欧式看涨期权的价格差与执行价格差异现值之间的关系

命题8.1　对一个欧式看涨期权，若有L在到期日T时满足　ST≥L，X≥L，则有c≤S−Le−rT。

证明：为了证明结论，我们在不等式两边同时加上一个常量Xe−rT。则我们需要证明c+Xe−rT≤S+Xe−rT　−Le−rT。为了证明这个不等式，构造两个组合。

组合A：看涨期权+Xe−rT现金

组合B：股票+（X−L）e−rT现金

期末：A组合的价值为max{ST,X}B组合的价值为ST+X−L。由已知条件知到期日T时刻B组合的价值不低于A组合的价值，因此当前也有组合B的价值不低于A的价值，即：

c+Xe−rT≤S+Xe−rT−Le−rT。

命题8.2　对一个欧式看跌期权，若有U在到期日T时满足　ST≤U,X≤U，则有p≤Ue−rT−S。

证明：对结论进行变形，我们需要证明p+S≤Ue−rT，我们也构造两个组合。

组合A：看跌期权+股票(www.xing528.com)

组合B：Ue−rT现金

期末A的价值　max{ST,X}，B的价值为U。由于U≥ST且U≥X，因此U≥max{ST,X}，因此组合A的价值低于组合B的价值，　则p+S≤Ue−rT。

命题8.3　两种其他条件相同的欧式看涨期权（或欧式看跌期权）的价格差的绝对值不会超过它们执行价格的差异现值的绝对值。

证明：我们以欧式看涨期权为例进行证明，不妨设X1＞X2，则c1＞c2，我们需要证明c1−c2≤（X2−X1）e−rT。

构造两个组合。

A：执行价格X1看涨多头+执行价格X2看涨空头

B：无风险（X2−X1）e−rT

到期末显然组合A的价值小于组合B的价值，因此在t时刻，该结论也应该成立，由此完成证明。