《孙子算经》：中国古代重要的数学典籍

《孙子算经》列为“算经十书”之一，流传广泛，成为中国古代重要的数学典籍（图3-1）。

图3-1　1890年刻《孙子算经》内封与《孙子算经》卷端

一、《孙子算经》的成书年代

《隋书·经籍志》著录：“《孙子算经》二卷”，但不记作者姓名及写作年代。对此，自清代起就有种种不同的说法[218]。

（一）先秦成书说。清代，一些学者或因书名冠以“孙子”，就认为《孙子算经》产生于春秋时代，为军事家孙武所作。如朱彝尊在《曝书亭集》卷五十五《孙子算经》跋中云[219]：

《孙子算经》三卷，汉志不著于录，而隋唐《经籍志》有之。首言度量所起，合乎兵法。地生度、度生量，量生数之文。次言乘除之法，设为之数，十三篇中所云廓地、分利、委积、运输、贵买、兵役、分数比之九章：方田、粟米、差分、商功、均输、盈不足之目，往往相符，而要在得算多，多算胜，以是此编非伪托也。

然而，深入考察书中有关历史资料，皆与孙武所处时代相去甚远。

（二）汉、魏成书说。清戴震（1724-1777）据《孙子算经》卷下第33题“今有长安、洛阳相去九百里”；卷下第4题“今有佛书二十九章，章六十三字”，断定《孙子算经》成书于汉明帝（58-75）以后[220]。因为长安是汉初才有的地名，而佛书开始传入中国是汉明帝以后的事。

《孙子算经》卷下第5题：“今有棋局，方十九道。问用棋几何？答曰：三百六十一。”据此，阮元在《畴人传》中说：“韦曜《博奕论》枯棋三百注引邯郸淳《艺经》，谓棋局十七道，而孙子乃云棋局十九道，则其人当更在汉以后。”当代学者梁宗巨（1924-1995）认为，此说比较可信。且进一步指出，《夏侯阳算经·序》里说：“《五曹》《孙子》述作滋多，甄鸾、刘徽为之详释。”刘徽是3世纪人，所以《孙子》成书不会迟于3世纪，大概可以确定在公元67年至270年之间[221]。

（三）西晋成书说。钱宝琮（1892-1974）、严敦杰（1917-1988）等学者主张《孙子算经》成书于西晋。1929年，钱宝琮在论文《孙子算经考》中指出：“书中其他含有时代性之问题，无可证明为先秦作品者，本书非孙武子原著显而易见。余以张丘建为北魏时人。《孙子算经》原本在张丘建之前，或为晋人所作。《孙子兵法》十三篇，或疑为后人伪作，迄今尚无定论。但相传十三篇有曹操（155-220）注，在三国时当甚风行。晋代畴人撰算书，伪托孙子之名以传世，容或有之。其序言文辞骈丽，颇似六朝人手笔。”[222]1961年，钱宝琮在校点《算经十书·孙子算经提要》中，则改定《孙子算经》成书于公元400年前后，但未给出具体的理由。

严敦杰《孙子算经研究》一文，在阮元、钱宝琮论证的基础上，对算经内具有成书年代意义的内容作了详细地分析，从而论证了《孙子算经》成书于西晋。其立论的依据有三点。

其一，由棋局演变推断。他指出“邯郸淳事具见《三国志·王粲（177-217）传》注，淳尝官魏给事中”，以断《孙子》成书时代更后于魏；又据钱大昕（1728-1804）“尝见宋李逸民《忘忧清乐集》（棋谱也），首载孙策赐吕范，晋武帝赐王武子两局皆十九道。疑后人假托”，推测魏晋棋局有17、19道交互为用之时。

其二，由西晋户调法推断。晋武帝平吴（280）之后，所制户调之法中有“丁男之户，岁输绢三匹，绵三斤”，《孙子》卷下9问中“户输绵二斤八两”，与之相近，而东晋户调绵仅八两，北朝户调制无户输绵一条。

其三，由文献记载推断。李淳风注《九章·商功》28问：“晋武库中，有汉时王莽所作铜斛，其篆书字题云‘律嘉量斛’，方一尺而圜其外，庣旁九厘五毫，幂一百六十二寸，容十斗，及斛底云：律嘉量斗，合龠皆有文字，升居斛旁，合龠在斛隔耳上，后有赞文，与今《律历志》同，亦魏晋所常用”。《孙子》卷中10、11、12三问正以“斛法一尺六寸二分”入算。

此外，严敦杰还对算经中“佛书计字”“九家输租”等详作考证，以说明是书成于西晋。

（四）南北朝成书说：1982年，高振儒在《关于孙子算经编纂年代的考证》一文中提出，《孙子算经》成书于南北朝。高振儒的主要论据是围棋在晋以前只有17道，289路。到了南北朝才改为19道361路，从而断定成书上限为公元420年[223]。

综上所述，先秦成书说，确不成立；汉魏之说失之笼统，且刘徽是否注释过《孙子算经》史无凭证；西晋和南北朝之说均有其立论的依据。需要特别注意的是，尽管围棋在两晋时有从17道变为19道交叉使用的过渡时期，但书中言19而不取17，说明19道围棋已基本取代了17道，其时当为晋末。因此，在无进一步的证据之前，定《孙子算经》成书于晋末与南北朝之初是较为合理的。

《隋书》著录：“《孙子算经》二卷”；《一切经音义》著录：“《孙子算经》，甄鸾注”；《旧唐书》著录：“《孙子算经》三卷，甑氏撰注”；《新唐书》及《通志》均著录：“《孙子算经》三卷，甄鸾撰，李淳风注”。这些文献结合以上对《孙子算经》成书年代的分析，我们尚不能确定《孙子算经》的最初作者是谁。但可以肯定北周甄鸾对《孙子算经》作过整理和注释，使之成为李淳风《算经十书》之一，而广为流传。这也是北朝数学家对中国古代数学作出的贡献。

二、《孙子算经》内容概述

传本《孙子算经》[224]由序言和上、中、下三卷组成。序言富有哲理性，其开篇曰：

夫算者，天地之经纬，群生之元首，五常之本末，阴阳之父母，星辰之建号，三光之表里，五行之准平，四时之始终，万物之祖宗，六艺之纲纪。

这里，抽象出一个非常重要概念——“算”，是数、算筹、算术、算理等涉及数学问题的概括。“算者……万物之祖宗”，显然，这是中国古代的“算本体论”，而且延伸到日月星辰，扩展到社会的各个层面。这种观点，与古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras，约前572—前497）学派的“数本说”具有相似之处。关于毕达哥拉斯学派“数本说”的实质，亚里士多德在《形而上学》一书中作了明确的说明[225]：“他们认为，研究数的原则是一切事物的原则，因此，数按其本性来说是第一性的。在他们看来，在数中要比火、土、水中更能看到一切存在和变化之物共同的东西，更能看出那种数是‘正义的’，那种数是精神、心灵，那种数是‘合时的’等等。同时，他们在数的和谐中，看到逻辑规律（特性），因为他们认为，一切别的事物的本性都是由数造成的，因为数是一切本体中是第一位的。”另外，毕达哥拉斯学派认为，数是事物的本原，即本体，并不是说数像原子那样组成物体，而是从量的方面把握事物的本质，认识到事物的多样性，可以归结到量的统一性，因而“数”是事物量的统一性的抽象原则，事物本身就是数。“算本体论”如同毕达哥拉斯学派的“数本说”，是从量的方面把握事物的本质，认识事物的多样性。中国古代的元气论认为，万物乃至天体、宇宙是由元气组成的，即所谓“道生一（元气），一生二（阴气、阳气），二生三，三生万物”。而事物的多样性（万物）则由“算”来把握，不同的物体，其“算”是不同的，在“算”中要比元气更能看到一切存在和变化之物：天地、群生、五常、阴阳、星辰、三光、五行、四时、万物、六艺，而且，在“算”中把握变化之物的逻辑规律或特性。

序言中，接着论述了“算”的具体应用：“稽群伦之聚散，考二气之降升，推寒暑之迭运，步远近之殊同；观天道精微之兆基，察地理纵横之长短；采神祇之所在，极成败之符验；穷道德之理，究性命之情。”简言之，人们的各种实践活动，都离不开“算”。当然，“序言”并未把“算”拘泥在纯应用性之中，而是从更高的角度，去揭示其发展的必然规律：“夫算者……历亿载而不朽，施八极而无疆”。这就是说，“算”将随人类社会的进步而发展，随人类认识的提高而更加广泛地应用。对人们能否认识和掌握“算”，序言更有真知灼见：

心开者幼冲而即悟，意闭者皓首而难精。夫欲学之者必务量而揆己，志在所专，如是则焉有不成者哉。

随着人类社会的发展，数学在各种文化中的地位、作用和主导性日益重要，这种重要性远非《孙子算经》序言所能完全揭示，但先哲们的思想，却体现了千百年来人类执着的追求和共同理想。

对于上、中、下三卷的内容，这里仅作一简单介绍。卷上详述度量衡制度、大数之法、筹算记数、筹算乘除法则与“九九算表”；卷中28问，举例说明筹算分数算法、筹算开平方法，以及简单的面积、体积计算问题；卷下36问，是市易、营建、仓窖、兽禽、赋役、测望、军旅等应用的计算问题。卷中、卷下总计64问，涉及乘除运算、比率算法、面积算法、体积算法、开方算法、相似勾股形、衰分、盈不足术、“方程”术等计算方法，基本涵盖了《九章算术》所廓定的古算范畴。其中，有些问题直接取自《九章算术》，例如：《孙子算经》卷中的1、2、3、4问，5、6、7、8问，27问分别取自于《九章算术》中的方田1、7、10、15题，粟米1、2、3、4题，衰分4题。

三、《孙子算经》对中国古代数学的贡献

《孙子算经》虽属普及数学教育的启蒙读物，但有些内容却在中国古代数学发展史上具有重要地位。

（一）提出度量衡最小单位

《汉书·律历志》刘歆条奏云：“度者、分、寸、尺、丈、引也……量者，龠、合、升、斗、斛也……权者，铢、两、斤、钧、石也。”这些都是度量衡较大的单位。而《孙子算经》卷上不仅给出了度量衡单位系统的进位制，而且给出了度量衡最小单位的计量标准：

度之所起，起于忽。欲知其忽，蚕吐丝为忽。十忽为一丝，十丝为一毫，十毫为一厘，十厘为一分，十分为一寸，十寸为一尺，十尺为一丈，十丈为一引，五十引为一端，四十尺为一匹。六尺为一步，二百四十步为一亩，三百步为一里。

秤之所起，起于黍。十黍为一絫，十絫为一铢；二十四铢为一两；十六两为一斤；三十斤为一钧；四钧为一石。

量之所起，起于粟。六粟为一圭；十圭为一撮；十撮为一抄；十抄为一勺；十勺为一合；十合为一升；十升为一斗；十斗为一斛。

上述文献提出了度量衡的最小单位分别是忽、黍、粟，而且给出其进位制度。其中黍、圭、絫等在《孙子算经》之前就已有之，如东汉许慎《说文解字》曰“絫，十黍之重也”；《后汉书律·历志上》曰“度长短者不失毫厘，量多少者不失圭撮，权轻重者不失黍絫”。而长度计量的最小单位“忽”，则是在《孙子算经》中第一次提出。传本《孙子算经》记为“十忽为一丝”，而《隋书》论审度引《孙子算经》曰：“十忽为一秒。”可能是宋代把秒改为丝。在当时像“忽”这样的小量无实用意义，但它的提出，标志着数量概念走向抽象化，具有重要科学史意义。

（二）算筹的记数方法

算筹，又称算策，是中国古代珠算盘出现之前，一种主要的十进制计算工具。算筹起源于商代的占卜。古代筹、策、算三字都带竹头，表示多用竹制成。策为束字加竹头，表示手握一束竖立的算策，作为占卜之用；筹可能代表周易八卦横向排列时用的阴、阳爻。算筹横竖二式，可能来源于此。[226]《老子·道德径》曰：“善算者不用筹策。”说明至迟在战国时期，我国已普遍使用算筹了。

周朝的算筹一般用木枝制成，汉代多用竹制作，有时亦用骨、象牙、玉石、铁等材料制作。算筹长一般在12厘米左右，直径为2至6毫米。最初的算筹的截面是圆形的，后来变成三角形、四方形。《汉书·律历志》曰[227]：

数者，一、十、百、千、万也，所以算数事物，顺性命之理也……其算法用竹。直径一分，长六寸；二百七十一枚而成六觚，为一握。

《隋书·律历志》曰[228]：

其算法用竹。广二分，长三寸。正策三廉（三角形），积二百一十六枚成六觚，乾之策也。负策四廉（四方形），积一百四十四枚，成方，坤之策也。

由前可知，汉代1尺=23.10厘米，隋开皇官尺1尺=29.49厘米。据此，西汉的算筹一般是直径为0.23厘米、长约13.86厘米的圆柱形竹棍。把二百七十一枚算筹捆成六角形的捆，为一“握”。隋朝算筹有两种：正策和负策，或称乾策和坤策，以区别正负之数。正策长8.85厘米，截面为正三角形，其边长约为0.59厘米。负策长8.85厘米，截面为四方形，其边长为0.59厘米。这表明从汉到隋，算筹从圆而方，由长变短，以便运用。刘徽注《九章算术》曰：“正算赤，负算黑，否则以邪（斜）正为异。”又《梦溪笔谈》卷八称：“算法用赤筹、黑筹，以别正负之数。”可见，早在三国之前，中算家便已用算筹颜色的赤、黑或形状的邪、正（三棱体和四棱体）来区分正、负数了。

自先秦以来，有关算筹的文献很多，但记载算筹记数方法，以及明确使用十进位值制的文献则始于《孙子算经》。其文曰：

凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，百万相当。

《夏侯阳算经》对此补充了四句：

满六以上，五在上方，六不积算，五不单张。

明确了“以一当五”的规定：既不允许并排用6根筹记6，也不允许单独使用1根筹表示5。这样，纵、横两式筹码为：

（1）纵式（表示个位、百位、万位等）

（2）横式（表示十位、千位等）

例如，71824可表示为：遇到某位缺数，则不置算筹，形成空位，即以空位表示0。这样，交替地使用纵、横两式筹码，便可记出一切自然数。

（三）筹算的计算方法(www.xing528.com)

使用算筹进行计算，称为筹算。算筹一般布置在地面或桌子上面进行运算。清代数学家劳乃宣说：“盖古者席地而坐，布算于地，后世施于几案。”[229]日本古算书中有带方格子的算筹板图，见图3-2。

图3-2　带方格子的算筹板图

如何用算筹进行加减乘除运算，一般算经阙而不论。《孙子算经》卷上则对筹算乘法、除法有详细阐述，为考察古代筹算的计算方法提供了珍贵的文献资料。《孙子算经》关于筹算乘法的记载如下：

凡乘之法，重置其位。上下相观，上位有十步至十，有百步至百，有千步至千。以上命下，所得之数列中位。言十即过，不满自如。上位乘讫者，先去之。下位乘讫者，则俱退之。六不积，五不只。上下相乘，至尽而已。

据这一文献，筹算乘法可分以下几步：

第一步步算定位：先将被乘数、乘数在筹算板上排成两行，被乘数放在上行（上位），乘数放在下行（下位），乘数的个位，对齐被乘数的最高位（“上位有十步至十……”）。上下行之间，留空1行（中位），作中间积存放处。

第二步运算规则：从左至右运算；逢10进1（“言十即过，不满自如”）。

第三步运算步骤：从上位的最高位数起，依次去乘下位，初积入中位，随乘随并。

除了上述一般性法则之外，《孙子算经》还给出了一个具体的算例：

九九八十一自相乘，得几何？

答曰：六千五百六十一。

术曰：重置其位，以上八呼下八，八八六十四，即下六千四百于中位。以上八呼下一，一八如八，即于中位下八十。退下位一等，收上位八十。以上一呼下八，一八如八，即于中位下八十。以上一呼下一，一一如一，即于中位下一上下位俱收，中位即得六千五百六十一。

现按术文所述，作一解答（原用算筹所表示的数，改用阿拉伯数字代替），见图3-3。

图3-3　81×81演算步骤图

《孙子算经》中关于筹算除法的记载如下：

凡除之法，与乘正异。乘得在中央，除得在上方。假令六为法，百为实，以六除百，当进之二等，令在正百下，以六除一，则法多而实少，不可除，故当退就十位。以法除实，言一六而折百为四十，故可除。若实多法少，自当百之，不当复退。故或步法十者置于十位，百者置于百位。上位有空绝者，法退二位。余法皆如乘时。实有余者，以法命之，以法为母，实余为子。

“凡除之法，与乘正异”，即除法是乘法的逆运算。筹算除法，首先亦要“步算定位”，用算筹把商、实（被除数）、法（除数）依次分别排成上、中、下三行。正如《孙子算经》所云：“乘得在中央，除得在上方”。术文中以100÷6为例，说明筹算除法的运算规则，这里作一简要疏释，见图3-4。

图3-4　100÷6演算步骤图

概而言之，筹算的乘法、除法实质上也包括了筹算的加、减法。进行筹算的乘、除法运算时，其首要之点是“步算定位”。乘法时，“上位有十步至十，有百步至百，有千步至千”。然后，以一位数乘多位数；除法时，“步法十者置于十位，百者置于百位”。若法大实小，则退就下位，“余法皆如乘时”。同时，要熟悉“九九算表”，这是进行筹算乘、除法的基础。中国古算文献所载完整的“九九算表”，最早就见于《孙子算经》。

另外，术文中的“法”与“实”，是中国古代数学中的两个重要概念。在除法中，“实”是被除数，“法”是除数。然而，“法”与“实”的意义远非如此，开方算法中的被开方数，“方程”算法中的未知数系数皆称为“实”。“法”的含义则理解为“用法律固定的单位量度”。中算中常有“实如法而一”，即是“以法量实”，除法的意义正是由此引申而来。

（四）开方术的改进

中国古代的开方运算起源于长度的测算、或化积为方（包括已知正方形的面积求边长、已知立方体的体积求棱长），或化圆为方（包括已知圆面积求圆的直径、已知球的体积求球的直径），或勾股弦的互求等问题。这些问题的文字记载最早见于《九章算术》“少广”“勾股”两章。《九章算术》少广章中的“开方术”特指开平方运算，其第12题的术文介绍了“开方术”：

置积为实。借一算步之，超一等。议所得，以一乘所借一算为法，而以除。除已，倍法为定法。其复除，折法而下。复置借算步之如初，以复议一乘之，所得副，以加定法，以除。以所得副从定法。复除下折如前。若开之不尽者为不可开，当以面命之……

术文对“开方术”的介绍言简意赅，有语焉不详之处。刘徽在其注文中利用几何图形对这一方法给出了一个直观的解释，而《孙子算经》则在计算方法上作了新的改进。《孙子算经》的开方术，见之于卷中19、20两问，现以第19问为例：

今有积，二十三万四千五百六十七步。问：为方几何？

答曰：四百八十四步九百六十八分步之三百一十一。

术曰：置积二十三万四千五百六十七步为实，次借一算为下法，步之超一位至百而止。上商置四百于实之上，副置四万于实之下。下法之上，名为方法。命上商四百除实，除讫，倍方法，方法一退，下法再退。复置上商八十，以次前商，副置八百于方法之下。下法之上，名为廉法。方、廉各命上商八十，以除实，除讫，倍廉法上从方法。方法一退，下法再退。复置上商四，以次前，副置四于方法之下，下法之上，名曰隅法。方、廉、隅各命上商四，以除实。除讫，倍隅法从方法，上商得四百八十四，下法得九百六十八，不尽三百一十一，是为方四百八十四步九百六十八分步之三百一十一。

与《九章》的开方算法比较，《孙子算经》的开方算法更为缜密细致，连贯流畅。这一点得益于《孙子算经》在以下两点所作的创新[230]：

1.改“复置借算步之如初”，以“退位定位”求次商

《九章》的开方技术在“命上商除实”之后，都要将借算退回到初始位置，重新步位（“复置借算步之如初”），以求次商。而《孙子算经》则改进为“方法一退，下法再退”的“退位定位”法，使得算法衔接有序。

2.增记廉法、隅法，完善术语命名

《九章》开方术中“商”“实”“法”“借算”四列，《孙子算经》则改“法”为“方法”，改“借算”为“下法”，并增加“廉法”“隅法”，使得算法术语统一、规范。

《孙子算经》的开方算法，后为《夏侯阳算经》《张丘建算经》《五曹算经》《详解九章算法篡类》（杨辉）所沿用。宋元数学中著名的“增乘开方法”，也采用了《孙子算经》的“超位退位定位”方法。可以说，正是《孙子算经》对开方术所作的改进，为“增乘开方法”奠定了坚实的基础。

（五）“物不知数”与中国剩余定理

《孙子算经》卷下第26问即著名的“物不知数”问题，又称“孙子问题”。其问为：

今有物，不知其数。三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

答曰：“二十三”。

术曰：“三三数之剩二，置一百四十；五五数剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十。并之，得二百三十三。以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五。一百六以上，以一百五减之，即得。”

“物不知数”问题等价于解下列的一次同余式组：N≡2（mod 3）≡3（mod 5）≡2（mod 7）。答案是无穷多，其中最小正整数解是23。

术文的前半段，给出本题的解：N=70×2+21×3+15×2-105×2=23；而术文的后半段，给出一次同余式组的一般解法：三三数之，取数70，与余数相乘；五五数之，取数21，与余数相乘；七七数之，取数15，与余数相乘。将诸乘积相加，若其和大于105，就减去105若干次，即得最小答案。列成现代算式就是：

N=70×R1+21×R2+15×R3-105×P

式中，R1、R2、R3、分别是用3、5、7去除的余数，P为整数。

“物不知数”是后来驰名于世界的“大衍求一术”的起源，也是中国古代卓越的数学成就之一。英国著名学者李约瑟称它是“关于不定分析（一次同余式组）计算问题的一个最早的例子”[231]。

首载于《孙子算经》中的“物不知数”问题，与中国古代制定历法有密切关系。自汉代起，中国古历法就重视“上元积年”的推算。一部历法，需要规定一个起算时间。中国古代历算家把这个起点叫做“历元”或“上元”，并且把从历元到编历元所累积的时间叫做“上元积年”。推算上元积年要满足许多初始条件和利用庞杂的天文数据，这是相当复杂的。一般以各种天文周期（如回归年、朔望月等）和相应的差数来推算上元积年，则构成一个求解一次同余式组的问题。“物不知数”只不过是这类问题的简单反映。因此，引起了千余年来中算家对同余问题的兴趣，形成了中国古代不定分析研究的重要领域，而且算法名称很多，如鬼谷算、隔墙算、秦王暗点兵、翦管术、总分、物不知总、韩信点兵等。

求解“物不知数”的关键在于70、21、15和105这4个数。为了便于记忆和流传，古人将其编成各种歌决。如明代程大位（1533-1606）《算法统宗》卷五载《孙子歌》曰：

三人同行七十稀，五树梅花二一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。

此歌在民间广为流传，并传到日本，影响甚大。《孙子算经》中没有说明70、21、15和105这4个数的来历。直到1247年，南宋秦九韶（1202-1261）写成《数书九章》才解决了这一问题，其方法称为“大衍求一术”。

1801年，德国著名数学家高斯（K.F.Gauss，1777-1855）出版《算术探究》，对同余式组解法得出与秦九韶相同的结果。1852年，英国来华传教士伟烈亚力（Alexander Wylie，1815-1887）在《中国科学札记》中，首次向西方介绍了“物不知数”问题和秦九韶的有关工作。1874年，德国学者马蒂生（L.Martthiessen）在《数学与自然科学教育杂志》上发表文章，指出秦九韶解法和高斯解法基本一致，从而使中国古代数学中这一杰出的创造受到世界相关学者的瞩目。之后，西方数学论著中称这种一次同余式组的解法为中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）[232]。