可观测性分析的方法与应用

定义3-1：如果系统对任意初始状态X（0），存在某个有限的时刻t1＞0，根据时间区间［0，t1］内的已知输入信息u和输出信息Y可以唯一地确定初始状态X（0），则系统状态是完全可观测的。否则，系统状态不可观测。

对于定常系统而言，可观测性分析比较简单。考虑定常系统：

式（3-7）中A∈Rn×n，x（t）∈Rn×1，B∈Rn×q，u（t）∈Rq×1，H∈Rm×n，且A、B、H都是常数矩阵。可观测性矩阵如下：

若可观测性矩阵的秩rank（Q）＝n，则系统完全可观测；若rank（Q）＜n，则系统不完全可观测。

对于时变系统就不能简单利用式（3-8）分析系统可观测性了。1992年，以色列学者Goshen-Meskin提出一种分段线性定常系统的PWCS理论，将时变系统分成很多段，在很短的时间内，每段可以看成定常系统来处理，利用提取的可观测性矩阵（stipped observability matrix，SOM）代替总的可观测性矩阵（total observability matrix，TOM）分析，在一定精度下能满足要求。

由于系统可观测性与激励无关，仅考虑齐次连续系统的可观测性。假定如下模型：

式中，i为时间段；Ai、Hi为常数矩阵。可观测性矩阵为

如果Null（Qi）⊂Null（Ai），1≤i≤r，则rank（Q（r））＝rank（Qs（r））。

其中

式中，Q（r）为动态系统总的可观测矩阵；Qs（r）为系统提取的可观测矩阵；Δi为第i段的时间间隔。

如果rank（Qs（r））＝n，则系统完全可观测；如果rank（Qs（r））＜n，则系统不完全可观测。以上就是PWCS的核心思想。

对于离散系统：(www.xing528.com)

其中，Qi＝［H（i）T（H（i）F（i））T…（H（i）Fn-1（i））T］T为动态系统离散化后第i时间段的可观测性矩阵，mn×n阶。

PWCS可观测性分析方法有如下性质。

（1）在某一时间段的可观测性取决于以前所有时间段及当前时间段的可观测性。

（2）时间段的排列次序并不影响系统最终的可观测性。

（3）重复前面某一时间段的系统观测，不影响系统的可观测性，不能提高系统的可观测性。

但是这种分段线性化的可观测性方法存在如下缺陷。

（1）可观测性分析涉及的符号矩阵求秩运算在高维情况下非常烦琐，要解析得到一般线性时变系统的可观测性条件通常比较困难，有时只能求助于数值仿真。

（2）线性化后的可观测性分析结果只刻画了非线性系统的局部特征，即可观测性结论是属于对应线性化系统的，而不是非线性系统的，因此可观测性结论一般不能准确刻画原来的非线性系统。

（3）PWCS可观测性分析要求状态转移矩阵和观测矩阵是已知的，但是它们往往是速度、姿态角、角速度的函数，需要进行卡尔曼滤波之后才能得到，从而导致计算量巨大。

（4）PWCS方法无法定量地给出某个状态在不同时段的可观测程度。