时间序列的水平分析及动态分析方法

第四章　时间序列分析

许多经济现象随着时间的推移不断地发展变化，为了探索现象随时间发展变化的规律性，不仅要从静态上分析现象的规模、水平、内部结构及相互关系，而且还要从动态上研究其发展变化和规律性。

时间序列分析法是应用统计方法研究经济现象数量方面的变化过程，了解现象过去的活动过程，评价当前的状况和未来的变化趋势，是在实际中得到广泛应用的一种数量分析方法。

第一节　时间序列分析的一般问题

本节主要介绍时间序列的概念、类型及时间数列在经济活动分析中的作用，区分数列的类型，对应用数列进行分析具有重要的意义。

一、时间序列的概念

时间序列又称为动态数列，是将反映社会经济现象数量特征的统计指标数值按照时间的先后顺序排列所形成的数列。例如，把我国2008—2012年的外汇储备数量按照时间的先后顺序排列，可形成如表4－1所示的时间数列。

表4－1　我国外汇储备数量表　　单位:亿美元

资料来源:《中国统计年鉴2013》

由上表可以看出，时间序列由两个基本要素组成:一是现象所属的时间(t)，另一个是各个事件所对应的统计指标值(Y)。

研究时间序列具有重要的作用，具体表现为:①通过时间序列，可以反映经济现象的发展变化及历史状况，以便具体深入揭示现象发展变化的数量特征;②通过时间序列，可以揭示经济现象的数量变化趋势，以便进一步研究这种趋势和波动的规律性;③通过时间序列，可以对某些经济现象进行动态趋势预测;④利用不同的但又相互联系的时间序列进行对比分析，是对经济现象进行统计分析的重要方法之一。

二、时间序列的类型

时间序列按其指标性质的不同，可以分为绝对数时间序列、相对数时间序列和平均数时间序列3大类。其中绝对数时间序列又称为总量指标时间序列，其余两种数列都是由总量指标数列派生得到的。

1．绝对数指标时间序列

绝对数指标时间序列是由总量指标值按照时间的先后顺序排列而成的数列。它可以反映某种社会经济现象在某个时期达到的规模、水平等总量特征。绝对数指标时间序列按指标所反映的时间状况不同又可分为时期数列和时点数列两种。

(1)时期数列。时期数列是反映现象在一段时间内发展过程的总量指标，如表4－2中我国国内生产总值数列就是时期序列。

时期数列中各个时期的指标值可以相加，相加后的指标值反映现象在较长时期内发展过程的总量;数列中每一个指标数值的大小与其包括的时期长短有直接关系，时期长则指标值大，时期短则指标值小;数列中的数值是连续统计得到的。

表4－2　我国国内生产总值表　　单位:亿元

资料来源:《中国统计年鉴2013》

(2)时点数列。时点数列是反映现象在某一时点上发展状况的总量指标，如表4－3中我国2008—2012年全国就业人员年末数就是时点序列。

表4－3　我国就业人员情况表

资料来源:《中国统计年鉴2013》

时点数列的特点:数列中每个指标数值是不能相加的，时点数列中每个指标值只是表明某一经济现象在一定时点上的数量，相加无实际经济意义;数列中每个指标数值的大小与其时间间隔没有直接联系;时点数列指标值不具有连续统计的特点，通常是间隔一段时间登记一次取得。

2．相对数时间序列

相对数时间系列又称为相对指标时间序列，是相对指标按照时间的先后顺序排列而形成的数列，用来说明现象之间的数量对比关系或相互联系的发展变化过程。由于相对指标是由两个总量指标派生而来的，总量指标有时期指标和时点指标，从而构成不同的相对数时间序列。在相对数动态指标中，各个指标数值是不能相加的。如表4－3中我国2008—2012年第三产业就业人员比重就是由第三产业就业人员数与全部就业人员数对比得到的。

3．平均数时间序列

平均数时间系列又称为平均指标时间序列，是平均指标值按时间的先后顺序排列而形成的数列，用来反映经济现象一般水平的发展变化过程。如表4－4中我国2008—2012年全国职工年平均工资就是平均指标时间序列。

表4－4　我国职工年平均工资　　单位:元

资料来源:《中国统计年鉴2013》

第二节　时间序列的水平分析

在编制时间序列的基础上，为了反映经济现象在不同时间条件下的发展变化过程，及发展变化规律，需要进行各种动态分析，其中基础的方法就是通过对比分析计算各种动态分析指标，来反映现象在不同时间条件下的发展变化。常见的动态分析指标有水平分析指标和速度分析指标。水平分析指标包括发展水平、增长水平、平均发展水平和平均增长水平，它是计算速度指标的基础，本节先介绍水平指标。

一、发展水平

发展水平是时间序列中具体时间条件下的指标数值，又称为时间序列水平。它是计算其他动态分析指标的基础。为了以后论述公式的方便，把发展水平用ai表示，符号为a0，a1，a2，…，an－1，an，表示序列中各个时期的发展水平，其中a0表示基期的发展水平，a1，a2，…，an分别表示第一个报告期、第二个报告期、第n个报告期的发展水平。在表4－5中，a0为2008年的指标数值，是时间序列的最初水平;a4为2012年的指标数值，是时间序列的最末水平，其余各年份指标值为时间序列的中间水平。

表4－5　陕西省人均生产总值表　　单位:元

二、增长水平

增长水平是报告期水平与基期水平之差，说明现象在一定时期内所增长的绝对值，用公式表示为

增长水平=报告期水平－基期水平

在增长水平的计算中，由于报告期水平可以大于基期水平，也可以等于或小于基期水平，所以增长水平可以是正值，也可以是负值或零，它们分别表示正增长、负增长或零增长。

由于基期的确定方法不同，增长水平可分为逐期增长水平和累计增长水平。逐期增长水平是报告期水平减前期水平，说明现象逐期增长的数量;累计增长水平则是报告期水平与某一固定时期水平(通常为a0)相减，说明现象某一时期内的总增长水平。

逐期增长水平:a1－a0，a2－a1，…，an－1－an－2，an－an－1

累计增长水平:a1－a0，a2－a0，…，an－1－a0，an－a0

不难得出如下结论:

(1)累计增长水平等于逐期增长水平之和，即

an－a0=(a1－a0)+(a2－a1)+…+(an－1－an－2)+(an－an－1)

(2)相邻两期累计增长水平之差等于相应的逐期增长水平，即

(an－a0)－(an－1－a0)= an－an－1

在实际统计分析工作中，为了消除季节变动的影响，反映现象在一年当中的变化，常计算本期发展水平与上年同期水平的增减数量，又称为年距增长水平。其计算公式为

年距增长水平=报告期发展水平－上年同期水平

三、平均发展水平

平均发展水平又称为序时平均数，它是将整个时间序列作为一个整体，将不同时期的发展水平加以平均而得到的平均数。序时平均数与一般的算术平均数虽然都是通过具体的数值来计算的，都是将个别差异抽象掉，用以反映整体的一般水平。但两者也存在着明显的差异，主要表现在:序时平均数是根据时间序列计算的，算术平均数是根据变量数列计算的;序时平均数是从动态上说明某一现象在不同时间上发展的一般水平，算术平均数是从静态上说明同一现象总体不同单位在同一时间上的一般水平。

序时平均数的计算，可以根据总量指标时间序列计算，也可以根据相对指标和平均指标时间序列计算。不同性质的时间序列的序时平均数的计算方法也不一样，现分别介绍如下:

1．根据绝对数时间序列计算序时平均数

由前述可知，在绝对数时间序列中主要是由总量指标所构成的时间序列，而总量指标根据其时间状况的不同又可分为时期指标与时点指标，并分别构成时期数列与时点数列。时期数列与时点数列各自所具有的不同特点，使得在平均指标的计算上具有明显的差异。

(1)由时期数列计算序时平均数。由于时期数列中的各项指标数值都是反映现象在一定时期内的总量，具有可加性，因此可以采用简单算术平均的方法计算序时平均数，即将时期数列中的各项指标数值相加除以时期项数来得到。其计算公式为式中，珔a代表序时平均数;ai代表各期发展水平(i= 1，2，…，n);n代表时期数。

【例4－1】根据表4－2我国国内生产总值的数据资料，计算序时平均数。

国内生产总值指标是时期指标，计算2008—2012年的平均国内生产总值应采用简单算术平均法，故平均国内生产总值为

(2)由时点数列计算序时平均数。在计算时点数列的序时平均数时，我们又把时点数列分为连续型和间断型两种。连续型时点数列是每日都有登记的数列，而间断型时点数列则是相邻两次的登记间隔在一日以上的数列，连续型和间断型均又可根据取得资料方式的差异，分为间隔相等和间隔不等两种情况。因此，时点数列的类型可以分为以下4种:间隔相等的连续时点数列、间隔不等的连续时点数列、间隔相等的间断时点数列和间隔不等的间断时点数列。不同类型的时点数列的序时平均数的计算方法如下:

1)间隔相等的连续时点数列的序时平均数。在掌握整个研究时期每日资料的情况下，序时平均数的计算方法可采用简单算术平均法，即以各时点数值之和除以时点个数。其计算公式为

【例4－2】某班级4月1日～10日的到课人数如表4－6所示，计算平均每天的到课人数。

表4－6　某班4月1日～10日每天到课人数　　单位:人

到课人数是时点指标，而且每天都有登记，属于间隔相等的连续型时点，计算序时平均数时，应采用简单算术平均法。

平均每天到课人数

2)间隔不等的连续时点数列的序时平均数。在间隔不等的连续时点数列中，被研究现象不是逐日变动的，而是每变动一次登记一次，在计算序时平均数时，应采用加权算术平均法，即以每次变动数据存续的时间长度为权数，对各时点指标值进行加权。其计算公式为

【例4－3】某企业5月份职工出勤人数如表4－7所示，计算该企业5月份平均出勤职工人数。

表4－7　某企业5月份职工出勤人数　　单位:人

企业职工出勤人数是时点指标，且间隔的时间不相等，应采用加权算术平均法。

3)间隔相等的间断时点数列的序时平均数。在实际工作中，对于时点性质的指标，为简化登记手续，往往每隔一段时间登记一次，得到期初或期末的统计数字，时点定在月(季、年)初或末，这样就组成了间隔相等的间断时点数列。这种情况下计算序时平均数，要采用两次简单平均法。首先假定所研究的现象在相邻时点之间的变动是均匀的，可以将相邻两个时点的指标值相加后除以2，得到相邻两个时点的序时平均数，然后根据这些平均数再用简单算术平均法求得整个研究时间的序时平均数。

【例4－4】根据表4－8某企业第一季度1～4月初职工人数资料，计算该企业第一季度月平均职工人数。

表4－8　某企业第一季度1～4月初职工人数　　单位:人

第一步，假定职工人数在相邻时点之间均匀变动。

1月份平均职工人数

2月份平均职工人数

3月份平均职工人数

第二步，根据各月份平均职工人数再用简单算术平均法求序时平均数。

第一季度月平均职工人数

以上步骤可用公式合并表示为

第一季度月平均职工人数

因此，对于间隔相等的间断时点数列，计算其序时平均数，可以将首末两项数值折半再加上中间各项数值，然后除以“项数减一”，这种方法称为简单序时平均法，也称为“首末折半法”。用公式表示为:

4)间隔不等的间断时点数列的序时平均数。在实际工作中，有些条件下会出现间断时点数列中间隔时间不相等的情况，这时可以用不同的时点间隔长度作为权数，用先简单平均再加权平均的方法计算序时平均数。其计算公式为【例4－5】某企业2013年商品库存量数据如表4－9所示，计算该企业年平均商品库存量。

表4－9　某企业2013年商品库存量　　单位:吨

商品库存量数据是间断的时点数列，且间隔不相等，应采用先简单平均再加权平均的方法计算序时平均数。

年平均商品库存量

2．根据相对数时间序列计算序时平均数

相对数时间数列是由两个相互联系的总量指标时间数列对比得到的。在计算相对指标的序时平均数时，我们不能像总量指标时间数列那样直接计算序时平均数，只能按照数列的性质，分别计算分子、分母两个总量指标的序时平均数，然后加以对比。一般而言，相对数时间序列的序时平均数的算式可以表示为

由于a，b作为总量指标有可能是时期指标也可能是时点指标，用来计算相对指标时，有以下3种可能:a，b均为时期数列;a，b均为时点数列;a，b一个为时期数列，一个为时点数列。以下分别举例说明。

(1)由两个时期数列对比而形成的相对指标时间序列计算序时平均数。

【例4－6】根据表4－10的资料计算平均计划完成程度。

表4－10　某企业第一季度利润完成情况　　单位:万元

实际利润和计划利润数据均为时期数列指标，则该企业第一季度的平均计划完成程度为

在实践中，根据所获得资料的不同，公式可变形为:

(2)由两个时点数列对比而形成的相对指标时间序列计算序时平均数。如果分子数列和分母数列均为间隔相等的时点数列，其计算公式为

【例4－7】根据表4－11的资料，计算城镇就业人口数占总人口数的比重。

表4－11　我国2007—2012年就业人员年末数　　单位:万人

(3)由两个不同性质数列对比而形成的相对指标时间序列计算序时平均数。根据分子分母数列的不同性质，采用相应的方法计算出各自的序时平均数，然后再相比。

【例4－8】根据表4－12的资料，计算第一季度企业的月平均劳动生产率。

表4－12　某企业第一季度产值和月初职工人数

企业产值是时期指标，职工人数是时点指标，月平均劳动生产率可由企业产值与职工人数对比得到。

3．根据平均数时间序列计算序时平均数

平均数时间数列也是由两个总量指标时间数列对比得到的，其分子数列是总体标志总量数列，分母是总体单位总量数列。例如，工人平均工资是由工资总额除以工人总数得到的。因此，与相对指标时间数列一样，应先分别计算分子数列和分母数列的平均发展水平，然后进行对比，即可求得一般平均数时间数列的平均发展水平。

综上所述，不同情况下，序时平均数的计算方法详见表4－13。

表4－13　序时平均数的计算方法

四、平均增长水平

平均增长水平是增长水平的序时平均数，说明现象在一定时期内平均每期增长的数量，反映现象的平均增长水平。较常用的计算方法是将各个逐期增长量相加之后除以逐期增长量的个数，或以累计增长量除以时间数列项数减1，用公式表示为【例4－9】根据表4－5的资料，计算陕西省2008—2012年人均生产总值的平均增长水平。人均生产总值

第三节　时间序列的速度分析

时间序列的分析指标除了水平指标，还有一系列反映现象发展快慢的速度指标。这些速度指标包括发展速度、增长速度、平均发展速度和平均增长速度等。它们之间有着密切的联系，其中发展速度是最基本的速度指标。

一、发展速度

发展速度是以相对数形式表示的动态指标，是两个不同时期发展水平指标对比的结果，主要用来说明报告期水平是基期水平的百分之几或者若干倍。其公式为

发展速度由于采用的基期不同，可分为环比发展速度和定基发展速度。环比发展速度是各期水平与前一期水平的对比，表明现象逐期发展变化的情况;定基发展速度是报告期水平与某一固定时期水平之比，说明现象在一个较长时期内的变动程度。用公式表示为

环比发展速度

定基发展速度

环比发展速度和定基发展速度之间的关系为

第一，定基发展速度等于相应各期环比发展速度的连乘积，即

第二，相邻的两个定基发展速度相除为环比发展速度，即

根据以上换算关系，我们可以进行指标间的相互推算。

在实际工作中，还经常计算年距发展速度，说明本期发展水平与上年同期发展水平对比而达到的相对发展速度，以说明经济现象的相对发展程度。其公式为

二、增长速度

增长速度是表明现象增长程度的相对指标，是各期增长水平与基期水平之比，说明现象各期增长变化的相对程度。由于增长水平是报告期水平和基期水平之差，所以，增长速度与发展速度存在下列数量关系:

和发展速度一样，由于采用的基期不同，增长速度可分为环比增长速度和定基增长速度。环比增长速度是逐期增长水平与前一期发展水平对比的相对数，说明现象逐期的增长速度;定基增长速度是累计增长水平与某一固定时期水平对比的相对数，说明现象在较长时期内总的增长速度。用公式可表示为

环比发展速度

定基发展速度

也可用发展速度与增长速度的关系表示，即:

环比增长速度=环比发展速度－1

定基增长速度=定基发展速度－1

由此可见，增长速度等于发展速度减1，表明现象增长的程度，亦称增长率。当报告期水平高于基期水平时，发展速度大于1或100%，增长速度为正数;当报告期水平低于基期水平时，发展速度小于1或100%，增长速度为负数。

值得注意的是，环比增长速度和定基增长速度之间是不能直接换算的，它们的指标之间的相互推算必须首先转化成相应的发展速度。

在实际工作中，为了反映增长速度的实际效果，还需结合发展水平和增长水平，需要计算每增长1%的绝对值指标，这是总量指标和相对指标结合运用的具体表现。其计算公式为

此外，还常计算年距增长速度，说明年距增长水平与上年同期发展水平对比达到的相对增长程度，以消除季节变动的影响。

平均增长速度=平均发展速度－1

【例4－10】根据表4－14陕西人均生产总值的资料，计算发展速度、增长速度和增长1%的绝对值。

表4－14　陕西人均生产总值表

三、平均发展速度

平均发展速度是各个时期环比发展速度的序时平均数，它说明现象在较长时期内逐期平均发展变化的程度。由于现象在各个时期所处的条件以及影响其变化的因素不同，因而各时期的发展速度也存在着差异，而平均发展速度通过对各个不同时期环比发展速度的平均，消除了这种差异，便于对不同时期现象的发展变化情况进行对比。

由于定基发展速度是各环比发展速度的连乘积，所以平均发展速度不能用前面介绍的计算平均发展水平的方法来计算，而通常需采用几何平均法或方程法来计算。

1．几何平均法

计算平均发展速度的常用方法是几何平均法，又称为水平法，它是根据各期的环比发展速度的连乘积来计算的。这种方法的实质是，从最初水平a0出发，按照一个平均发展速度珋x，经过n个时期，达到最末水平an。

设各个环比发展速度为xi，环比发展速度的项数为n，平均发展速度为珋x，其几何平均数公式为

由于各个环比发展速度连乘积等于最后一年的定基发展速度，即总速度，所以上式可以写成:

式中R表示总速度。

【例4－11】根据表4－14的资料，计算陕西人均生产总值的平均发展速度。

从水平法计算平均发展速度的公式中可以看出，珋x实际上只与序列的最初水平a0和最末水平an有关，而与其他各期发展水平无关。这一特点表明，几何平均法旨在考察现象在最后一期所达到的发展水平。因此，如果我们所关心的是现象在最后一期应达到的水平，采用几何平均法计算平均发展速度是比较合适的。

2．方程法

方程法，其基本思路是通过求高次方程的正根来计算平均发展速度。这种方法的出发点是:从现象的最初水平a0出发，各期均按平均发展速度发展，按此平均发展速度所推算出来的各期发展水平的总和，应等于各期实际发展水平的累计数，故又称为累计法。

设珋x为平均发展速度，按平均发展速度计算的各期水平的假定值为

各期水平假定值之和应等于各期水平实际值之和，则

化简，得到的一元n次方程为

解此一元n次方程所得的正根就是要计算的平均发展速度。要解此高次方程可以借助计算机，也可以根据事先编制的“平均增长速度查对表”来计算，即由年限n和总发展速度

直 接查表求得平均发展速度。

【例4－12】某公司2011年实现利润15万元，计划今后3年共实现利润60万元，求该公司利润应按多大速度增长才能达到目的。

解　已知a0= 15，a1+ a2+ a3= 60，n= 3，则

即

解得珋x= 115.1%。

应用几何平均法和方程法这两种方法求解平均发展速度的出发点是不同的，前者着重于考察现象的末期水平，即着重解决按什么平均发展速度才能达到最后一年的发展水平，通常用于计算人口、产品产量、社会消费品零售总额等指标的速度;而方程法则考虑整个时期累计发展的总量，即着重解决什么样的平均速度才能使各年计算水平之和与各年实际发展水平之和相一致，通常用于计算固定资产投资、新增固定资产、地质勘探等指标的速度。同时，对于同一资料，采用两种不同的方法来计算平均发展速度，一般来说其结果并不相同，只有当各期环比发展速度相等时，这两种方法计算的结果才会相等。

四、平均增长速度

平均增长速度是环比增长速度的平均数，说明现象在一段较长时期内逐期递增的一般水平。根据增长速度与发展速度之间的关系，平均增长速度可由平均发展速度减1取得，即

平均增长速度=平均发展速度－1

上式如果为正值，表明现象在一定发展阶段内逐期平均递增的程度;如果为负值，则表示现象逐期平均递减的程度。由此可见，平均增长速度的计算首先是平均发展速度的计算。平均增长速度是对社会经济现象进行动态分析的重要指标，是编制和检查国民经济和社会发展计划的重要依据之一。

第四节　时间序列影响因素分析

统计学分析的目的就是要通过对数字的分析发现现象变化的规律，对时间序列的影响因素进行分析，正是我们发现现象变化规律的方法之一。

一、时间序列的影响因素

时间序列反映现象的发展变化，是由多种复杂因素共同作用的结果。不同的因素所起的作用不同，产生的结果也不同，从时间序列影响因素的性质和作用看，时间序列的影响因素有长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动4种。

1．长期趋势(T)

长期趋势，是指现象由于受到某些起决定性作用的因素的影响，使时间序列在长时期内呈现出某种持续向上或向下的变动趋势，记为T。例如，我国国内生产总值随时间的变化呈上升的趋势，而产品单位成本由于技术的改进呈下降的趋势。

2．季节变动(S)

季节变动，是指客观现象由于自然条件和社会习俗的影响，在一年内出现的较有规律的周期性波动，记为S。例如，农作物的产量、客流运输量等。研究过去的季节变动，对于决定当前的生产经营活动，避免由于季节变动引起的不良影响，具有重要意义。

3．循环变动(C)

循环变动，是指客观现象所呈现的周期性起伏，变动周期在一年以上的规律性波动，记为C。例如，宏观经济形势、政治环境、房地产行业以及钢铁工业的变化都有这种循环变动的趋势。循环变动是社会经济现象在若干时期的上下周期性波动，它不同于长期趋势，因为它不一定是单一方向的变动;它也不同于季节变动，因为它的波动周期较长，而且周期长短不一。

4．不规则变动(I)

不规则变动，是时间序列中剔除长期趋势、季节变动和循环变动后的偶然性因素或不明原因所引起的随机性变动，记为I。

时间序列的上述4种变动与时间序列的关系用一定的数学关系式表示，就构成了时间序列的分解模型。其种类有很多，其中加法模型和乘法模型是最基本的。

当时间序列的4种变动因素呈现出相互独立的关系时，时间变动总变动体现为各种因素变动之和(Y)，即加法模型:

Y= T+ S+ C+ I

式中，Y，T是总量指标;S，C，I是季节变动、循环变动和不规则变动对长期趋势所产生的偏差，或是正值，或是负值，或为零。

当时间序列的4种变动因素呈现出相互影响的关系时，时间序列总变动体现为各种因素变动之积(Y)，即乘法模型:

Y= T×S×C×I

式中，Y，T是总量指标;S，C，I是比率，用百分数表示。

在实际应用中主要采用乘法模型，通过对这些构成因素的分解，把受各个因素影响的变动分别测定出来，揭示现象随时间变化而演变的规律。

二、时间序列的长期趋势分析

长期趋势是客观现象的统计数值在一个相当长时期内持续发展变化的趋势，是由起决定性作用的因素决定的。它可能呈现上升、持平、下降或升降交替的状态。长期趋势的描述，可以揭示现象发展变化的某种规律性，可以为经济预测提供依据。

长期趋势的测定，就是用一定的方法对动态数列进行修匀，使修匀后的数列排除季节变动、偶然变动等因素的影响，显示出现象变动的基本趋势，作为预测的依据。测定长期趋势的分析方法有很多，常用的方法有时距扩大法、移动平均法和最小平方法等。

1．时距扩大法

时距扩大法是把时间序列中各期指标数值适当合并，扩大时间间隔，形成一个新的时间序列，以消除原数列中的季节变动和各种偶然因素的影响，突出现象的长期趋势。

【例4－13】根据表4－15的资料，利用时距扩大法测定企业产量变动的长期趋势。

表4－15　某企业2002—2013年某产品产量　　单位:万件

企业的产品产量可绘制成如图4－1所示的折线图，由图可以看出，产品产量呈波动性的趋势，有些年份上升，有些年份下降，但总体趋势是上升的。为了强化其长期趋势，现扩大时距，整理成新的数据资料，如表4－16所示。

图4－1　某企业2002—2013年某产品产量折线图

表4－16　某企业2002—2013年某产品产量　　单位:万件

从合并后的数据可以清楚地看出，企业产品产量呈稳步增加的趋势，更清晰地显示了时间数列的长期趋势，如图4－2所示。

图4－2　采用时距扩大法后新的产量折线图

2．移动平均法

移动平均法是通过对原有的时间数列进行修匀，以测定长期趋势的一种方法，即对时间数列采用逐项递推移动的方法，按一定时期分别计算一系列序时平均数，形成一个派生的时间序列。这个派生的数列，由于移动平均起修匀作用，原数列中包含的一些偶然因素引起的变动得以削弱，即可显现出现象在较长时期发展变化的基本趋势。

【例4－14】根据某企业2001—2013年产品销售额的数据资料，利用移动平均法测定企业销售额变动的长期趋势。

表4－17　某企业2001—2013年产品销售额　　单位:万元

表中奇数项移动平均的计算步骤是:

3年移动平均的第一个平均数为

5年移动平均的第一个平均数为

7年移动平均的第一个平均数为

其余依此类推。

偶数项移动平均第一次移动平均:

第一个平均数

偶数项移动平均第二次移动平均:

第一个平均数

移动平均项数的确定非常重要，因为移动项数的多少直接影响修匀的程度。一般来说，移动项数越多，修匀的作用越大，所得出的移动平均数的项数也就越少;反之，移动项数越少，修匀的作用就越小，所得出的移动平均数的项数也就越多。移动项数的确定应注意时间序列水平波动的周期性。一般要求移动项数与周期变动的时距相吻合，比如，对于具有季度或月份水平资料的时期数列，经常受每年季节性的涨落的影响，必须清除季节变动因素，以运用4项或12项移动平均为宜。在以年为单位的数据所形成的时间序列中，所要清除的是循环变动和不规则变动因素，这时，可借助于时间序列水平的观察，确定循环周期大体是几年，就相应采用几年移动平均。而且用奇数项较简便，每次移动平均值应对准所平均时间的正中间，奇数项平均数正好对着中间时期，一次平均即可，而偶数项移动平均所得的平均值对着原数列相邻两个数值的中间，需要再做一次两两移动平均才能对正。可见，偶数项移动平均，需要做两次移动平均。

采用移动平均法测定事物发展的长期趋势，其优点是简单易行，便于操作，且较充分地利用了原数列的各种数值，使简化了的新数列既能明显地显示长期趋势，又能保持原数列的真实性。但也有局限性，主要是它形成的新数列的项数比原数列的项数少，两端的数值缺项，所以无法进行外推预测。但从对时间序列的平滑作用和观察现象的变化方面来看，移动平均仍然是一种可用的方法。

3．最小平方法

最小平方法，又称最小二乘法，是测定长期趋势的常用方法，它是利用趋势方程来描绘数列长期趋势并进行未来预测的一种统计方法。根据最小平方法的原理，以趋势方程得出的估计值yc与各期实际值yi的离差平方和达到最小。趋势方程必须满足的条件是:①原数列与趋势线的离差总和为零，即②原数列与趋势线的离差平方和为最小值，即最小值。

(1)直线方程。如果现象的趋势是线性的，即一个多年的时间序列，其相邻两期数值的逐期增长大体上相等，就可以最小平方法拟合直线方程。设直线方程为

yc= a+ bti(i= 1，2，3，…，n)

式中，yc代表时间序列的趋势值;ti代表时间，通常以时间序号来表示;a代表直线趋势方程的起点值，即截距;b代表直线趋势方程的斜率，即t每变动一个单位时长期趋势值增加(或减少)的数值。

然后，用最小平方法来求解参数a，b。根据最小平方法的要求，得最小值

为使Q达到最小，可以对直线趋势方程中的两个待定参数a和b求偏导，并令其等于0。

由此可以得到关于a和b的二元一次的标准方程组:

求解方程组，即可求得参数a和b:

【例4－15】根据某地区2003—2013年粮食总产量的数据资料，利用最小平方法拟合直线的趋势方程并预测2015年的粮食总产量。

表4－18　某地区2003—2013年粮食总产量趋势方程计算表　　单位:万吨

将表4－18中数据资料代入上述方程组，可以求解出待定参数a和b。

直线趋势方程为:yc= a+ bt= 222.18+ 6.35t

当t= 13时，2015年的粮食总产量为:

y13= a+ bt13= 222.18+ 6.35×13= 304.73(万吨)

为了简化计算，可采用原点法设置时间t使，而时间序号的设定与原数列的奇偶性有关。若原数列为奇数项，可设中间项的时间序号t= 0，之后各年的t取正值(1，2， 3，…，)，之前各年的t对称地取负值(－1，－2，－3，…，);若原数列为偶数项，原点可设在中间两项的中点，中间相邻两项的时间序号分别为－1和1，新的时间序号为:－(n－1)，…，－3，－1，1，3，…，(n－1)。

当时，标准方程组可简化为

求得参数a和b分别为

现仍以表4－18的数据资料为例，用原点法设定时间序号，用最小平方法拟合直线趋势方程，得到表4－19的计算资料，将数据代入上述公式可以得到:

用原点法求得的直线趋势方程为

y= a+ bt= 260.28+ 6.35t(www.xing528.com)

当t= 7时，2015年的粮食总产量为

y13= a+ bt13= 260.28+ 6.35×7= 304.73(万吨)

我们可以看到用一般方法设定时间序号和用原点法设定时间序号所得到的趋势方程有差异，但它们的预测值一定是相同的。

表4－19　某地区2003—2013年粮食总产量趋势方程计算表　　单位:万吨

(2)抛物线方程。当时间数列逐期增长水平大致相同时，可以拟合直线趋势方程。但在现实生活中，大量的长期趋势是非线性的，如抛物线、指数曲线等。如果趋势线是曲线型的，同样可用最小平均法拟合曲线方程。而选择合适的方程，是评估人员在分析预测时首先应该考虑的问题。一般来说，当时间数列的二次逐期增长水平大致相同时，可拟合抛物线趋势方程。

设抛物线趋势方程为yc= a+ bti+ ct2i，方程中有3个待定参数a，b，c。根据最小平方法，离差的平方和达到最小，即:

通过求偏导数，得到方程组:

同样，为了计算简便，可设定新的时间序号使∑ti= 0，则∑ti

3= 0。求解方程组，可得

【例4－16】根据某企业2007—2013年鸡蛋销售量的数据资料(表4－20)，利用最小平方法拟合抛物线的趋势方程。

表4－20　某企业2007—2013年鸡蛋销售量趋势方程计算表　　单位:万千克

鸡蛋销售量的二次逐期增长水平大致相等，可以考虑抛物线方程。将表4－20数据代入上述公式可以解得:a= 38.61，b= 7.61，c= 0.92，从而该企业鸡蛋销售量的抛物线趋势方程为

yc= 38.61+ 7.61t+ 0.92t2

(3)指数曲线方程。若时间序列的环比发展速度或环比增长速度大体相同，则可认为现象的发展趋势符合指数方程，即

yc= abt

两边取对数，使指数曲线线性化，可以得到

lg yc= lg a+ t lg b

令y'= lg yc，A= lg a，B= lg b，则有

y'= A+ Bt

当时，应用最小平方法，解得

【例4－17】根据某企业2008—2013年产品销售额的数据资料(表4－21)，利用最小平方法拟合指数的曲线方程。

表4－21　某企业2008—2013年产品销售额趋势方程计算表　　单位:万元

企业历年的产品销售额的环比增长速度大体相同，所以该企业的销售额的发展趋势可以用指数曲线来拟合。代入方程组，可以解得

由于A= lg a，B= lg b，可以求得参数a= 14.426 5，b= 1.072 9，因此，指数趋势方程为

y= 14.426 5×1.072 9t

三、季节变动分析

季节变动是指现象由于受到季节因素的变动和社会习俗的影响，在一年内发生的有规律的周期性波动。例如，农牧业生产就是典型的季节性生产，节假日期间的交通运输量、商品需求量以及日常生活中人们对四季服装的需求都呈明显的季节性变动。季节变动对某些部门的生产经营活动和人们的经济生活有一定的影响，研究季节变动，正确地认识现象整体发展变化的规律性，有助于有关部门和企业制订计划，合理组织货源，有效地使用资金，以及提高为人民经济生活服务的质量。

季节变动的测定主要是计算一系列季节指数，又称季节比率。其设计思想是:以总平均水平为基础，用各季节的平均数与之比较，来反映季节变动的高低程度。季节指数是各季(月)平均数与全时期总平均数的比率。

测定季节变动的方法从是否排除长期趋势的影响看，可分为两种:一是不考虑长期趋势的影响，直接根据原时间序列来测定;二是考虑长期趋势的影响，依据消除长期趋势影响后的时间序列来测定。前者常用简单平均法，后者常用移动平均趋势剔除法。现将两种测定方法分别介绍如下:

1．简单平均法

当时间序列的长期趋势近似于水平趋势时，测定时间序列的季节变动可以不考虑长期趋势的影响，直接采用简单平均法。

【例4－18】根据某企业2008—2013年各季度产品的出口量的数据资料(表4－22)，利用简单平均法计算季节比率。

表4－22　某企业产品的出口量　　单位:万件

根据月份(季度)的时间序列，用简单平均法测定季节变动的计算步骤如下:

1)计算各年同期的月(季)的平均数，消除各年同一季节数据上的不规则变动。例如，

1季度平均出口量

2)计算各年总的月(季)平均数，找出整个序列的水平趋势。例如，

各年总的季平均数

3)将各年同月(季)的平均数与总的月(季)平均数相对比，求得用百分数表示的各月(季)的季节比率，又可以称为季节指数。例如，

1季度的季节比率

(4)调整季节比率。在乘法模型中，季节比率应等于季节周期L。如掌握的是月份资料，则有12个季节比率，季节比率之和为1 200%，若为季度资料，则季节比率之和为400%。本例中季节比率之和恰好为400%，若相差过大，则应做调整。用调整系数乘以原来的各季季节比率，得到修正后的季节比率。其中，调整系数为

季节比率如果大于100%表示旺季，小于100%表示淡季，等于100%表示平季。由表4－22的资料可以看出，某企业产品的出口量在第二季度大于100%，为旺季;在第四季度小于100%，为淡季;第一和第三季度为平季。

简单平均法计算比较简单，但值得注意的是，运用此方法的前提条件是原时间序列没有明显的长期趋势和循环变动，通过各年同期数据的平均，可以消除不规则变动，而且当平均的期间与循环周期基本一致时，也在一定程度上消除了循环变动。当时间序列存在明显的长期趋势时，会使季节变动的分析不准确，如存在明显的上升趋势时，即使没有明显的季节变动，年末季节变动比率也会高于年初季节变动比率;反之，当存在明显的下降趋势时，年末的季节比率又会低于年初的季节比率。所以，只有当数列的长期趋势和循环变动不明显时，运用简单平均法才比较合适。

2．移动平均趋势剔除法

如果时间序列呈现出明显的上升(或下降)的趋势或循环变动，为了更准确地计算季节指数，就应当首先消除趋势和循环因素，然后再用简单平均的方法消除不规则变动，从而分解出季节变动成分。移动平均趋势剔除法是利用移动平均法消除原时间数列中的长期趋势的影响，然后再来测定它的季节变动。

时间序列的影响因素可以是加法模型也可以是乘法模型。例4－19以乘法模型来介绍移动平均趋势剔除法，其计算步骤如下:

(1)根据时间序列中各月(季)的数值Y，计算移动平均数。如果是月资料，一般用12项移动平均。如果是季度资料，一般用4项移动平均。由于是偶数项移动平均，需要做两次移动平均。移动平均消除了季节变动S和不规则变动I，所得到的结果M只包含了趋势变动T和循环变动C。

(2)用时间序列中各月(季)的数值Y与其相应的趋势值M对比，计算Y M的百分比数值，剔除长期趋势。计算公式为

(3)把的百分比数值按月(季)排列，计算出各年同月(季)的总平均数，这个平均数就是各月(季)的季节比率。

(4)把各月(季)的季节比率加起来，其总数应等于1 200%(或400%)。如果不符，还应把1 200%与实际加总的各月季节比率相比求出调整系数，用调整系数分别乘以各月(季)的季节比率。季节比率的调整系数与简单平均法相同。

【例4－19】根据某企业2009—2013年产品的产量的数据资料(表4－23)，利用移动平均趋势剔除法计算季节比率。

季节比率的计算如表4－23和表4－24所示。

表4－23　产品产量剔除长期趋势的计算表　　单位:万吨

表4－24　产品产量剔除长期趋势后季节比率的计算表　　单位:万吨

四、循环变动分析

循环变动通常隐匿在一个较长的变动过程中，成因较为复杂，而且其波动幅度和周期长度等规律不固定。测定循环变动可以采用剩余法，其基本思想是:对各期时间序列资料用长期趋势和季节比率剔除趋势变动和季节变动，得到反映循环变动与不规则变动的数列，然后再采用移动平均法剔除不规则变动，便可得出反映循环变动程度的各期循环变动系数。

假定时间序列各影响因素满足乘法模型Y= T·S·C·I，则剩余法的基本步骤如下:

(1)计算季节比率S，用Y除以季节比率S，得到无季节变动的序列

(2)拟合长期趋势T。

(3)用T除以T·C·I，得到包含循环变动和不规则变动的

(4)通过移动平均消除不规则变动，得到循环变动。

【例4－20】根据某企业2009—2013年产品产量的数据资料(表4－25)，利用剩余法测定循环变动。产品产量循环变动的计算如表4－25所示。

表4－25　产品产量循环变动的计算表　　单位:万吨

(续表)

根据表4－25计算的数据资料可以绘制循环变动的曲线如图4－3所示，由图可以看出产品产量的循环波动大约在6个季度左右出现一次波峰或波谷。

图4－3　产品产量的循环变动曲线

第五节　Excel在时间序列分析中的运用

利用Excel可使时间序列的数据分析更为简便，使用Excel可以计算水平指标和速度指标，还可以进行移动平均及拟合趋势方程。

一、利用Excel计算水平指标

1．用表4－2的数据资料计算时期数列的平均发展水平

第一步，数据输入。在单元格A1中输入“年份”，在单元格A2至A6中输入2008至2012，也可采用自动填充的功能;在单元格B1中输入“国内生产总值(亿元)”，在单元格B2 至B6中分别输入2008—2012年所对应的国内生产总值数值。

第二步，在单元格A7中输入“年平均国内生产总值”，在B7中输入公式“= AVERAGE (B2:B7)”，按Enter键即可在单元格B7中显示最终结果40 9701.4。

2．用表4－5的数据资料计算时期数列的增长水平

第一步，数据输入。在单元格A1中输入“年份”，在单元格A2至A6中输入2008至 2012;在单元格B1中输入“陕西人均生产总值(元)”，在单元格B2至B6中分别输入2008—2012年对应的陕西人均生产总值的数值。

第二步，在单元格C1中输入“逐期增长水平”，在C3中输入公式“= B3－B2”，按Enter键即可在单元格C3中显示最终结果“2 247”，拖动鼠标向下复制公式至C6，即可得到所有的逐期增长水平。

第三步，在单元格D1中输入“累计增长水平”，在D3中输入公式“= B3－19 700”，按Enter键即可在单元格C3中显示最终结果2 247，拖动鼠标向下复制公式至D6，即可得到所有的累计增长水平。

3．用表4－9的数据资料计算时点数列的平均发展水平

第一步，数据输入。在单元格A1中输入“商品库存量”，在单元格A2至A6中分别输入80，85，70，90，130，在单元格B1中输入“间隔长度”，在单元格B3至B6中分别输入3，2，1，6，在单元格B7中单击自动求和图标可以得到分母数值12。

第二步，在单元格C1中输入“两时点间的平均”，在单元格C3中输入公式“=(A2+ A3)/2”，在单元格D3中输入“= C3* D3”，按Enter键后，拖动鼠标至C6和D6，在单元格D7单击自动求和图标得到分子总和的数值1 142.5。

第三步，在单元格C8中输入“年平均商品库存量”，在单元格D8中输入“= D7/C7”，按Enter键即可显示最终结果95.21。

二、利用Excel计算速度指标

用表4－14的数据资料计算时点数列的一系列速度指标。

第一步，数据输入。在单元格A1中输入“年份”，在单元格A2至A6中输入2008至2012;在单元格B1中输入“陕西人均生产总值(元)”，在单元格B2至B6中分别输入2008—2012年对应的陕西人均生产总值的数值。

第二步，在单元格C1中输入“环比发展速度”，在单元格C3中输入“= B3/B2”，按Enter键并向下拖动鼠标。

第三步，在单元格D1中输入“定基发展速度”，在单元格D3中输入“= B3/19700”，按Enter键并向下拖动鼠标。

第四步，在单元格E1和F1中分别输入“环比增长速度”和“定基增长速度”，在E3中输入“=C3－100%”，在F3中输入“=D3－100%”，按Enter键并向下拖动鼠标。

第五步，在单元格G1中输入“增长1%的绝对值”，在单元格G3中输入“= B2/100”，按Enter键并向下拖动鼠标。

三、利用Excel进行移动平均

用表4－17的数据资料进行移动平均，其具体步骤如下:

第一步，在单元格A1中输入“年份”，在单元格A2至A14中输入2001至2013;在单元格B1中输入“企业销售额(万元)”，在单元格B2至B14中分别输入2001—2013年对应的企业销售额的数值。

第二步，在“工具”中的“数据分析”中选择“移动平均”，在输入区域选择“B2:B14”，在间隔中输入“3”，进行三项移动平均，在输入区域选择“C2”，点击确定，即可得到三项移动平均的数据。移动平均的操作如图4－4所示。

图4－4　Excel三项移动平均对话框

四、利用Excel拟合直线趋势方程

用表4－18的数据资料拟合直线趋势方程，其具体步骤如下:

第一步，在单元格A1中输入“时间”，在单元格A2至A12中输入1至11;在单元格B1中输入“粮食总产量”，在单元格B2至B12中分别输入不同时间对应的粮食总产量的数值。

第二步，在“工具”中的“数据分析”中选择“回归”，在Y值输入区域选择“B2:B12”，在X值输入区域选择“A2:A12”，在输出区域选择“C2”，点击确定，即可得到回归的数据。回归输出的结果如图4－5所示。

图4－5　Excel趋势方程拟合结果

【思考与练习】

一、判断题

1．两个总量指标时间序列相对比得到的时间序列一定是相对数时间数列。(　)

2．构成时间序列的两个基本要素是时间和指标数值。(　)

3．若各期的增长水平相等，则各期的增长速度也相等。(　)

4．累计增长水平除以时间数列的项数等于平均增长水平。(　)

5．定基发展速度一定大于各期的环比发展速度。(　)

6．两个相邻时期的定基发展速度相除之商，等于相应的环比发展速度。(　)

7．某一时间数列共有20年资料，若采用5项移动平均，则修匀后的数列缺少4项数据。(　)

8．根据最小平方法建立直线方程后，可以精确地外推任意一年的趋势值。(　)

9．如果数列既有季节变动又有明显的长期趋势，应先剔除长期趋势，再测定季节指数。(　)

10．用移动平均法测定长期趋势时，移动平均项数越多，修匀的效果越好。(　)

二、单项选择题

1．时间序列中对应于具体时间的指标数值称为(　)。

A．变量　

B．发展水平　

C．增长量　

D．发展速度

2．时间序列中的发展水平(　)。

A．只能是绝对数　

B．只能是相对数

C．只能是平均数　

D．既可以是绝对数，也可以是相对数或平均数

3．增长量是(　)。

A．报告期发展水平与基期发展水平之差　

B．报告期发展水平与基期发展水平之和

C．报告期发展水平与基期发展水平之比　

D．最末水平与最初水平之比

4．根据基期的不同确定方法，可以把增长量分为逐期增长量和(　)。

A．环比增长量　

B．定基增长量　

C．累计增长量　

D．平均增长量

5．已知在一个时间序列中，逐期增长量分别为21，30，35，41，则累计增长量为(　)。

A．90　

B．80　

C．105　

D．127

6．平均增长量是时间序列中(　)的序时平均数。

A．累计增长量　

B．报告期水平与某一固定时期水平(通常是时间序列最初水平)之差

C．逐期增长量　

D．报告期发展水平

7．序时平均数中的“首末折半法”适用于计算(　)。

A．时期数列　

B．间隔相等的间断时点数列

C．间隔不等的间断时点数列　

D．间隔相等的连续时点数列

8．定基发展速度等于相应各个环比发展速度的(　)。

A．连乘积　

B．总和　

C．对比值　

D．之差

9．某公司A产品的销售额2007年比2002年增长53.5%，2006年比2002年增长40.2%，则2007年比2006年增长(　)。

A．9.5%　

B．13.3%　

C．33.09%　

D．15.9%

10．2000年以来，我国人均消费水平年均增长4%以上，这是(　)。

A．发展速度　

B．增长速度　

C．平均增长速度　

D．平均发展速度

11．用几何平均法计算平均发展速度，它的大小取决于(　)。

A．最末水平的大小　

B．最初水平的大小

C．总速度的大小　

D．各期发展水平总和的大小

12．某企业2013年1～4月初的商品库存量(万件)分别为30，24，18，26，则第一季度的月平均库存量为(　)。

A．

B

C

D

13．某企业2013年的产值比2009年增长了200%，则年平均增长速度为(　)。

A．50%　

B．13.89%　

C．31.61%　

D．29.73%

14．用最小平方法配合直线趋势方程，在(　)条件下

A．

B．

C．

D．

15．如果时间数列的逐期增长量大体相等，则宜配合(　)。

A．直线模型　

B．抛物线模型　

C．曲线模型　

D．指数曲线模型

三、多项选择题

1．将某一统计指标在各个不同时间上的数值按时间先后顺序编制形成的序列称为(　)。

A．时间序列　

B．相关分析　

C．动态数列　

D．回归分析　

E．指数分析

2．按照其构成要素中统计指标值的表现形式，时间序列可分为(　)。

A．月时间序列　

B．相对数时间序列　

C．年时间序列

D．绝对数时间序列　

E．平均数时间序列

3．一个完整的时间序列中包括(　)。

A．最初水平　

B．最末水平　

C．中间水平　

D．增长速度　

E．平均增长量

4．时间序列的水平分析指标有(　)。

A．平均发展速度　

B．发展水平　

C．平均增长速度

D．增长量　

E．平均增长量

5．依据指标值的特点，绝对数时间序列分为(　)。

A．时期数列　

B．时点数列　

C．相对数时间序列

D．平均数时间序列　

E．整数时间序列

6．下列指标构成的时间序列属于时点数列的是(　)。

A．高校历年的毕业生人数　

B．某企业年初职工人数

C．某商店各月末商品库存额　

D．某银行各月初存款余额E．某地历年的死亡人口数

7．计算平均发展速度的方法有(　)。

A．几何平均法　

B．简单序时平均法　

C．方程法

D．加权序时平均法　

E．首末折半法

8．定基发展速度和环比发展速度的关系是(　)。

A．两者都属于速度指标

B．环比发展速度的连乘积等于定基发展速度

C．定基发展速度的连乘积等于环比发展速度

D．相邻两个定基发展速度之商等于相应的环比发展速度

E．相邻两个环比发展速度之商等于相应的定基发展速度

9．影响时间序列发展水平变化的因素主要有(　)。

A．长期趋势　

B．季节变动　

C．循环变动　

D．不规则变动　

E．同度量因素

10．直线趋势方程珋y= a+ bt中的参数b表示(　)。

A．趋势值　

B．趋势线的截距　

C．趋势线的斜率

D．当t= 0时的数值

E．当t每变动一个单位时

平均增减的数值

四、简答题

1．简述时间序列的概念和种类。

2．时期数列和时点数列有什么区别?

3．什么叫序时平均数?它与一般平均数有什么相同点和不同点?

4．测定长期趋势的方法有哪些?

5．什么是季节变动?为什么要研究季节变动?

五、计算题

1．某企业2007—2013年的利润资料如下，试计算该企业的年平均利润。

2．某企业2013年1月份的商品库存量的资料如下，试计算该企业的平均每日的商品库存量。

3．某企业2013年各季度的计划产值和产值的计划完成百分比资料如下，试计算该企业平均计划完成百分比。

4．某企业2007—2013年的产量资料如下，根据资料计算各种时间序列分析指标，填入表中相应空格中，并计算企业产量的平均发展速度和平均增长速度。

(续表)

5．某企业职工年平均工资(单位:元)资料如下，试拟合直线的趋势方程并预测2014年的职工年平均工资。

6．某企业2010—2013年商品零售总额(单位:万元)资料如下，试用简单平均法计算该企业商品零售总额的季节指数。