无红利收益资产远期合约

（一）无收益资产远期合约的定价

定理4.1　现货-远期平价定理（Spot-forward Parity Theorem）。对于无收益资产而言，远期价格等于其标的资产现货价格的终值。用复利表示为：

用连续复利表示：

当F＞SerT时，即交割价格大于现货价格的终值。在这种情况下，套利者可以按无风险利率r借入S现金，期限为T。然后用S购买一单位标的资产，同时卖出一份该资产的远期合约，交割价格为F。在T时刻，该套利者就可将一单位标的资产用于交割换来F现金，并归还借款本息SerT，这就实现了F−SerT的无风险利润。

当F＜SerT时，即交割价值小于现货价格的终值。套利者就可进行反向操作，即卖空标的资产，将所得收入S以无风险利率进行投资，期限为T，同时买进一份该标的资产的远期合约，交割价为F。在T时刻，套利者收到投资本息SerT，并以F现金购买一单位标的资产，用于归还卖空时借入的标的资产，从而实现SerT−F的无风险利润。

例4.1　考虑一个股票远期合约，标的股票不分红利，合约的期限为3个月。假设标的股票现在的价格为35元，连续复利的无风险利率为4％，则该股票3个月的远期价格为多少？

解：F=35e4％×0.25≈35.4美元

例4.2　考虑一份零息债券远期合约，其面值为1 000美元，期限为120天，现在报价为800美元。假设无风险年利率为5％，假设为复利，根据无套利定价原理，该远期合约的价格为多少？

解：F=S（1+r）T−t=800×（1+5％）120/360=813.12美元

例4.3　假设市场完美无摩擦，标的资产价格为35美元，远期价格为37美元，年无风险利率为4％，假设为复利，期限为一年。则套利利润为多少？

解：远期合约的价格应为：

F=S（1+r）T−t=35×（1+4％）=36.4美元＜37美元

故投资者可以借入资金35美元，买入标的资产，并签订远期合约空头。一年后，投资者以远期价格37美元出售标的资产，并归还借入资金的本息和36.4美元。最终实现的套利利润为0.6美元。

（二）无收益资产远期合约的价值

远期价格是t=0时刻使得远期合约价值为0的价格，因此多头与空头双方在签约时没有任何成本，远期价格在合约开始后不会再变化。但在合约开始后，随着标的资产的现货价格发生变化，远期合约的价值也会随之发生变化，从而对合约双方产生正的或负的价值。

我们构建组合A和组合B。

组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke−r（T−t）的现金；

组合B：一单位标的资产。

期末时，组合A和组合B的价值相同，均等于一单位的标的资产价值。根据无套利定价原理，期初时两组合的价值也应相同。因此，我们有：(www.xing528.com)

f+Ke−r（T−t）=S

即：

无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值的差额，或者说一单位远期合约的多头可以由一单位资产的多头和Ke−r（T−t）单位无风险负债组成。

如果是复利的情况下，则远期合约的价值可以表示为：

例4.4　考虑一份标的证券为一年期贴现债券，剩余期限为6个月的远期合约多头，其交割价格为900美元，6月期无风险利率为5％（年连续复利），债券现价为880美元。

（1）远期合约的多头价值为多少？

（2）若现在建立900元的远期价格的头寸，出现什么情况？

解：已知T-t=0.5；K=900；r=5％；S=880，则有：

（1）f=S-Ke−r（T−t）=880-900e−5％×0.5=2.22美元

（2）F=Ser（T−t）=880e5％×0.5=902.28美元＞900美元

理论的远期价格大于实际的远期价格，因此可以构造套利策略。卖空标的资产，将资金880美元贷出6个月，并签订远期合约多头。6个月后收到贷出资金的本息和为902.28美元。以900美元的远期价格买入标的资产平仓，最终的套利利润为2.28美元。

（三）远期价格的期限结构

远期价格的期限结构主要是用于描述不同期限的远期价格的关系。假设F为T时刻交割的远期价格，F*为T*时刻交割的远期价格，r为T时刻的即期利率，r*为T*时刻的即期利率。则可以得到：

上述两式消除S，得到：

化简得到：

其中，为T到T*时期的远期利率。

例4.5　假设某种不付红利的股票6个月的远期合约价格为30元，目前市场上6个月到1年的远期利率为5％，求该股票的1年期的远期合约价格？

解：F*=30e5％×（1−0.5）=30.76元