无套利定价的复制技术

无套利定价的关键技术是所谓“复制”技术，即用一组已知价格的证券来复制待定价格的金融产品。使得复制组合的未来现金流特征与被复制的金融产品的未来现金流特征完全一致，则二者的现值完全相同。

下面我们看看如何利用复制技术来证明看涨期权与看跌期权之间的平价关系。我们回忆一下看涨看跌期权的平价关系可以写成：

这里c，p表示相同股票的相同到期时间的看涨与看跌期权，X为两个期权的执行价格，S为股票价格，T-t为到期时间，r为无风险利率。

为了证明这个等式，能否构造两个组合未来具有相同的现金流？

考虑下面两个投资组合。

产品A：一份欧式看涨期权加上现金，金额为。

到期时A的价值为：

max{ST−X,0}+X=max{ST，X}

产品B：一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产。

到期时B的价值为：　max{ST,X}

在期权到期时，两个组合的价值均为　max{ST,X}。由于欧式期权不能提前执行，因此两组合在时刻t必须具有相等的价值，即：(www.xing528.com)

c+Xe−r（T−t）=p+S

这就是无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系（Call-put Parity）。这个平价关系说明可以根据c来求p，或者根据p来求c。如果上式不成立，则存在无风险套利机会。套利策略如下。

如果有c+Xer（T−t）＜p+S，相对产品A来说，产品B被高估了，可构建如下的套利策略：买入产品A的证券，卖空产品B的证券。因此可以卖出看跌期权，买入看涨期权来获得无风险利润。我们通过下面的例子具体说明。

例3.4　假定股票价格为30美元，X=30美元，r=0.1，T=1/4，c=1，p=2，市场是否存在套利机会？

解：c+Xe−rT=30.25，p+S=32，因此c+Xe−rT＜p+S，存在套利机会。我们构造如下的套利策略：

t时刻：卖出看跌期权，卖空股票，买入看涨期权，剩余资金为2+30-1=31美元，贷出3个月，可获得：31 erT=31.78美元。

T时刻：无论　ST≥30还是　ST＜30，我们都可以以30美元的价格买入股票，可得套利收益=31.78-30=1.78美元。

例3.5　假定股票价格为31美元，X=30，r=0.1，T=1/4，c=3，p=1，存在套利吗？

这个例子可以由读者自行完成。