风险中性定价法：以无风险利率折现进行定价

风险中性定价法（Risk Neutral Valuation，RNV）是指在对衍生证券定价时，我们可以假定所有投资者都是风险中性的，此时所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。

风险中性假定表面看好像是为了定价方便而做出的人为假定，但实际是无套利市场的本质定量刻画。通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。

在上文中虽然p是通过计算求得，但是我们可以把p解释为股票价格上升的概率，1-p就是股票价格下降的概率，则pfu+（1−p）fd是期　权的未来预期收益。则f=e−rT［pfu+（1−p）fd］可表述为今天期权的价值是其未来预期值按无风险利率贴现的值。

为了说明这一解释是合理的，我们假定无论真实股票价格上升的概率是多少，我们都认为股票价格上升的概率为p，下降的概率为1-p。我们考察一下股票的预期收益。在T时刻预期的股票价格由下式表示：E（ST）=pSu+（1−p）Sd，进一步有E（ST）=pS（u−d）+Sd。如果把p的计算公式代入，则有：

E（ST）=SerT

显然，当我们设定股票价格上升概率为p时，股票价格的变动按无风险利率计算，投资者对股票的要求回报率为无风险利率，即投资者为风险中性投资者，我们就假设在一个风险中性世界。

在风险中性世界里（Risk-neutral World），所有的人对风险是无差异的。在这样的世界中，投资者对风险不要求补偿，所有证券的预期收益都是无风险利率。风险中性定价原理是任何基于其他交易证券的衍生产品都可以在投资者是风险中性的假设下定价。

风险中性定价下成立的两个基本原理：所有证券的预期收益率为无风险利率；无风险利率是任何预期的未来现金流的最合适的折现率。

风险中性定价步骤：首先假设标的资产的预期收益率为无风险利率，然后计算期权或衍生产品在到期日的预期收益，最后以无风险利率将预期收益折现。

下面我们通过一个例子来看如何利用风险中性定价法为期权定价。

例3.8　已知股票现价为20美元，3个月末股票价格可能上涨到22美元或下降到18美元。以该股票为标的资产的期权是一份执行价格为21美元，有效期为3个月的欧式看涨期权。无风险利率是12％。请利用风险中性定价法定价。如果期权报价1美元，套利策略是什么？如果期权报价0.5美元，套利策略是什么？

解：假设股票价格变化的概率为p和1−p：

22p+18（1−p）=20erT

p=0.652 3

f=［1×p+0×（1−p）］e−rT=0.633美元(www.xing528.com)

若f′=1美元，说明期权定价过高，我们可运用Δ对冲方法构建套利策略：

Δ份股票+1份期权空头=无风险资产

即可用0.25股票+1份看涨空头构建无风险资产组合。

未来价值：18×0.25=22×0.25−1=4.5美元。

当前价值：4.5e−rT=4.367美元。

若1f′=期权被高估，我们借钱买入无风险资产组合，成本为4美元，期末需要归还4erT=4.12美元。因此可以产生套利收益：4.5−4.12=0.38美元。

若f′=0.5期权被低估，卖出无风险资产组合，收益为4.5erT=4.64美元。期末平仓后可获得收益：4.64−4.5=0.14美元。

小结：

在二叉树模型计算欧式看涨期权价值中，不难发现：

（1）期权的价格只依赖于股票价格S的变动范围（即u，d的值），u和d衡量的是股票价格的波动率，以后会在BS模型中看到波动率的重要性。

（2）计算公式中没有出现股票实际上涨或下跌的概率，也没有描述投资者对于风险偏好程度的变量。

股票价格在未来涨跌的概率影响股票现在的价格，却不影响看涨期权的价格。所以对于所有投资者来说，无论他对未来股票价格涨跌的概率有什么预期，或他对风险厌恶程度如何，都能对看涨期权的“公平”或“正确”价格达成一致。这进一步表明：看涨期权的价格由给出的标的资产股票价格决定，这是衍生产品定价的本质，期权相对股票进行定价。

（3）p为股票价格上涨的风险中性概率（Risk Neutral Probability），不要与股票价格上涨的实际概率相混淆，实际概率并不影响期权价格，p也称为等价鞅测度概率。