期权价格的上下限：美式看跌期权的价格上下限

我们做出如下基本假设：市场没有交易费，所有交易利润（减去交易损失后）具有相同的税率。可以按无风险利率借入和贷出资金。一旦有套利机会出现，市场参与者随时准备利用这些套利机会。

为了便于说明，我们引入以下符号：

S：股票当前的价格

X：期权执行价

T：期权的到期时间

ST：在T时刻股票的价格

r：在T时刻到期的投资的无风险利率（连续复利）

C：购买一股股票的美式看涨期权的价值

P：出售一股股票的美式看跌期权的价值

c：购买一股股票的欧式看涨期权的价值

p：出售一股股票的欧式看跌期权的价值

1.期权价格的上限

美式看涨期权或欧式看涨期权的持有者有权以某一确定的价格购买一股股票。在任何情况下，期权的价值都不会超过股票的价值。因此股票价格是期权价格的上限。

如果不存在这一关系，则套利者购买股票并卖出看涨期权，可轻易地获得无风险利润。

美式看跌期权的持有者有权以X的价格出售一股股票。无论股票的价格多么低，期权的价值都不会超过X。

对于欧式期权来说，在T时刻，期权的价值不会超过X。因此，现在期权的价值不会超过X的现值。

如果不存在这一关系，则套利者出售期权并将所得收入以无风险利率进行投资，可轻易地获得无风险收益。

2.不付红利的看涨期权的下限

不付红利的欧式看涨期权的下限是S−Xe−rT。

如果市场中给出的欧式看涨期权的价格不满足这一条件，则会存在套利。我们举例说明。

例8.1　假定S=25美元，X=20美元，r=5％，T=1年。则期权的下限为是多少？

解：期权价格的下限为S-Xe−rT=25-20e−0.05=5.98。(www.xing528.com)

若市场上给出的欧式看涨期权价格c=5＜5.98，可以构建套利策略：卖出股票，买入看涨期权，有正的现金流20元，贷出一年，得21.03。在T时刻，若ST＞20，看涨期权执行，按照20美元购买股票平仓，获利1.03。若ST=18＜20，按照市场价格18美元购买股票平仓，获利3.03。

下面我们给出一般情况下的结论，欧式看涨期权价格的下限满足以下条件：

为了说明这个结果，我们构造两个投资组合。

组合A：一个欧式看涨期权加上金额为Xe−rT的现金

组合B：一股股票

两个组合的期末价值分别为组合A：max{ST,X}，组合B：ST。显然，组合A的期末价值总是高于组合B，根据无套利定价原则，则组合A的现值应大于组合B的现值，即有c+Xe−rT＞S。又因c非负，因此可以得到：

c≥max[S−Xe−rT,0]

3.无收益资产美式看涨期权价格的下限

由于无股息支付时永远不会提前执行美式看涨期权，所以C=c，由式（8-4）我们可以推出无收益资产美式看涨期权在t时刻的价格下限：

4.不付红利的欧式看跌期权的下限

对于一个不付红利股票的欧式看跌期权来说，其价格下限为Xe−rT−S。下面我们举例说明。

例8.2　假定S=36美元，X=41美元，r=10％年率，T=0.5年。通过计算可知Xe−rT-S=41e−0.1×0.5-36=3美元。如果市场中给出的期权价格为2，则可以构建套利策略。

套利策略：若p=2＜3，借入38美元，买入股票，买入看跌期权，到期时需要归还39.95美元。T时刻：若ST=42＞41，按照市场价格出售股票，支付本金及利息后，获利2.05美元，若ST＜40，看跌期权执行，按照40美元卖出，获利0.05美元。

下面我们给出一般情况下的结论，欧式看跌期权价格的下限满足以下条件：

为了说明这个结论，我们构造两个投资组合：

组合C：一个欧式看跌期权加上一股股票

组合D：金额为Xe−rT的现金

期末两个组合的价值为：

组合C：max{ST,X}

组合D：X

显然，组合C的期末价值总是大于等于组合D的价值，因此根据无套利分析方法，组合C现在的价值应大于组合D现在的价值。即有p+S＞Xe−rT。又因p非负，因此p　≥max[Xe−rT−S,0]。