无套利定价原则：如何确定一年的股票远期价格？

衍生金融产品的定价有一些基本的假设条件需要满足，本章后面的讨论都需要基于这些假设：

1.市场不存在摩擦，即没有交易成本、没有保证金和没有卖空限制。

2.市场参与者不承担对手风险，即合同没有违约问题。

3.市场是完全竞争的，金融产品作为商品的经济学特性。

4.市场参与者厌恶风险，希望财富越多越好。

5.市场不存在套利机会，无套利假设是金融衍生工具定价理论生存和发展的最重要的基础。

采用无套利定价原则为金融产品定价，本质上是利用复制的办法将需要定价的金融产品用已知价格的金融产品来进行复制。这里复制是指如果产品A和产品B未来的现金流状态完全相同，称A和B互相复制。

下面我们给出无套利定价原则。

定理3.1　在无套利市场中，如果两项金融产品在到期日的价值完全相同，则它们在到期日之前任意时刻的价值也必然相同。

下面我们通过一些具体的例子来说明如何应用无套利定价方法为金融产品定价。

例3.1　股票远期价格的确定。假设IBM股票价格是100美元，如果某投资者打算签署一年的远期合约，已知一年的无风险年利率5％，请问一年的股票远期价格按无套利定价方法该如何确定？空头认为IBM股票的预期收益率为10％，所以价格为110美元，你同意吗？

解：远期价格的确定可以采用无套利定价方法。假设投资者在0时期借入100美元，买入1股股票，同时签订空头远期合约，远期价格为F。一年后，投资者将股票按远期价格出售，所获金额应该与0时期借入100美元需要支付的本金与利息之和相等，即

F=100erT=105美元

因此远期价格应该是105美元。如果市场中的远期价格为110美元，有套利机会。投资者可以按相同的方法，借入100美元，买入1股股票，签订远期合约，到期时执行远期合约，可以获得5美元的无风险利润。

如果远期价格是102美元，说明远期价格过低，我们可以反向操作，卖空股票，将获得的金额进行无风险投资，同时签订远期合约多头，最终可以获得3美元的无风险利润。

例3.2　远期外汇定价。为中国银行工作的远期外汇交易员，他被一个美国客户要求报出1年后人民币兑美元的汇价。客户希望届时从银行购买1 980 000人民币，以便偿还账目。假设即期汇率是1美元=6.5元人民币，1年期美元利率1％，1年期人民币利率3％，为此银行需考虑（单利）：

1.一年期美元/人民币远期的汇率是多少？

2.若市场中给出1年期美元/人民币的远期汇率为7，怎么实现套利？

3.若市场中给出1年期美元/人民币的远期汇率为6，怎么实现套利？

解：假定0时刻投资者拥有1美元，如果把1美元存入银行，1年后获得1×（1+1％）美元，如果兑换为人民币可以获得6.5元人民币，存入银行，可以获得6.5×（1+3％）元。假设一年后的外汇远期价格为F，即1美元=F元人民币，则根据无套利定价原则，需要满足等式1×（1+1％）×F=6.5×（1+3％），可求出F=6.628元。这一过程可以用下面的方式更直观地表述：

(www.xing528.com)

若F=7元，我们可以借入6.5元人民币，兑换1美元，贷出1年，签订人民币远期多头，可获利7.07-6.5×1.03=0.375元人民币。

若F=6元，我们可以借入1美元，兑换6.5元人民币，贷出1年，签订人民币远期空头，可获利0.045 8美元。

远期利率是现在确定的在将来两个时间之间的货币的利率。确定远期利率的目的是为了避免利率波动造成借款成本提高的风险，从而保证借款不受利率变化的影响。我们将在第四章重点介绍远期利率协议，这里我们先看看如何利用无套利定价原则确定远期利率。

例3.3　远期利率的确定。如果有公司打算6个月后借款100万元，期限6个月，已知现在6个月即期年利率为10％（连续复利，下同），1年期的即期利率是12％。如果有人把6个月到1年期的远期利率定为11％，试问这样的市场行情能否产生套利活动？若定为15％，还会有套利吗？

解：我们假定0时期投资者有1元，将1元进行1年的无风险投资，利率为12％，与将1元分两个阶段投资，先投资6个月，无风险利率为10％，再投资6个月，远期利率为r，两种情况下的未来收益应该相同，因此我们有：

解得：r=14％

图3-1　远期利率的确定

如果市场上r=11％，我们可以构造套利策略：0时期借入100万6个月，贷出1年。同时签订远期利率协议r=11％，名义本金为：万元。1年后可获得套利利润

如果市场给出的远期利率为15％，说明定价过高，我们可以反向操作，借入资金1年，分两个阶段贷出，先以10％的利率贷出6个月，同时签订远期利率协议，把名义本金再贷出6个月，由此获得无风险套利利润。具体计算可由读者自行完成。

这里我们总结一下有关远期利率的确定办法。

已知T1时刻的利率为R1，T2时刻的利率为R2，则T1到T2时刻的远期利率RF应该如何确定？

图3-2　远期利率的确定

如果市场上不存在套利机会，那么按单利表示：

解出：

若按连续复利表示：