培育学生符号意识的优化策略

（一）概念教学中促进数学符号思考的策略

1.讲清符号的来源及产生的背景，获得概念符号的基本意义

数学符号思考的对象就是承载信息的数学符号，符号思考的前提是必须弄明白数学符号的基本意义。要是连符号所指代的意义都没弄明白，还何谈思考呢？对于数学符号，传统的教学大多以“抛肉饼”的方式将数学符号强加给学生，学生也习惯了将这“天外之物”强“贴”在自己身上，长此以往，以至于忘记了数学符号的原本之意，只能进行简单的机械操作，不能对符号进行灵活的变换应用。其实，数学符号并不是平白无故“从天上掉下来”的，它也有它产生的历史背景；它并不是通过简单的告知就可以被掌握的，也是要建立在学生已有经验（知识经验和活动经验）基础之上的。教学中教师就要尽可能地“还原”数学符号产生的背景及过程，要使得学生感受到数学符号并非“天外之物”，它的产生、确定也有一定的原因。教师可以介绍有关数学符号产生发展的历史，或是“还原”相关数学符号产生的背景，让学生亲自参与到“做符号”的活动中来，在活动中感受数学符号产生发展的历史，体会统一的数学符号确定的艰难以及历史的必然。

例如，在“小括号”的教学中，教师可让学生自己创造符号表示“先算部分”，再经过设问，使学生意识到符号不统一不利于表达和交流。此时，符号的统一就成为必然的趋势。然后再引导学生从其所创造的符号中选择最简洁、易识别的。若学生提不出小括号“（）”，教师可作为参与者提出小括号“（）”，或介绍历史上的选择。学生在经历了这样一个做符号的过程，就能对数学符号有更深刻的感受。

又如，函数符号f（x），可是大多数学生眼中的“老大难”问题，有些学生甚至到了高中毕业时都没弄明白它的内涵。在教学时，教师一定要引导学生对其做详细的分析。首先，f（x）表示定义域与值域在对应法则下的对应关系，另外，还表示定义域内的任意一个元素在对应法则f作用下的函数值，也暗含着一种运算的过程，以及变量之间互相依赖的运动变化过程。其次，f表示了一个确定的算法，并且这个算法必须满足一定的条件，也就是函数的定义域。f（x）与f（t）对应法则相同，只有当x与t的取值范围相同时，f（x）与f（t）表示同一个函数。f（x）与f（2x-1）对应法则相同，此时定义域是否也相同呢？这里f（2x-1）表示的是对应法则f作用于2x-1下的值，假如f（x）中的x∈［-1，3］，那么此时就要将（2x-1）中的2x-1看为一个整体，就有-1≤2x-1≤3，即0≤x≦2。这样多层次、全方位地对函数符号f（x）进行深入分析，有助于学生感悟在表示函数概念中的作用，体会变量之间的依赖关系，逐步体会函数概念的本质内涵。

2.建立新旧数学符号之间的联系，建构概念符号的意义结构

虽然上文我们对传统的“告知式”符号教学进行了批判，但并不意味着对这种“告知式”的全盘否定。基础教育阶段有很多数学符号，由于相关史料的缺失，我们已经很难追溯其产生的历史背景；或是由于课堂条件的限制，“还原”其产生的活动也不可行。对于这些数学符号，还是要直接告知学生。这里的关键在于教师的引导，教师要指导学生经历新符号与之前所学相关符号的比较、互动或转化的过程，经历用已有符号去解释、同化或建构新符号的实践活动。这样，学生接收来的知识才是有意义的，同时学生也深深地体会到了新旧概念之间的区别与联系。比如，相似符号“∽”就可以建立在全等符号“≌”的认识上。另外，还有一些数学符号，在形式上非常接近，但却表示不同的意思，学生往往容易对这些符号产生混淆。教学时教师要引导学生对这些相近的符号进行区别，揭示各自的本质。例如，符号2x、2x、x2、x2都含有2和x，这些符号（式）在形式上极其相似，但所表达的意义却完全不同。“a3=3×a”这是初学的学生常犯的错误。教师要引导学生对3a和a3进行对比，两者都表示“乘”，但乘的意义不同。3a表示的是3×a，省略了“×”，而a3表示的是三个a“相乘”，即“a×a×a”，写成a3是为了书写的简便。通过对这些外貌相似符号之间的联系，有助于学生对这些符号间的细微差异形成一种敏感性，当再次见到时就会多加小心、认真分析，可有效降低错误的发生。

3.注重符号的适度应用与操练，巩固对于概念符号的理解与认识

学习知识的目的在于运用，学而不用等于没学，数学符号的学习亦是如此。因此，学完某一数学符号后还要进行简单地运用。也只有在运用的过程当中学生才能进一步巩固数学符号与所指概念之间的联系，进一步完善对概念及其符号形式的理解。需要强调的是，这里的应用操练要适度，切不可毫无范围地盲目操练。一方面，习题的“量”切不可过多或过少。现实中有很多教师热衷于大量的题海训练，殊不知这却是一个极大的误区。过度的机械训练容易使学生在呆板的操作过程中忘记了数学符号的原本之意，这不是“熟能生巧”，而是把学生教“笨”了。习题过少就达不到巩固掌握的目的。教师要根据概念的难易及数学符号的复杂程度设置习题，以求学生在尽可能少的习题中尽可能多地运用数学符号。另一方面，要控制好习题的难度。概念符号的应用训练中，相关习题的设置要以基础题目为主，题目的设置应在学生“跳一跳”能够够得着的范围内，切不可超出学生的能力范围。超出学生能力范围的习题，不仅脱离了巩固基础的主旨，还容易给学生带来一定的心理压力，对数学学习产生负面影响。

（二）命题教学中促进数学符号思考的策略

1.命题探索，构建符号思考的自我体验

命题教学中，教师要留给学生思考的空白。教师要引导学生在对已有符号条件进行分析、推理、归纳的基础上，让学生自己猜想、归纳出命题，并鼓励学生尽可能多地用多种符号形式来表示所猜测出的命题。因为学生在亲身经历探索命题的过程中，势必就要对已有的符号条件进行一定的判断、筛选、组合，再对这些符号条件进行一定程度的逻辑推理，或是根据这些符号做出恰当的猜测或设想，或是对已有的符号条件进行其他形式的转换，抑或是由这些符号条件联想到之前曾经见到过的类似的或与之相关的其他问题，等等。这一过程当中所进行的符号推理，符号间的转换、联想等，无一不体现着激烈的数学思维活动，而思维活动的对象正是数学符号。其不仅有利于发展学生的逻辑推理能力，还在推测、猜想、归纳等活动中发展了学生合情推理的能力；学生在教师的引导下，不仅得到了独立思考能力的培养，还在探索的过程中积累了数学的活动经验；更重要的是，学生亲身经历了数学探索的过程，更能深深地感受其中所蕴含的数学基本思想。同时，这也有利于学生发现问题、提出问题能力的提高。

例如，在“勾股定理”这一部分，教材一开始就提到了直角三角形三边长度的平方存在一个特殊的关系。因此，探索的目标就锁定在三边平方的关系上。就拿在格子纸上做直角三角形，并以直角三角形的三边为边做正方形来说，学生在经历了数小方格的个数，以及对斜边上正方形的拆分、计算等过程，不仅仅得到实践操作经验的积累，更实现了基于图形的符号思考。通过多次对不同种类直角三角形进行相同操作，再对多次结果（教师在引导时将每次的结果都以符号形式加以表示）进行观察分析后，学生提出猜测。所提出的猜测正是学生对一系列数学符号表达式在观察、分析的基础上所进行的归纳与概括。

又如，在探索“一元二次方程根与系数的关系”中，教师先让学生求解下列一组方程：x2-6x-15=0；2x2-3x+1=0；3x2+7x-9=0；5x-1=4x2；x2+x=5x+6；7x2-5=x+8。之后，再让学生探讨各个方程的根与系数之间的关系（此处学生探讨过程省略）。最后，教师在观察了学生的探讨后，引导学生在黑板上进行数学符号操作，最终引导学生猜测、归纳出一元二次方程的根与系数之间可能存在的数量关系。

学生在教师的引导下归纳出根与系数可能存在的关系的过程中，不仅仅是在解方程（当然，解方程更多地表现为对符号的操作，也属于数学符号思考），更为重要的是在解完方程后对各个方程根与系数的分析，表面上是对一系列代数式所进行的观察、分析，但本质上也是大脑内部的符号思维活动。

当学生提出猜测后，教师应鼓励学生用尽可能多的数学符号形式来表示自己的猜测。从心理学角度上讲，不同的表征形式反映不同的思维方式，多种表征形式有利于学生对命题的多角度理解，从而能更好地弄清命题的结构和实质所在，同时也有助于促进数学思维的灵活、发散。例如，完全平方式、平方差公式等通常以代数式来表达，而为了加深学生的理解和记忆往往还附加几何图形；为了使学生更好地理解一元二次方程实根的分布情况，往往还要借助一元二次函数图像来分析；直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交）可用圆心到直线的距离d和半径r的大小关系来表示，也可以通过图像的直观来呈现；圆与圆的位置关系亦是如此；等等。

2.命题证明，培养符号思考的良好习惯

第一，辨别命题，明确符号思考的方向。大多数情况下，命题总是以语言文字符号的形式呈现，在证明命题时有必要先将命题做适当的符号化（相对数理逻辑而言，这里的符号化还不是严格的符号化），再引导学生辨别出命题的条件（已有的符号体系）和结论（要求证的符号体系），确定符号思考的方向，以保证符号思考目标的明确，不至于毫无目标地乱思考。在日常教学中，我们也常会看到有些学生在证明时就直接根据已知的符号条件进行推导，往往是推导了一大堆，别人却看不懂他要干什么，他自己也不知道自己究竟在干什么。究其原因，乃是在拿到命题时学生未对命题条件和结论进行分析，其所进行的符号思考缺乏明确的目标。因此，在证明命题时首先得引导学生辨别命题的条件和结论，在确定了符号思考的方向后再进行推理求证。

第二，引导证明，养成良好的符号思考习惯。在确定了符号思考的方向后，学生进行分析或综合，探求已知条件中符号体系与所求结论符号间的桥梁。无论是分析的过程还是综合的过程，都充分体现了不同的符号思考活动。在带领学生进行推理的过程中，教师要明确每一步之间的因果关系，给学生展现出清晰、简洁、有序的推理过程，以此来帮助学生养成条理清晰、简洁有序的数学符号思考习惯。在学生的作业中，时常会出现一些条理不清、逻辑混乱的推理过程，本来几步就可以完成的推理却被绕了好大的一个弯，前后两个步骤之间的推导要么多余繁杂，要么缺少条件，使推理显得不够完备，说服力不强。这都是符号思考条理不清、逻辑混乱的表现。教师在引导学生进行证明时，要适时地指出学生推理过程中所存在的不足，并指出为什么存在不足。这样才能有助于学生养成条理清晰、简洁有序的符号思考习惯。

第三，教师还应鼓励学生积极探索多种求证方法，促使符号思考向各方面、各领域平衡发展。对于命题的证明，我们不能仅局限于单一的证法，应鼓励学生多途径、多角度地探寻求证命题的方法。多途径、多角度的证明无疑就增加了符号间预演推理的操作机会，同时也有助于学生从多个角度加深对命题本质的理解。另外，不同的证明方法代表了不同的符号思考方式，笔者希望学生在经历多种方法证明后，能深深地感触到每一种方法背后所蕴含的数学思想，而数学思想的形成在一定程度上影响着符号思考的方向及模式。更重要的是，多样的证法不仅开阔了学生符号思考的视野，也有利于促进学生的符号思考在各领域的平衡发展。促使人的思维方式向各个方面平衡发展也是我们一直所追求的理想。

3.命题转换，促进符号思考的灵活敏捷

这里命题的转换包括同一命题不同符号形式间的转换（如从一个命题的代数形式到几何形式之间的转换），某一命题同它的逆命题、否命题、逆否命题之间的转换，它们之间的结构关系，某一命题与其他命题之间的推导等，都表现为数学符号在结构或形式上的互换。在教学中教师引导学生进行命题的转换，可以极大地提高学生符号思考的灵活性，缩短符号思考的时间。同一命题的不同符号表达形式之间的转换不仅有利于学生从多个角度加深对命题的理解，也容易使学生在不同符号表征之间建立起密切的联系，在解决问题时能够根据问题的环境灵活地在各表达式之间进行转化，我们常见的就是代数形式与图形间的转换。

命题同它的逆命题、否命题、逆否命题之间的转换以及与其他命题之间的相互推导，不仅是数学符号的操作活动，更使人们清楚了相关命题之间的联系，使多个命题联系在了一起。一旦在应用的过程中某个命题行不通或是遇到阻碍，人们就会立即触及与它相关的其他命题形式，使得思维能够在一个命题域内灵活敏捷地做出筛选，这就极大地提高了符号思考的灵活性，节省了思维。例如，公式的变形，即勾股定理的形式就有a2+b2=c2，也可以写成b2+c2=a2，e2+f2=s2等；变为a2=c2-b2，就容易联想到勾股定理的逆定理；变为，就成了平面上点（a，b）到原点之间的距离。

又如，三角函数中公式的变形可谓精彩，二倍角公式sin2α=2sinαcosα，cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α，。这些公式都是命题的符号形式，通过公式的变形可以演化出各种类型的题目。熟练掌握公式的变形是灵活选择公式的基础，是寻找恰当解题思路的关键所在，不仅有助于思维的敏捷，同时还为思维的多端发展提供了支撑。

另外，命题的转化不单单是在命题形式之间进行的等价互换和简单的推理，它更多的是一种方法。正如波利亚在“怎样解题表”中所说的，“你能不能重新叙述这个问题，你能不能用不同的方法重新叙述它，能想出一个与此有关的问题吗”，实际上就是命题形式的转换。会进行转换，就不会使思维陷于僵局，反而能促进思维的灵活敏捷。

4.命题延伸，促进符号思考的深度发展

命题的延伸就是适当改变命题的条件或结论，产生一个新的命题，再让学生去判断、证明这个命题。除增加了符号的操作和预演的机会外，重要的是从命题的延伸中我们会发现一些新的形式、新的结构，以及在变的过程中不变的东西。命题的延伸也可能会把我们的视野拉向一个更广的范围，再从这个更广的视域去审视原有命题，有助于看清命题之间的区别与联系，从而将数学符号思考引向深入。例如，在研究勾股数组时，费马提出了举世著名的猜想——费马大定理，即当n＞2时，找不到能使等式xn+yn=zn成立的正整数组。这可以算作对勾股定理的一种延伸，虽然对它的证明对数学的发展并没有多大的意义，但是数学家在证明的过程中却获得了许多意料之外的收获。例如，1983年法尔廷斯（Gerd Faltings）证明了莫德尔猜想，从而得出当n＞2时（n为整数），不存在互质的a、b、c，使得an+bn=cn；1986年，格哈德·弗赖（Gerhard Frey）提出了“Epsilon猜想”：若存在a、b、c，使得an+bn=cn。也就是说，“费马大定理”是错的。而椭圆曲线y2=x（x-an）（x+an）则是“谷山志村猜想”的一个反例。格哈德·弗赖的猜想随即被肯尼斯·里贝特（Kenneth Ribet）证实。此猜想显示了费马大定理与椭圆曲线及“modular forms”的密切关系。又如，如果三角形不是直角三角形，那么三边之间还满足关系式a2+b2=c2吗？学生自己画图、做辅助线、进行推理，最终发现，原来勾股定理就是余弦定理的特殊情况。可见，在对命题延伸后，我们能在新命题的求证中发现一些新的结论、新的符号结构、新的符号形式，看到命题间的联系与区别，把握命题的本质结构，推动符号思考进入了一个更深的层次。

（三）问题解决教学中促进数学符号思考的策略

1.注重审题，提高符号思考的速度，带动思维的活跃

问题解决中最为关键的一步就是审题，这是解题的前提，“是先导，稍有疏忽，便会‘差之毫厘，谬以千里’”。波利亚在《怎样解题》中就将“弄清题意”作为解题活动的第一步，这就强调了审题的必要性及优先地位。他指出，“回答一个你尚未弄清的问题是愚蠢的，最糟糕的情况是：学生并没有理解问题就进行验算或画图。一般来说，在尚未看到主要联系或者尚未做出某种计划的情况下就处理细节是毫无用处的。”首先，要弄清题目已知的条件和所要达到的状态。这就要求我们弄明白已知条件（包括隐含条件）所表达的数学意义或数学关系，弄明白与结论有关的数学关系或数学概念，弄明白条件与结论之间的联系与结构。只有把这些关系搞清楚了，才可以确定符号思考的起点与目标，符号思考的大致方向就具体确定下来了，这在很大程度上避免了不必要的符号思维活动，提高了符号思考的速度，节省了思维的成本。审题时切莫过急，要慢，要认真分析题目所给的条件，“磨刀不误砍柴工”，审好题了，问题的解决就已经成功了一半。

例如：（1998年高考理科数学25题）已知数列｛bn｝是等差数列，b1=1，b1+b2+……b10=145。（1）求数列｛bn｝的通项bn。（2）设数列｛an｝的通项an=loga，其中a＞0且a≠1），记Sn是数列｛an｝的前n项和。试比较Sn与的大小，并证明你的结论。

当年就有一些学生将看成结果写了一大堆，要么计算的过程越来越复杂（做不下去了），要么答案错误，这是没看清题目条件所导致的结果。而且这不仅直接导致了结果的错误，还使学生将大量时间浪费在一开始就错误的符号思考上，阻碍了符号思考的速度，不利于问题的顺利解决。另外，还要审清题目中的隐含条件。审题不光要弄清问题的表层含义，还要弄清问题的深层含义及深层结构。对于那些形式相似而本质不同的题目以及综合性较强的题目，要深入本质挖掘它的深层含义。例如：“已知关于x的方程x2-（k-1）x+k+1=0的两个实数根的平方和等于4，求实数k的值。”不少同学求出两解：k1=5，k2=-1。这就忽视了原方程有两根的隐含条件Δ≥0，当k=5时，Δ＜0，显然不合题意。

这里无意探讨审题，只是想从审题的角度去试图说明其对符号思考速度的提升、符号思考质量的保证、符号思考深度的加深所起的积极作用。关于审题的研究，陕西师范大学罗增儒教授和他的学生在这方面有更为精彩的论述。

2.注重突出数学的思想方法，提高数学符号思考的效率

方法论指导人的认识实践活动，数学的学习也是要以数学思想方法为指导的，缺乏思想方法指导的学习就像一只迷失方向的苍蝇一样到处乱撞。德国著名数学家莱布尼茨早就说过“数学的本质不在于它的对象，而在于它的方法”。众多事实也表明，影响一个人数学能力的往往不在于储存在他头脑中的数学知识的多少，而是在于他在数学思想方法的修养上是否达到一定的程度。有了思想方法的指导，就基本确定了符号思考的方向，就避免了走不必要的弯路以及盲目思考，这就极大地提高了数学符号思考的效率。

在教学中我们常会见到一种奇怪的现象——“懂而不会现象”。即学生在课堂上能听懂教师讲的内容，但要是让他们去做同一类问题，就又不知所措了；或是在做某一专题训练时，如分类讨论，在课堂练习以及课后的作业中大部分学生都能运用分类讨论法进行求解，并表现出较强的分类讨论的能力，但要是到了综合训练或是综合能力测验时（此时，题目没有提醒运用分类讨论的思想方法解决问题），学生的这种能力就又不知道跑到哪里去了。究其原因在于，除了基本的相关知识掌握不扎实外，更重要的是在课堂上学生并没有学到解决某一类问题的思想和方法。学生的“懂”不是真懂，是一种错误的自我知觉体验，他们的“能力”也并非来自思维深处所取得的素养，而是一种源自模仿的机械操作，纯属“照葫芦画葫芦”（还不是画瓢）。他们只是懂得解题过程中的前后推理，但并不能说明他们会分析、解决问题；他们只是会解题的操作程序，但并不意味着他们掌握了数学的思想方法。他们学到的知识是缺乏灵气的、不能灵活迁移的、死的数学知识，并没有真正理解数学的精神。而这些数学的精神、思想和方法正是学生毕业离校后，将教师所教的东西都忘光后所剩下的成果，才是使学生铭记于心、终身受益的东西。

因此，在教学过程中，尤其是在问题解决的过程中，教师不仅要着重突出问题解决过程中的数学思想和方法，还应努力使学生领会到贯穿于问题解决之中的数学思想和方法，并能把这些数学思想方法运用到解决各种实际问题中去。只有当学生领悟到了数学的思想和方法，才能把数学知识转化为数学的各种能力；也只有当学生会运用思想方法去思考问题时，才总会在相对较短的时间内给我们展现出让人惊讶的解题方式。

3.注重解题的反思与回顾，促进数学符号思考的严谨完善

对于大多数学生来说，当他们完成对问题的求解论证（这里的解不一定正确，论证不一定合理完善）后，他们的思维会立刻转移到其他的问题或事物上去，纵使是学习优异的学生也基本如此。这在学校中是一种很平凡的现象，学生很少会主动回顾他们解决某一问题的过程。他们似乎认为，不确切地说，在他们的思维深处已经形成了一种观念，即问题解决就是把问题的解求出来即可。这是一种极具功利主义色彩的认识，是一种偏见。

我们解决某一问题，并不是仅仅为解决这一问题而解的。作为完成教育任务的教师，应当去关注问题解决的过程，回顾、总结问题解决的过程，而不是仅仅关注问题解决的结果；应当使学生在问题的解决过程中有所创新，有所发现，有所总结，有所体验，有所感悟，从而有所提升和进步。而这些更多来自问题解决之后的回顾反思，在反思的过程中除了可以发现一些因粗心大意或笔误而导致的错误外，还可能会发现一些新的思路、方法，或者发现与其他方面之间的关联，甚至是一些规律性的、具有普遍意义的模型或结论，以适用于其他相似的问题情境。波利亚将数学解题分为弄清题意、拟定计划、实现计划、回顾反思等四个阶段，他尤其强调解题后的回顾。他在《怎样解题》中指出：“通过回顾所完成的解答，通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的路子，学生可以巩固头脑中的知识和发展解题能力。”而我们的学生恰恰就把这宝贵的提升自己的机会给丢掉了，让人甚感忧虑。

因此，在教学的过程中我们教师就要注重引导学生进行对问题的反思活动。当然，这里的反思也并非是检查错误那样简单，除了检查书写的漏洞外，还要重新审视自己的思维过程，以求得思维过程的简洁与严谨，更重要的是要通过反思，有所体验，形成自己的见解。我们可以通过以下两个案例来体验问题解决后反思活动的意义。(www.xing528.com)

例：如图5-1所示，在正方形ABCD和CGEF中，点M是线段AE的中点，连接MD，MF，试探究线段MD与MF的关系。

图5-1

分析：从直观上看，线段MD与MF应该相互垂直且相等。连接DF，若我们可以证明△MDF是等腰直角三角形便可。若DF边上的中线MK垂直DF，且MK的长度为DF长度的一半时，即可说明△MDF是等腰直角三角形。延长DM至N，使MN=DM。连接FN、EN，即要证FD⊥FN，且FD=FN，因此只要证△FDC≌△FNE。（证明过程省略）

反思一：以上分析过程先是通过几何直观猜想得出了结论，然后通过分析与综合的方法来证明猜想。其思路是这样的：

直观猜想MD=MF，MD⊥MF，需要证△MDF是等腰直角三角形，

取中点K，需要证MK=DF且MK⊥DF，

需要证FD=FN，FD⊥FN，

需要证△FDC≌△FNE，

需要证∠DCF=∠NEF，且步步可逆。

从这里可知，既然FD=FN，FD⊥FN，即△DFN是等腰直角三角形，就可直接得出MD=MF且MD⊥MF。因此，取中点K及证△MDF是等腰直角三角形就成了多余的思维回路，删除它便可得简洁证法。

反思二：若题目中所给条件都不变，只把原图形的位置变一变（把正方形转一转），刚才的结论还成立吗？比如，若正方形CGEF的边CF与CD在一条直线上，或当B、C、E三点共线时，上述结论和证明方法还成立吗？通过对原图形的观察与分析，可知正方形CGEF的位置关系并不影响原有的结论和证法。

通过对问题的反思，我们不仅发现了思维过程的冗余成分（这有助于符号思考的简洁自然），同时还发现了这一问题的本质——MD与MF之间的关系依赖于点M的特殊位置（中点）并不依赖于正方形之间的关系，正方形的位置随意变动，上述的证法及结论始终成立。当然，我们还可以深入思考，若正方形换成长方形或菱形，这一结论还成立吗？相信，反思越深入，我们就越能看清这一类问题的本质，就能够对这一类问题形成自己的结论。

通过对以上案例的分析可知，问题解决不单单是解决某一具体问题，而是要通过问题解决之后的回顾与反思来解决一大类问题。通过反思去关注问题解决的过程，回顾问题解决的过程，总结问题解决的过程，不仅锻炼了学生挖掘和抓住事物本质的能力，还培养了学生解决问题中的“优化”思想。将数学符号思考由对某一具体问题的思考带到一个更高的层次上来，从而归纳出一类问题的解法，优化了思维，也开阔了符号思维活动的视野，提升了符号思考的高度。

4.注重解题的联想与延伸，促进符号思考的多端发展

上文我们已经提到数学符号思考具有多端性，养成这种多向思考的习惯并使这种习惯成为一种能力，不仅有助于我们开阔视野，发散思维，看清问题的本质结构，还有助于我们提高发现问题与提出问题的能力，进而增强创新意识，增长智慧，启迪人生。但对于大多数学生而言，这种由数学符号产生的多端联想还处于一种潜状态，并没有表现和发挥出来。这就需要教师的引导与刺激来开发这一思维的领地。要促进思维的多端发展，最有效的法子就是问题的变式、延伸、拓展。通过变化问题的非本质属性，可以加强学生对问题本质的认识，有利于思维的灵活与变通；通过问题的延伸与拓展，学生提高了思考的广度与深度，有利于思维的多向度发散。教师要转变“解题”的观念，切不可出于教学任务等原因而一味地追求量的训练，题不在多而在于精，即所选问题要具有多角度的变式以及多方向的延伸与拓展。问题解决的目的并非只是解题，更重要的是要在解题的过程中有所收获、有所感悟、有所体验，要在这一过程中看到一些本质性的东西。教师要从自我做起，不以得到问题的解答或论证为最终目的，要善于对问题进行多角度、多方向的变换延伸，以自己的实践行动来感染学生，从而使学生逐渐养成这样一种积极钻研的习惯。

例如：四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F。求证：AE=EF。

解析：解这道题只需要取AB的中点M，联结ME，通过证明△AME≌△ECF即可证明AE=EF。证完之后可考虑：若点E是直线BC上任意一点，上述结论还成立吗？若∠AEF≠90°，上述结论成立吗？对于其他四边形或其他多边形，结果会是怎样？

证明：在AB上取点M使得AM=EC，联结ME，就有BM=BE，

∴∠BME=45°，

∴∠AME=135°。

又∵CF是外角的平分线，

∴∠DCF=45°，

∴∠ECF=135°。

又∵∠BAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△AME≌△ECF，

∴AE=EF。

当∠AEF≠90°时，就不能证明∠BAE=∠CEF，进而不能证明△AME≌△ECF。可见，点E的位置并不影响结论的成立（只要点E在直线BC上就行），而∠AEF=90°才是保证AE=EF的关键。为什么一定要满足∠AEF=90°？这是不是跟正方形的内角有一定的关系？正方形属正四边形，那对于正三角形而言，在什么情况下有如上结论成立？考虑到90°可能与正方形的内角有关，那对于正三角形来说，结论成立的关键是否是60°的角？我们不妨试试，假如△ABC是正三角形，点E是BC边上任意一点，∠AED=60°，且ED交三角形外角平分线于点D，则AE=ED是否成立？

证明：在AB上取点M使得AM=EC，联结ME，则BM=BE。

∴∠AME=120°=∠ECD。

又∵∠BAE+∠AEB=120°，∠CED+∠AEB=120°。

∴∠BAE=∠CED，

∴△AME≌△ECD，

∴AE=ED。

可见，我们的猜想成立。那对于正五边形呢？例如：若正五边形ABCDE，点F是CD边上任意一点，∠BFM=108°，且FM交∠HDE的平分线DM于点M，问BF=FM还成立吗？

证明：在BC上取点N使得BN=FD，联结NF，易证△BNF≌△FDM（BN=CF，∠BNF=∠FDM，∠FBN=∠MFD）。

类似的结论对正三角形、正方形、正五边形都成立，那么对任意的正n边形，是否也有类似结论？对于任意的正n边形，点M是BC边上任意一点，则当∠AMN为多少度时，AM=MN？

分析：上述结论成立的关键是所求两线段的夹角等于该正多边形的内角。如果=∠ABM，利用上述类似方法即可证明△APM≌△MCN，故AM=MN。此时，这一结论就可以推广到任意的正n边形上来。当然，我们还可以考虑这一结论的反面是否成立，对于一般的n边形会有什么结论呢？在这样一个延伸推广的过程中，学生就会逐渐认识到后面的问题不过是不断变化原问题中各非本质属性后的结果，认识到这一问题的本质，体会到变化之中的不变。

从某种意义上说，数学就是符号化了的自然辩证法，不管是在概念中还是在方法、思想上都体现了各种相互对立的矛盾双方。自觉主动地认识数学的矛盾双方，从矛盾的一方面联想到与其对立的另一面，不仅沟通了矛盾双方的联系，还有助于人的逆向思维能力的发展。比如，我们是在加法运算基础之上学习减法运算的，当学生看到符号“-”时，就想到加法；学生做除法运算也基本是通过乘法口诀试探着去凑答案，看到符号“÷”，就想到乘法运算及符号“×”。正如恩格斯所说，这种形式间的转变，并非一种淡然无聊的游戏，而正是推动数学前进的最有力的杠杆之一。

在教学中教师习惯性引导学生对问题中的数学符号进行分析解读，要求一题多解，从不同的角度去探索答案，不仅沟通了各知识点、各领域、各个方法之间的联系，也拓宽了学生的思维领域，促进了符号思考横向思维的发展；将解题后的延伸与拓展作为一种常规性的教学环节，不断变换条件及符号形式，由特殊到一般，不仅有利于对方法的巩固，还可帮助学生抓住问题的本质，促进了符号思考纵向思维的发展。这样，当学生长期接受这种氛围的熏陶与感染，就会逐渐形成这种思维的“定式”，养成这种思考的习惯，提高发现问题和提出问题的能力，还能促使符号思考的多端发展、灵活变通。