样的样本值在总和里面占比很低），即使各个变量的分布有出入，中心极限定律也均可以适用。在此我们不对这个结论的具体过程予以证明。

更重要的是，在金融上，基本上所有的主要变量都可以假设是有限方差，或者可以通过差分构建有限方差。最主要的正态假设是任意一项资产的收益率。

如果我们考虑一组独立同分布的二项分布之和，其中可数的几项贡献了和中的绝大部分。那么我们就不能够期望我们得到一个正态分布了。这个时候，我们将会得到一个泊松分布。

假设λ＞0，X1,X2,X3…Xn两两独立，且为同分布，并且：

构建：

那么我们将会有：(www.xing528.com)

考虑到Yn是一个泊松分布，其均值为λ，因此对于任何非负整数k，我们有：

定理9.2（收敛至泊松分布）当n→∞时，Yn的概率分布将会渐进于一个均值为λ的泊松分布。更进一步的，对于任何一个非负整数k，我们有：

证明：对于任何n，Yn为一个二项分布之和，其参数为n和λ/n，因此我们有：

现在我们固定k，然后将n→∞，则我们可以得到：

并且

因此：

命题得证。

上述两个定理中的n→∞在金融学上是有重大意义的。因为在金融学中，我们可以通过假设两次观测时点之间的时间间隔趋向于无穷小。目前国内大部分的交易所的行情报价为一个tick500毫秒，这使得高频数据拥有海量的数据点，在日到周的时间维度上，我们就可以拥有几万甚至几十万的数据点，在这个数据量下，假设n→∞是可行的，甚至是有必要的。

对于刚才介绍的两个定理的选择将会依赖于实际使用场景。一般而言，对于公开二级市场上的价格变化或者收益过程，由于每一个趋于零的时间段（tick）内，价格和收益率均有取值，并且每一段的取值都极为微小，因此在最后的总和内占比极低。这是一个小步快跑逐步积累变化的过程，从整体上来看，我们会得到一个平滑连续的过程。这种情况对应的就是中心极限定律，最终加总得到的价格变化或者总收益将会服从正态分布。当该正态分布为一个标准正态分布时，这个过程叫作布朗运动，同时还有其他名字比方说维纳过程，随机游走或者扩散。因此，在这个假设下，所有资产的收益率均服从正态分布。

与之相反的，如果整个过程并不是平滑连续的，而是一个跳跃过程，所谓跳跃过程，就像台阶一样，正常不会变化，一旦变化就会上或者下一个较大的台阶。这种情况往往在黑天鹅事件发生的时候出现，比方说英国脱欧。这个时候我们就会假设最终的和（即总发生次数）为一个泊松分布了。其金融学含义说的是，在一个时间段内，跳跃发生的次数将会服从于一个泊松分布。假设单位时间内这个泊松分布的参数是λ，则对于任何给定的时间t，该泊松分布的参数为tλ。同时，泊松分布具有无记忆性，即从时间s开始到t结束，和从时间0开始到t−s结束，描述二者过程的泊松分布完全一致。

当一个价格或者收益率过程既具有布朗运动的特征，又存在跳跃的时候，这个过程我们叫作跳跃-扩散过程（Jump-diffusion Process）。