《张丘建算经》（图3-5），《算经十书》之一，其后为孔子讳，改作《张邱建算经》。
图3-5 1890年刻《张邱建算经》内封、序
一、《张丘建算经》的成书年代及作者、注释者
关于《张丘建算经》的成书年代，数学史界多以钱宝琮的观点为是，即其撰写年代在466年至484年之间，依据是《魏书·食货志》的有关记载及《张丘建算经》卷中第13题的内容。《魏书·食货志》记载，北魏献文帝即位（466）后，“因民贫富为租输三等九品之制”，即颁行九品混通制的户调法[233]：
先是天下以九品混通，户调帛二匹，絮二斤，粟二十石，又入帛一匹二丈，委之州库以供调外之费。至是（太和八），户增帛三匹，粟二石九斗，以为官司之禄。
太和九年（485），孝文帝“下诏均给天下民田”，即实行均田制。其后，废弃九品混通制的户调法。《张丘建算经》卷中第13题反映了北魏太和八年实施的九品混通制户调法的情况。该题曰：
今有率户出绢三匹，依贫富欲以九等出之，令户各差二丈。今有上上三十九户，上中二十四户……下下一十三户。问九等户，各应出绢几何？
据此，钱宝琮先生得出结论：“我们断定《张丘建算经》的编写年代是在公元466年到485年之间。阮元《畴人传》列张丘建于晋代是缺少依据的。”[234]
也有学者对钱宝琮先生的观点提出了异议。因为史料表明，“九品混通”的户调制并非始于北魏献文帝，而是沿袭晋代“九品相通”之制而来，在北魏初期就已实行。《魏书·世祖纪》记载[235]，太延元年（435）十二月诏：“若有发调，县宰集乡邑三老计定货，衰多益寡，九品混通，不得从富督贫，避强侵弱。”由此，《张丘建算经》的“九等户出绢”一题只能表明该书撰成于466年之前。通过对书中具有时代特征的算题内容考证，冯立昇认为，《张丘建算经》成书于431年至450年之间，即该书是北魏早期的作品。[236]不过，无论哪种观点均认可《张丘建算经》是北魏时期的著作。
张丘建是著名数学家，但正史无传，生平事迹皆不可考。关于张丘建的籍贯，史籍中可以查到两条线索：其一，自序最后题款“清河张丘建”；其二，北宋大观三年（1109）祀封他为“信成男”[237]。北魏时，有两个清河郡：一为司州清河，汉高祖时就已置郡，郡址在今山东省临清县东北，其地与今日河北省境内的清河县隔运河相望；另一个为齐州清河，亦称东清河，郡址在今山东省淄博市西南。北宋末年的算学祀典，有案可稽的人物都按其郡望受封。例如张衡被封为“西鄂（今河南南召）伯”，祖冲之被封为“范阳子”。而信成正是汉代时清河郡的属县，地点与上述司州清河相近。因此可以确定张丘建是山东人士[238]。
传本《张丘建算经》各卷第一页上均题有以下三行：
汉中郡守、前司隶臣曾鸾注经
唐算学博士刘孝孙细草
以此推知，《张丘建算经》的主要注释人是甄鸾、刘孝孙和李淳风。甄鸾的生平和事迹在本章第一节中已作过介绍，但传本《张丘建算经》中，没有留下甄鸾的注释。
刘孝孙（？—594），广平（今河北省永年县）人，著名历算家。其事迹见《隋书·律历志》和《隋书·天文志》。早年，刘孝孙追随并接受了张子信的学说。对此，《隋书·律历志》曰[239]：“又有广平入刘孝孙、张孟宾二人，同知历事，孟宾受业于张子信，并弃旧事，更制新法”。刘孝孙初仕北齐，576年编撰《武平历》，未被采用。577年北齐灭亡，刘孝孙入北周。581年隋灭北周，刘孝孙仕隋，但长期受到压抑，“留直太史，累年不调，寓居观台”。590年前后，刘孝孙参与了当时的历法改革之争，情绪激昂，曾抱书扶棺上朝，面陈隋文帝杨坚。虽然隋文帝没有听从他对历法改革的意见，但刘孝孙却从此受到隋文帝的重视。刘孝孙精于历算，仕隋后，曾任算学博士，写出了《张丘建算经细草》。唐代，另有刘孝孙（？—632），荆州（今湖北江陵）人。此人是一文人，非算学博士。故传本所题“唐算学博士”应是“隋算学博士”的误文。
刘孝孙的细草表现出一些南北朝时期通行的算法。如《九章算术》开立方术，文简意赅。刘徽虽详加注释，但仍“言不尽意”。《孙子算经》不载开立术方术。《张丘建算经》开立方术的刘孝孙细草，是魏晋之后的开立方算法，比《九章算术》开立方术有了重要的改进，显得更加清晰明确。从而为考察古代算法的历史演变，留下一份珍贵的史料。
李淳风（602-670），唐代岐州雍（今陕西凤翔）人，《旧唐书·李淳风传》称其“幼俊爽，尤明天文、历算、阴阳之学”[240]，是中国历史上重要的天文学家、历算家、阴阳家、仪器制造家。李淳风在数学方面的主要贡献，是和梁述、王真儒等受诏编定和注释“十部算经”，以作为国子监算学馆的教材。对此，《旧唐书·李淳风传》曰[241]：
先是，太史监侯王思辩表称《五曹》《孙子》十部算经，理多踳驳。淳风复与国子监算学博士梁述、太学助教王真儒等受诏注《五曹》《孙子》十部算经。书成，高宗令国学行用。
作为“十部算经”之一，凡《张丘建算经》解题术文有过于简略之处，李淳风等依据《九章算术》为之补立术文。传本《张丘建算经》中共有九处注释标有“臣淳风谨按”字样。
二、《张丘建算经》对《九章算术》的继承和发展
传本《张丘建算经》[242]由序言、上中下三卷组成，卷中之尾，卷下之首残缺。全书采用《九章算术》编排体例，现存92问。《张丘建算经》继承了《九章算术》的遗产，并且提供了很多推陈出新的创见。对此，钱宝琮在《张丘建算经提要》一文中归纳为五方面：最大公约数与最小公倍数的应用、等差级数问题、盈不足问题的算术方法、开带从平方法（求二次方程的正根）及“百鸡问题”。
纪志刚认为[243]，除以上五方面外，《张丘建算经》在分数约分的改进、开立方算法的程序化、勾股测量方法的设计等方面也重要意义。纪志刚经过对比研究后指出，《张丘建算经》广泛吸收了《九章算术》的数学成果。书中许多问题或是直接来源于《九章算术》或是在《九章算术》的问题上加以新的变化，见表3-2。
表3-2《张丘建算经》与《九章算术》相应问题对照表
当然，《张丘建算经》并未因循《九章算术》陈法，而是在解题方法上，更加注重算法设计的简洁与合理性。如取自《九章算术》“盈不足”章的第6题，仅卷下“雀燕称重”一问，以盈不足算法的固定模式求解，其余5问则代之以更为直接的算术分析方法。同时，指明“以盈不足为之，亦得”。“这种重视算术问题的具体分析，因而提高了解题的技术，这在数学发展过程中是进步的。”[244]
另外，《张丘建算经》也从《孙子算经》与《夏侯阳算经》中汲取了一些有趣的素材。如其《序言》所云：“夏侯阳之‘方仓’，孙子之‘荡杯’，此等之术皆未得其妙，故更造新术，推尽其理，附之于此。”今之传本《夏侯阳算经》已非原本，故其“方仓”之术不可详考。查《张丘建算经》卷下第37题，即是《孙子算经》卷下第16题——“荡杯”问题：
今有妇人于河上荡杯，津吏问曰：“杯何以多？”妇人答曰：“家有客。”津吏曰：“客几何？”妇人曰：“二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？”
答曰：“六十人。”
《孙子算经》术文曰：
术曰：“置六十五杯，以十二乘之得七百八十，以十三除之即得。”
《张丘建算经》术文曰：
术曰：“列置共杯人数于右方，又置共杯数于左方，以人数互乘杯数，并以为法。令人数相乘，以乘杯数为实。实如法得一。”
“荡杯”是我国古代数学中较早的通分题目之一。用现代数学来解此题：
设共有A个客人，则得
解题的关键在于求出1/2+1/3+1/4=13/12，这里涉及三个分数的通分问题。《孙子算经》术文没有指出，杯数65乘以12再被13除的原因，即没有给出通分的一般方法，“此等之术皆未得其妙”。《张丘建算经·序》曰：“夫学算者不患乘除之为难，而患通分之为难。”《张丘建算经》在“荡杯”问题中，主要指导用算筹进行分数通分运算，“更造新术，推尽其理”。显然《张丘建算经》术文更清楚地说明了算法的道理。
三、《张丘建算经》对中国古代数学的贡献
钱宝琮、纪志刚全面概括了《张丘建算经》对《九章算术》等前人成果的继承和发展，其中几项成就在中国古代数学发展中有较大的影响，这里再作一较详细的叙述。
（一）求分数的最小公倍数
在古代数学文献中，《九章算术》“方田”章中最早给出约分的方法：
可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。
术文把最大公约数称为“等数”，并给出“更相减损，求其等也”的计算方法。
对于最小公倍数，仅《九章算术》“少广”章求单位分数之和中附带出现，《孙子算经》卷下“三女归宁”问表露出求三数最小公倍数的端倪。而《张丘建算经》卷上第10、11两题，则把最小公倍数概念延展到分数领域。《张丘建算经》卷上第10题曰：
今有封山周栈三百二十五里，甲、乙、丙三人同绕周栈行。甲日行一百五十里，乙日行一百二十里，丙日行九十里。问周行几何日会？
答曰：十日、六分之五日。
术曰：置甲、乙、丙行里数，求等数为法。以周栈里数为实。实如法而得一。
用现代数学概念来分析：甲、乙、丙绕道一周所需时间分别是：325/150，325/120，325/90。故三人相会所需时间就是这三个分数的最小公倍数。按照术文，这个最小公倍数的分母（法）是甲、乙、丙速度的最大公约数（等数），分子（实）是栈道长。
以符号{}表示求最小公倍数，以（）表示求最大公约数（等数），则
一般地，若a,b，c,d，e,f都是正整数，则
此即《张丘建算经》给出的最大公约数与最小公倍数之间的关系式，亦称作“张丘建法则”[245]。由本题可见，《张丘建算经》在最大公约数与最小公倍数方面超过了《九章算术》的水平，同时也显示出中国古代数学中最小公倍数的概念不仅限于整数，其求法也与整数的求法有所区别。
（二）等差数列问题(www.xing528.com)
等差级数列的记载最早见于《周髀算经》，但问题和算法均很简单，仅限于公差逐项累加。《九章算术》中共有八道题涉及等差数列，但无统一的解法。均输章第19题给出了推算公差的公式，其余问题或以“今有术”求解，或以“盈不足”推算。直到刘徽注《九章算术》，方进一步阐明等差数列的概念与算法，但不够全面。在《张丘建算经》中，虽然只有七道题涉及等差数列的问题，但其解法较《九章》完善、系统。如《张丘建算经》卷上23题曰：
今有女子不善织，日减功迟。初日织五尺，未日织一尺。今三十日织讫，问织几何？答曰：二匹一丈。
术曰：并初、未日织尺数半之余，以乘织讫日数，即得。
这是一个递减等差级数问题。记a1为首项，d为公差，n为项数，an为第n项，Sn为前n项之和，依照术文的意思列出公式
将数字代入上式得
卷上22题讨论了一个递增等差级数问题：
今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？
题中要求的是级数的公差，术文中给出的公式（原文用文字给出）是：
这类纺织问题，张丘建应用了如下术语：级数的首项a1称为“初日织数”；末项an称为“末日织数”；项数n称为“织讫日数”；和Sn称为“织数”；公差d称为“日益”或“日减”等，这些公式是中国最早的算术级数公式。
此外，《张丘建算经》卷上18题、32题，卷中1题，卷下24题、36题、都属于等差数列问题，其术文给出了多种不同算法公式，可分别求解Sn，d,a1，an及n。这些问题和解法说明，至迟在5世纪，中国数学已经具备了系统的等差级数理论，为后来高阶等差级数研究的发展奠定了基础[246]。
（三）开立方算法的改进
开立方术最早见于《九章算术》“少广”章第19至22问，例如第19问，术文如下：
今有积一百八十六万八百六十七尺。问为立方几何？
开立方术曰：置积为实。借一算，步之，超二等。议所得，以再乘所借一算为法，而除之。除已，三之为定法。复除，折而下。以三乘所得数，置中行。复借一算，置下行。步之，中超一，下超二等。复置议，以一乘中，再乘下，皆副以加定法。以定法除。除已，倍下，并中，从定法。复除，折下如前。开之不尽者，亦为不可开。
《九章算术》开立方术，文简意赅。刘徽虽详加注释，仍感其“言不尽意，解此要当以棋，乃得明耳。”《孙子算经》不载开立方术。而《张丘建算经》开立方术的刘孝孙细草，是魏晋之后的开立方算法，比《九章算术》开立方术有了重要的改进。现以该书中卷下第30问为例，说明魏晋之后的开立方算法：
今有立方九十六尺，欲立为圆，为径几何？
答曰：一百一十六尺、四万三百六十九分尺之一万一千九百六十八。
术曰：立方再自乘，又以十六乘之，九而一。所得，开立方除之，得丸径。
由《九章算经》所给的公式，本题应计算
为了便于比较，下面摘录开立方术的刘孝孙《细草》。
草曰：……借一算子于下，常超二位，步至百而止。商置一百置一百万于下法之上，名曰方法，以方法命上商一百，除实一百万。方法三因之，得三百万。
又置一百万于方法之下，名曰廉法，三因之。方法一退，廉法再退，下法三退。
又置一十于上商一百之下，又置一千于下法之上，名曰隅法。以方、廉、隅三法皆命上商一十，除实毕，又倍廉法，三因隅法，皆从方法。
又置一[万]（百）一[千]（十）于方法之下，三因之，名曰廉法。方法一退，廉法再退，[下]（隅）法三退。
又置六于上商之下。又置六于下法之上，名曰隅法。乃自乘得三十六。又以六乘廉法，得一千九百八十。以方、廉、隅三法，皆命上商六除之。除实毕，倍廉法，皆从方法，得一百一十六尺、四万三百六十九分尺之一万一千九百六十八。
从上述刘孝孙细草中，可以看到南北朝之后的开立方算法比《九章算术》有了重要的改进，主要体现在以下两点：
1.定位明确
《九章算术》开立方之法是以借算定位，采用“超二等”之类用语，过于简略，可以有不同的解释，容易产生歧义。例如：白尚恕认为“超”应作退位解[247]；李继闵认为是“下行借算左移两位”[248]。而刘孝孙细草中明确说明，“借算”定商“常超二位”，除实后，“方法一退，廉法再退，下法三退”。定位明确，算法程序规范。
2.简化算法
命商除实后，确定“方、廉、隅”各项系数的算法有了进一步的简化。
在中国数学发展史上，《九章算术》的开方术是开立方方法的历史源头，11世纪贾宪的“增乘开方法”，是中国代数学的伟大成就，而刘孝孙对开立方算法的改进则是二者之间的一个重要过渡。
（四）“百鸡问题”与不定方程组
《张丘建算经》卷下第38题曰：
今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一。凡百钱，买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何？
答曰：鸡翁四，直钱三十；鸡母十八，直钱五十四；鸡雏七十八，直钱二十六。
又答：鸡翁八，直钱四十；鸡母十一，直钱三十三；鸡雏八十一，直钱二十七。
又答：鸡翁十二，直钱六十；鸡母四，直钱十二；鸡雏八十四，直钱二十八。
术曰：鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三，即得。
这便是世界上有名的“百鸡问题”，一问多答，是过去任何书中都没有的，百鸡题首开先例。不少论著对此进行过讨论，而且用现代数学方法求解这一问题：
设公鸡为x只，母鸡y只，小鸡z只，则有
解得
这是一个不定方程组，为了得到正整数解，令x=4t，则
y=25-4t,z=75+3t，
当t=1，2，3时，即得到题中所说的3组解：
不少研究者认为，《张丘建算经》中的“百鸡问题”是世界上首次提出的三元一次不定方程组及其一种解法，这种说法值得商榷。当然，《张丘建算经》给出的3组答案是正确的。但其术文只有“鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三”15个字，缺少甄鸾、李淳风的注释，亦无刘孝孙的细草，很难使后人体会问题的正规解法。
不定方程问题最早见于《九章算术》“方程”章的“五家共井”题，但术文简略且隐含限制条件，没有一般解法。北周甄鸾《数术记遗》“计数”也收录了百鸡问题，但其数据与《张丘建算经》有所不同。该题应有两组答案，但也仅给出一组，并说明这类问题“不同算筹，宜以心计”，即采取试算的办法来解决。南宋杨辉《续古摘奇算法》（1275）卷下“三率分身”条下引述了《辩古根源》（已失传）的“百鸡问题”，该题应有四组答案，书中仅列出一种，也是不完全的。
宋元丰七年（1084），秘书省刻印《算经十书》时，为解答“百鸡问题”，“将算学教授并谢察微拟立术草创新添入”。谢察微，史书无传，约为五代末至北宋初人，著有《谢察微算经》三卷[249]。谢察微的术草虽然向前迈进了一步，但仍与正确解法失之交臂。直到19世纪，清代数学家才把这种类型的问题与求一术（一次同余组解法）联系起来，获得了比较完善的解法。
公元3世纪古希腊数学家丢番图，虽在时间上晚于《九章算术》，但他对不定方程问题进行了深入研究，取得了非常出色的成果。15世纪中亚数学家的“百禽问题”，与《张丘建算经》的“百鸡问题”非常类似，有可能受到中国数学的影响。
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