《数术记遗》的意义与作者尚未确定

《数术记遗》本不在《算经十书》之列。传本《数术记遗》[259]卷首书题：“汉徐岳撰，北周汉中郡守、前司隶、臣甄鸾注。”但《隋书·经籍志》记载徐岳的著作中却没有《数术记遗》一书。《旧唐书·经籍志》始录：“《数术记遗》一卷，徐岳撰、甄鸾注。”《新唐书·艺文志》则记为：“《数术记遗》一卷，甄鸾注。”是书还见于北宋《崇文总目》，但在南宋前期失传。南宋宁宗嘉定五年（1212），鲍瀚之翻刻《算经十书》时，在杭州七宝山宁寿观中发现此书。之后刊刻“十部算经”时，用其替代已失传的《辍术》，遂流传至今。图3-13为1890年刻《算经十书》中的《数述记遗》。

图3-13　1890年刻《算经十书》中的《数述记遗》内封面、序、卷端

一、《数术记遗》作者辨析

徐岳，字公河，魏东莱郡（今山东掖县）人，生于汉末。清阮元《畴人传》记载，汉灵帝（168-188）时，徐岳精通术数，曾受历学于会稽东都尉刘洪。《晋书·律历志》称，魏黄初中（约222），徐岳曾与太史丞韩祤论难日月食五事。又授刘洪“乾象法”于吴中书令阚泽。清代中期，《四库全书总目提要》首先否定《数术记遗》为徐岳所作。主要理由是：《隋书·经籍志》具列记载徐岳及甄鸾所撰《九章算经》《七曜历算》等书，而独无此书名，至《新唐书·艺文志》始著于录。因此认定是好事者因托为之，而嫁于徐岳。支持这一见解的主要有清代学者周中孚。其人号郑堂，著《郑堂读书记》，被誉为《四库全书总目提要》的续书。该书认为，《数术记遗》一书中，“未识之刹那之赊促，安知麻姑之桑田；不辨微积之为量，讵晓百亿于大千”。麻姑的故事出于晋代葛洪的《神仙传》，这不可能为汉末魏初人徐岳所知[260]。钱宝琮也持此观点，并进一步指出：“书中叙述各种计数法时，术非常简略，如果没有甄鸾的注释，实在不能了解作者的原意。因此，我们认为，《数术记遗》是甄鸾的依托伪造而自己注解的书。”[261]怀疑《数术记遗》并非出自徐岳之手，可能是后人伪托。由于“珠算”一词先出现在《数术记遗》中，此说等于将“珠算”的起源后退了几个世纪，事关重大。

20世纪80年代以来，一些学者重新审视、考证此书作者的真伪，提出《数术记遗》并非伪托之作，而肯定是徐岳的作品。如周全忠经过文献考证，否定《四库全书总目提要》中的伪托说[262]；冯立昇则全面论证了《数术记遗》是徐岳的著作[263]。如果这种观点正确，那么，我们就可以得出结论：中国珠算的起源至迟在汉末。

不过迄今为止，《数术记遗》的作者尚未有最后定论。但大家都认为，原文过于简略，深奥难懂，如果没有甄鸾的注释很难理解原文，何况甄鸾的注释占了书中绝大篇幅，从这一点上说，《数术记遗》对中国古代数学发展的贡献当在北朝。

二、《数术记遗》内容概述

《数术记遗》正文简略，但内容较为丰富，包括了大数进位法、14种计算方法及甄鸾的注释。

（一）大数记法

我国先秦时期，就有大数出现，如《诗·魏风·伐檀》中：“不稼不穑，胡取禾三百亿兮？”但后来的注释者有不同的解释。毛传：“万万曰亿。”郑玄：“十万曰亿，三百亿，千乘之数。”毛传的解释，说明公元前200年前，我国已用10的幂次来解释大数。以后就出现了大数的完整表示规则。如《太平御览》卷七百五十载有《风俗通义》中表示大数的下数进位规则。《孙子算经》卷上载有完整的中数进位规则等。《数术记遗》则是把上数、中数、下数三种进位规则收录在一起，这在文献资料中尚属首次。大数的陈述是走向抽象数字的起码步骤，具有重要科学史意义。关于大数的名称及进位规则，《数术记遗》曰：

黄帝为法，数有十等，及其用也，乃有三焉。十等者亿、兆、京、陔、秭、壤、沟、涧、正、载；三等者，渭上、中、下也。其下数者十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也；中数者万万变之，若言万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京也；上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也。从亿至载终于大衍。

将上述分为“十等”的大数，依上数、中数、下数计数规则，按10的幂次列表，见表3-3。

表3-3　大数记法表

表3-3中的三种记数法以万为起点，遵循不同的进位规律：下数记法为十进制（104+n），中数记法为万万进制（108n），上数则按自乘进位（102n+2）。对三种进位方法的适用性，《数术记遗》认为：“下数浅短，记事则不尽。上数宏廓，世不可用。故传其业，惟以中数耳”。实践也是如此，中国古代数学典籍无一例外地采用“中数”记法。

（二）14种计算方法

《数术记遗》记载，徐岳的老师刘洪向一位神秘的人物天目先生请教为算之法。书中假天目先生之口，给出了14种算法及其八字揭语，见表3-4。

表3-4《数术记遗》中的算法及其揭语表

这14种算法中，第一种“积算”，即筹算。最后一种“计算”，即心算。其余12种算法，都要配合特定的算具才能进行。其中，太一算、两仪算、三才算和珠算，要用到带珠的算具，涉及珠算的起源，最为人们关注。不少中外学者对这14种算法已作了卓有成效的研究，这里综合叙述其中几例。

例1：九宫算。揭语为

九宫算：五行参数，犹如循环。

甄鸾注曰：(www.xing528.com)

九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。五行参数者，设位之法依五行，已注于上是也。

九宫，原是东汉以前研究《周易》的纬家理论，他们将乾、坎、艮、震、巽、离、坤、兑八卦之宫，外加中央之宫合称九宫。后来，纬家又将某些特定数字引入九宫，使之具有幻方的性质，并和传说中的“洛书”联系起来。甄鸾注文给出的九宫的数字配置：

上行两边为2和4，下行两边为6和8，中间一行左边为3，右边为7，中间一列上边为9，下边为1，正中为5。把九宫的每行、每列和对角线上的三个数分别相加，均得15，如图3-14所示。20世纪60年代以来兴起的组合数学，是伴随着计算机科学而迅速发展的现代数学分支。幻方是组合理论的重要内容，它是满足于某些特定的约束条件的一种配置。幻方有不同种类，广义幻方是其中之一，它是由一个非负整数组成的n×n阶矩阵。其所有行之和与列之和都等于一个事先约定的数x。注文所描述的九宫，就是一个x=15的3×3的幻方，即三阶幻方。对此，英国著名学者李约瑟说：“幻方在中国出现的年代至少可以说，比希腊要早两个世纪。”[264]

图3-14　九宫图

把九宫图刻在算板上，“依部位定数，用算珠放在那一格，就表那一数”[265]。九宫算和其他算法有所不同，甄鸾指出：“此等诸法（其他算法），随须更位，惟有九宫，守一不移。位行色，并应无穷。”即其他算法，数位确定数字变动，而九宫算的各数字不动，“守一不移”，数位则由五行而定，各有变化。那么数位怎样由“五行之色”确定呢？甄鸾注曰：

一位第一用玄珠，十位第二用赤珠，万位第五用黄珠。十万位用赤线系黄珠，百万位用青线系黄珠，千万位用白线系黄珠。万万曰亿，以黄线系黄珠。自余诸位唯兼之，故曰并应无穷也。

即用玄珠表示个位，用赤珠表示十位，用赤线系黄珠表示十万位等等，详见表3-5。

表3-5　用色珠及字母表示数位表

把表3-5内的“数位”珠，放置于“九宫”格内即表示一个数。例如，4357表为图3-15。若数字有重复，每格可放两珠、三珠，例如，4337表为图3-16。若某位数字为零，则不置珠例如，2307表为图3-17。数位在亿以上，可用系两种颜色线的珠表示，如EEC表示百亿，EED表示千亿。注中结尾曰：“自余诸位唯兼之。”兼之，指系两种颜色线。这样表示下去，“犹如循环”，“并应无穷”也[266]。

图3-15　表示4357

图3-16　表示4337

图3-17　表示2307

例2：珠算。揭语为：

珠算：控带四时经纬三才。

甄鸾注曰：

刻板为三分，其上下二分以停游珠，中间一分以定位。位各五珠，上一珠与下四珠色别。其上别色之珠当五，其下四珠，珠各当一。至下四珠所领，故云控带四时；其珠游于三方之中，故云经纬三才也。

注文的大体意思是：把木板刻为三部分，上下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的。每位各有五颗珠，上面一颗珠与下面四颗珠用颜色来区别。上面一珠当五，下面四颗，每珠当一。

现代的珠算，是指用算盘进行加、减、乘、除及开方等的运算方法。可见，《数术记遗》中的“珠算”与当今的珠算在概念上是不同的。《数术记遗》中的珠算是指一种算器，它是什么样子？与当今的算盘有何关系？国内外不少学者作过较深入的研究，但“珠算”的揭语玄机难参，研究者对甄鸾的注文也有不同的理解，故提出了不同的复原图。其中，许莼舫的复原图可能符合原意[267]，见图3-18。也有的研究者建议，《数术记遗》中的“珠算”，可称为“珠算板”[268]。

图3-18　许莼舫复原的“珠算”图

最后需要指出的是，算盘是中国古代算筹之后主要的计算工具，现代的算盘每一档（位）有七珠，上珠一个当五，下珠一个当一。实际上梁上、梁下各减一珠，同样可以计算，这样就和本文中所描写的相仿。这样，“珠算”很可能是后世算盘的起源之一，正如李约瑟所说：“不管怎样”，《数术记遗》是提到“珠算”的最早著作[269]。