符号思考的内涵分析探究

（一）符号思考的内涵

2011年版的数学课程标准提出了“数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析概念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识”共10个核心概念。笔者认为，这10个核心概念是义务教育阶段最应该培养的学生的数学素养。其中，对于“符号意识”，笔者认为，“建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式”。另外，关于课程标准的解读指出，“发展符号意识最重要的是运用符号进行数学思考。不妨把这种思考称为‘符号思考’”。这一提法是一个新概念、新名词，笔者查阅了“百度百科”、维基、中国知网、万方数据库等，发现都没有关于“符号思考”的解释。所见最多的还主要集中在“数学符号意识”和建筑设计方面。正是因为它是一个新概念、新提法，缺少对它的研究，故可以仁者见仁、智者见智。

笔者认为，“符号思考”就是运用符号进行数学思考，在面对现实问题时能主动地、有意识地将现实问题符号化，在头脑中通过符号间的联想、分析、综合、判断，进行符号间的预演推理，以使得问题得以解决或使问题的解决有所进展的一系列思维活动过程。这里的符号主要是指数、字母、符号关系式、数量关系符号、图表、图形、图像等数学符号。本书将尝试从心理学、哲学、课程标准等角度对“符号思考”做更为详细的说明。

1.“符号思考”的心理学释义

从心理学的角度分析，“符号思考”无非就是“符号—解压—联想（筛选）—分析、综合、判断—推理—符号”这一过程的相似循环。在这一过程中，首先，大脑先从现实问题中抽象出数学关系，并通过符号化将数学关系“压缩”为简洁的数学符号（系统）表达式；其次，当这些数学符号（系统）刺激呈现在思维主体眼前或反映在思维主体头脑中时，通过中枢神经系统，大脑迅速做出反应，对符号进行“解压”，释放出数学符号（系统）所表达的意义，思维主体明白符号所指代的意义（这一过程是在极其短的时间内完成的；这里思维主体对数学符号指代意义的明白是分层次的）；再次，通过联想已有的知识、经验（也即从长时记忆中提取有关的概念并进行筛选），进行分析、综合、判断、推理，形成一定的观念看法，再将这些观念看法借助数学符号表示出来（问题到此解决了）。当然，这只是一个简单的、比较顺利的符号思考过程，或只是解决某一问题思维过程中的一步而已，思考的全过程就是这一过程的不同循环。如果遇到比较复杂的问题，或是思维的主体对数学符号（系统）所指代的意义并不完全了解，在进行分析、综合、判断、推理时，可能还要回过头来对数学符号进行二次“解压”或多次“解压”；或者，当推理进行到一定程度不能够再进行时，可能还要对之前所联想到的符号信息进行舍弃或重构抑或是更深层次的再联想。

对现实问题的符号化实际上就是编码，即在符号形式与符号所指对象之间建立意义关系。这种编码活动或者说这种意义关系的建立具有任意性和约定性，也就是说，符号形式与符号对象关系的建立可以是任意的。比方，要设一个未知数，可以用x代表未知的量，也可以用y表示未知量，x可以表示汽车的行驶速度，也可以表示苹果的单价，等等。这种约定性是指，在符号系统环境中，符号就在某一特定领域内特指某一确定的数学对象。比如，符号“÷”代表了除法这一运算关系，在几何的符号系统中，符号“//”就代表平行的关系，符号“∈”就表示了元素与集合之间的属于关系，等等。没有人会将这些符号理解为别的意义。

如果说信息的符号化是一种编码活动，那么对符号的解压则可以理解为“译码”，即对符号的翻译。译码在思维过程当中具有重要的作用，译码的准确程度在某种程度上决定着思维的进程。译码具有不确定性，一个数学符号在不同的领域内往往代表着不同的数学对象或关系。比如，符号|a|在实数领域内代表绝对值的概念，而在复数范围内则指的是复数a的模，在矢量部分还可表示矢量的模。在译码时我们要根据具体的问题来选择符号的意义。经过编码所得的符号（表达式）往往代表了编码人的思想，在译码时，我们总是难以完全准确地把握其所传达的思想，难免存在落差或差异。在我们思维过程中往往会出现以下情况，当思考进行到某一阶段难以再进行下去时，再次回过头来对符号进行观察、分析，往往会有新的发现、新的领悟，相信这是我们大多数人都有过的经历。这就体现了译码的不确定性及存在的差异，这是不可避免的。

当符号刺激呈现在眼前或反映在头脑中时，思维会在瞬间内完成对这一符号刺激物的翻译。经过翻译所得的信息经过中枢神经系统，激活大脑记忆库中储存的知识、经验，而大脑结合符号使用的问题情境，从记忆库中检索、筛选、提取与此情境相关的概念符号和符号模型，再根据思维的意向（即心理学上的“问题空间”，也即问题现状与目标之间的差异）对这些符号空间反复进行多次超越时空界限的有机组合与建构。

2.“符号思考”的哲学释义

（1）符号思考过程透析

数学“符号思考”实际上就是数学思考，这里着重突出的是思考过程中数学符号的地位和作用。作为人的思维活动的一个层面，“符号思考”本质上是一种数学符号的内部操作活动。在逻辑形式上，数学思考往往大量地表现为头脑内部的判断、推理活动。在推理过程中，人的思维活跃于各相关概念、命题、公式、定理和运算法则之间，思维从一个判断过渡到另一个判断，也就表现为从一个（一些）概念或命题过渡到另一个（一些）概念或命题。而这些概念和命题往往和数学符号联系在一起，总是以数学符号（系统）作为其外在的表达形式。因此，“符号思考”就是从一个数学符号系统过渡到另一个数学符号系统。这其中的关键在于过渡，思维是怎么过渡的？从语言学的视角去看，人的头脑内所进行的这种以数学符号为信息载体的推理活动，实际上就是在前后两个数学符号系统之间建立起联结关系的过程，或者说就是通过逻辑的“格”来建立两个系统之间的“关系网络”。而关键是要找一个处于前后两个数学符号系统之间的“中间词”，以“中间词”的联结作为实现前后两个数学符号系统沟通的途径，从而实现思维从前一个数学符号系统过渡到后一个数学符号系统。这种思维活动在形式上就表现为对数学符号的组合、分解及重构，是关于数学符号的操作活动。

在判断和推理的过程中，头脑中不断进行着数学符号间的联结、组合、分解、过渡，人的思维不断在符号串间转化与过渡着，从一个数学符号系统到达另一个数学符号系统。然而，人的思维过程中所进行的这种符号间的转换与过渡，除了以严格的逻辑方式进行外，常常还进行着“自由的联想”、由“简单的数学符号系统”构造“复杂的数学符号系统”等。这些在头脑中所进行的概念的推演、转换、过渡、构造等，都是借助数学符号而进行的组合、再组合、转换、再转换的活动，都是不同程度上的符号操作。

（2）符号思考过程的发展阶段

“思考”就是思维的活动过程，这一过程是以思维主体的内部语言为载体所进行的一种符号操作活动。当代思维哲学的有关研究认为，一个思维过程大致要经历以下三个不同的阶段：笼统的、混沌的思维阶段；部分的、抽象的思维阶段；全面的、具体的思维阶段。并认为，这三个阶段是逐次提升的，是从感性认识到理性认识的发展阶段。鉴于此，我们可以将符号思考的过程划分为三个逐层提升的阶段，即直观的表象阶段，孤立的质的规定阶段，联系的有机整体阶段。

首先，直观的表象阶段。当现实问题反映在人脑中时，思维主体通过对信息的心理压缩，将现实问题中的数学关系符号化，初步形成对问题的符号表征。思维主体对这些压缩后的符号（表达式）只有一个整体的、一般的认识。这时，思维尚处于一种朦胧的、混沌的感性认识状态。思维主体尚未区分出符号（间）本质的关系和非本质的关系，以及符号所表达的主要地意义和次要意义，假象和真相都是混合掺杂在一起的，没有区分开来。思维主体看到的只是数学符号的表层现象及数学符号间的外部联系，对数学符号（系统）意义的理解只是一种直观上的意义。皮尔斯认为这不是对符号意义的真正反映，而是由符号所引起的一种感觉，是符号的语义潜能。这一阶段，思维主体对数学符号的认识只是一种具体的、生动的感性认识，主体思维还没有认识到数学符号（间）所暗含的本质和规律。

其次，孤立的质的规定阶段。这一阶段，思维主体在联系头脑中已有数学符号（表达式）的基础上，通过对符号的具体分析，注重考虑部分符号间的关系或符号的部分意义，暂时撇开了其他的关系和意义。在这一联想与分析的过程中，思维主体分清了符号间本质的关系和非本质的关系，弄清了符号传达的主要信息和次要信息。但这种认识仍然只是对这一“符号世界”某些方面部分本质的厘清，还并非符号全体的本质。对符号间本质的认识还是彼此孤立的，哲学上叫作对事物“抽象的规定”。所认识的各个部分间的本质还没有联系起来，还不是对数学符号的具体的完整认识。

最后，联系的有机整体阶段。这一阶段，符号间各个孤立的质的方面已经联系起来了，成了一个有机的符号体系。对数学符号（系统）的认识不再仅局限于表面的、外部联系的认识，而更是一种内在的、内部联系的认识；不是部分的、孤立的、对数学符号某些方面本质的笼统认识，而是完整的、联系的、关于数学符号各方面本质相互联系的具体认识。到此为止，一个以数学符号为信息载体或以符号为工具的思维过程，可以说是已基本完成。但思维至此，并非是停止不前了，还存在着一个继续联想、创造、走向深化的阶段。但作为一个具有目的性的、探求符号间内在规律的思考过程而言，思维过程到此可以说是已经终止了。思维主体对某一数学“符号世界”的思考过程就经历了这样的三个阶段。

其实，符号思考的过程就是人的思维过程，只是换了一种表述方式，侧重的角度不同罢了。符号思考过程的三个阶段依次对应思维过程的三个阶段，这三个阶段是由浅入深、从表象到内涵、从感性到理性的逐步升华的过程，同时也是一个连续的、不可间断的历史发生过程。

3.基于课程标准的符号思考分析

数学的学习就是数学的思考，是运用数学理性思维进行的思考。思考的过程就是对相关数学命题、概念进行一系列分析、综合、判断、推理等思维活动的过程。而这些命题和概念又都是和符号密切联系在一起的，都以符号作为它们的物质表现形式。从这个层面上讲，数学的思考就是数学符号的思考。符号思考在本质上就是数学思考，这里笔者主要是想突出符号在思维过程中的价值。在符号思考过程当中，作为思维主体的思考者就要具备一定程度的符号方面的“能力”，这种“能力”包括符号理解、符号表达、符号操作等三个方面。

首先，要理解数学符号所表达的意义。这是进行符号思考的最基本要求，如果你连符号的意义都没搞清楚，那又何谈借助符号来思考呢。比如，要让你计算“32+2”这一代数式的值，如果你没有理解符号“32”所表达的意义，就无法得到正确的答案。在我们的实际教学过程中，总是会出现“32+2=2×3+2=8”这样的错误，这可以被认为学生没有弄明白符号“32”的意义所走入的误区。

其次，要能用数学符号表达数学对象。在数学思考过程当中，我们总是要借助数学符号来表达问题中的数学对象或数学关系，这是不可避免的。例如，问题：“某商场做促销活动，大米每斤价4元，如果一次购买10斤以上，超过10斤的部分打8折。分析并表示购米斤数与付款金额之间的关系。”很明显，购米斤数与应付金额之间是一种分段函数的关系。对于这一类问题，我们常常采用函数关系、列表、画函数图像等多种符号表达方式来加以解决。如果不能通过函数关系式等符号正确表达两个量之间的关系，我们很难想象能通过其他什么方式来解决此问题。

最后，能对数学符号进行简单的操作。这主要是指能运用数学符号进行简单的推理和预演。数学思维活动主要表现为命题间的推理和预演，而这些命题往往是以符号的形式表达的，所以要进行符号思考，就要能进行符号间的预演和推理。

符号的这三方面“能力”是逐步提高的，其中符号理解是符号思考、符号表达和符号操作的基础，符号表达和符号操作是符号思考的不同层次体现。会用符号表达数学对象，但不能进行符号操作或不能顺利进行完整的符号操作也算是在进行符号思考，只是程度较低的符号思考罢了。这三个方面也是发展学生符号意识的基本要求。对课程标准所提出“符号意识”我们可以从符号理解、符号表达、符号操作、符号思考四个层面去理解。前三个层面是基础，符号思考是符号意识的高级形式。基于以上的分析可知，“发展符号意识最重要的是要运用符号进行数学思考”，即“符号思考”。会符号思考，就自然理解符号的意义、自然会用符号表达数学对象、自然会进行符号间的操作，因为这些都是进行数学符号思考必不可少的前提条件。

（二）符号思考的行为表现

符号思考主要表现为，能将现实问题符号化，能借助符号直观思考问题，能进行符号间的转化。

1.符号化

符号化主要是指有用符号来表示实际问题中的数学对象和数学关系的这种意向。这里，学生只要有用符号表示的行为意向就认为其是在进行符号思考，而不论表示的正确与否。因为这种外在的行为意向正是学生头脑内部思维活动的外在流露，而用符号表示的正确与否则是另一回事。学生没有把问题中的数学对象或数学关系用符号表示出来，或表示得不完整、不正确，并不能说明学生没有进行符号思考。用符号表示了，但不完整、不正确，是在做符号思考，只是表示的结果不能完全表达问题中的关系和对象罢了；对于那些在纸上写写画画，但终未表示出来的，我们也归在符号思考之内，因为从他们的行为中我们已看到他们也在努力地试图用符号来表示与问题相关的内容，只是没有表达出来而已。

2.借助符号直观思考

（1）借助图表思考

这里主要是指在解决问题的过程中，根据符号表达式的特征联想到相关的几何图形，或是根据题目中的已知条件画图或列表格，依托、利用图形和表格进行数学的思考和想象。例如，对于一般行程问题，通过画线段图来分析问题；对于探索规律类的问题，通过列表来分析数字或代数式之间所存在的规律。又如，“将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再按同样的方法将其中一个剪成四个更小的正三角形，如此继续下去，问第10次得到多少个三角形？第n次呢？”如表5-1所示，这类题目往往需要列出前几项来，在对前几项分析的基础上提出猜想。

表5-1　所剪次数与所得正三角形个数

另外，还有一些技巧性非常强的代数题目，通过常规代数方法很难得到解决，而这些题目所给出的表达式往往隐含着几何条件，若能由这些条件联想、构造适当的几何图形，往往会收到惊人的效果。例如，这一问题：“已知x、y、z都为正数，且x2+y2=z2，，求证：xy=rz”。对于这一问题从代数的角度很难入手，若变化思维，注意到x2+y2=z2，想到勾股定理，再看x、y、z都是正数，联想到直角三角形……

借助图形的直观，不仅丰富了问题的直观表象，还使我们获得对题目中数学关系的深刻理解，拓宽了解题的思路，有利于我们快速找到解决问题的思路。同样，这里不论所画图表能否全面地表达题目的条件以及最终能否顺利解决问题，只要学生有这种画图的行为意向就认为其是在进行符号思考。

（2）由符号表达式产生联想

①由符号表达式多端联想(www.xing528.com)

这里主要是指由已有的数学符号联想到包括符号内容在内的、更为广泛的情境。由符号联想到其他知识情境，就是在进行实实在在的符号思考活动，因为联想本身就是思维活动的一部分。大致可分为由符号刺激产生的纵向联想、横向联想、逆向联想三种。

纵向联想，是指由数学符号沿纵深方向联想到的相关数学对象。例如，对于问题“若a+b=1，且a和b为正数，则≥”，所进行的纵向联想如下，若将a、b看作两个变元，将看作，容易想到三个变元的情况；若a+b+c=1，且a、b、c为正数，则是否成立？这显然成立，于是就想到四个变元、五个变元是否还成立，乃至更为一般的n个变元下的情况。

横向联想，指由数学符号联想到临近学科的相关数学对象。例如，由代数表达式联想到该代数表达式的几何图形；由一点的坐标（a，b）联想到复数a+bi、向量、力、速度等。又如，对题目“任给定7个实数，证明其中必存在两个实数x、y，满足”，在解题过程中若能从想到tan（a-b）=，就是在对原题目中的数学符号进行着横向联想。

逆向联想，是指由眼前的数学符号联想到与它对立的数学对象。比如，要求的值，初学者往往就会在头脑中想“谁的平方是16”，这就是由开方运算的符号想到乘方运算；另外，还有由因式分解联想到整式的积，由代数式a2+b2=c2联想起勾股定理等。

②从特殊到一般

在当前的符号情境下，能想到这一符号表达式不光是对这一问题而言的，更是一类问题的一般模型。例如，解方程s=vt，得，这里的不仅反映了速度与路程、时间之间的关系，也可以表示销售总额与销售单价、销售数量之间的关系，也可以表示力与质量、加速度的关系，等等。这样一来，符号表达式就从原来的路程、速度、时间问题扩散为更为一般的数学模型了。

3.符号间的转换

这里主要是指在解决问题的过程中能够在数字、字母、图表等符号间进行同义转换。大致分为，代数符号转换为图表符号、图表符号转换为代数符号、图形之间的转换、符号的推理预演。将数字或字母符号转化为图形，如在求解不等式的解集时，往往是将各不等式的解等价转换为数轴图上的区域，各区域的重叠部分即不等式的解集。将图表符号转换为代数表达式，实际上就是对图表符号的翻译，或者说是将隐藏在图表背后的信息给挖掘出来。图与图之间的互换，如几何中常用的截长补短、拼补等就是将一些不规则的图形或一些不易求出的量转换为规则图形或易求出的量。在统计部分，当分析不同的统计量时，还要在直方图与折线图、条形图、扇形图之间进行互换。在逻辑法则及算法的规定下，符号推理实际上也是一种转换。例如，将2x3-8x分解因式的过程如下：2x3-8x=2x（x2-4）=2x（x+2）（x-2）。这其中的任意一步都是在逻辑法则及算法的规定下所进行的符号转换。

（三）符号思考的特点

1.符号思考具有差异性

符号思考的差异性主要表现为年龄段差异、性别差异、地域民族差异、个性差异等。年龄差异主要指不同年龄段的学生在符号思考上存在的差异。例如，对于“鸡兔同笼”类问题，小学生和中学生的思考方式就存在明显的差别，小学低年级的学生思维处于具体运算阶段，在解决这类题时，他们往往通过列表法或枚举法得以实现；中学生的思维处于形式运算阶段，方程是他们解决这类问题的主要途径。同样都是符号思考，前者更依赖符号的直观，后者更偏好符号的抽象、简洁。性别差异是指同一年龄段、同一学段的男女生在进行符号思考时，在思考的方式或水平上表现出的差别。女生往往过多关注符号表达式的细节，偏好符号的形式预演及图表符号的直观视觉，缺乏对符号的整体把握；男生偏重符号间的整体联系以及对符号的多维度联想，擅长抽象符号间的逻辑推理，但不太关注符号的细节。地域民族差异指由于所处地域、民族、民俗、文化等环境的不同，在（数学）符号思考的方式以及思维水平等方面学生所表现出来的差别。例如，中美两国在地域、民族、语言、文化及生活方式上都存在很大的差异，两国学生在问题解决的过程中，就表现出明显的数学思维差异性：中国学生往往喜欢使用抽象的字母符号策略，更倾向于抽象的数学符号表征方式；而美国学生更愿意使用具体的图形符号策略，倾向于直观的、形象的视觉符号表征。个性差异主要是指在相同的社会文化环境下，相同年龄段的学生由于自身“数学头脑”不同（即不同的思维类型），在符号思维的过程中表现出来的思考方法、策略存在差异。克鲁切茨基的案例分析有力地说明了不同的思维类型所导致的不同符号思考方法。

2.符号思考具有经济性

符号思考是以数学符号这一信息载体为思考对象的。符号以简洁的方式表示事物并能够反应事物的内在本质，使思维从冗长繁杂的自然语言中得到解放，使思维更加集中地关注事物内在的本质关系、结构的研究与规律的探索，促进了思维的经济化。正如德国数学家莱布尼茨所说：“符号的巧妙和符号的艺术，是人们绝妙的助手，因为它们使思考工作得到了节俭，大大节省了思维劳动。”相反，若没有当今西方这种理想的、抽象的、简练的数学符号，那么数学这种高速的科学思维必将为繁杂冗长的语言或其他落后的符号所阻碍。例如，“二天三地人等于四五”。这是什么呢？相信，若不加解释，可能很少会有人明白它所表示的意思。其实，它就是方程“2x+3y-z=45”，就是1906年京师大学堂使用的教科书上的一个方程。当时的教科书就是以符号“天、地、人、元”来表示未知数的。明明一个很简单的方程式就被这种符号表达成了烦琐难懂的形式，看起来都存在障碍，思考起来岂不更费劲。这种符号表达形式延长了思维的长度，阻碍了思维的发展。相比之下，“2x+3yz=45”这种符号表达式更加简洁，简约了思维过程，降低了思维强度，提高了思维的效率。

形式化的数学符号系统看似简洁，却携带着大量的信息，不仅节省了思维，还提高了思维的灵活性，促进了思维的机械化，即使得思维按照一定的模式、步骤解决一类问题。例如，一元二次方程的求根公式是，这一公式不仅说明了方程的根由系数决定外，还反映了方程根与系数之间的联系。在方程系数a、b、c已知的情况下，只要系数满足a≠0，b2—4ac≥0，无论未知数代表什么，用什么字母表示，就可以直接将系数带入公式去求解。求解的过程，只需要遵守逻辑算法和运算顺序即可，不需要考虑别的东西。思维过程完全成了关于符号的操作行为，当熟练后，这种行为几乎成了一种自动的、不需要思考的“机械”技能，这就大大地节俭了思维，促进了思维的进程，实现了思维的经济化。

3.符号思考具有不连续性

这里符号思考的不连续指的是在符号思维过程当中由于思维障碍或思维跳跃所引起的思维间断、不连续。这并不是说思维停止了，相反，此时思维正处于一种非常活跃的状态。符号思考的对象是具有特定意义的物质符号，而符号又具有过程与对象的两重性，即某一符号既可以表示某一数学操作预演过程，又可特指某一确定的数学对象。例如，3+2x既表示给x一个确定的值，求3+2x的值的过程，又可以作为一个单独的代数式整体去参与代数式的操作。正是基于数学符号的这一特性，当思维遇到障碍时，思维就会出现“折回”，“折回”到对符号理解的上一个层次或更上一个层面，“折回”到符号产生、发展的整个过程中去，以求在“对象”的基础上再理解作为过程意义下的符号，以获得作为对象的符号的完整真实意义，最终再参与到已经阻断的思维活动中来。

例如，学生已经知道了（x）代表了某一函数关系，当（x）+g（x）初次呈现在学生眼前时，学生就不好理解了，大多数学生此时想通过两个函数图像的合并来探求新函数，或是通过两函数解析式求和来组建和函数，都试图回到他们最初建立、理解函数抽象符号的过程中去寻找原型。从概念理解的角度来说，学生还未真正完全理解抽象符号（x）的意义，并未完全将（x）作为对象来考虑。要获得思维的畅通，就得“折回去”，对抽象符号“再解压”，打通思维的道路。

我们说思维是有一定顺序的，先干什么，再干什么，这就是思维的序。在教学过程当中，总是存在一部分学生不安“正规”套路思考问题，从他们的回答和书写上几乎很难看到完整的思维流程，思维一下子就从这步到那步了，有时甚至跳跃了好几步。天资一般的人可能一下子还看不太明白，这就是符号思考过程中思维的跳跃。但这种思维的“跳跃”并非头脑没有经过某一环节，而是这看似跳跃了的步骤在短时间内以惊人的速度实现了“穿越”。例如，我们经常可以看到，有些学生在回答问题或作业中总是“少”了步骤，其实这些“少”了的步骤并没少，且完完整整地在学生头脑中出现过，只是我们没有“看”到罢了。这些被“越过”的思维步骤实则是符号思维过程的省略、压缩或合并。例如，对于分式方程，我们一般的思维过程是在方程两边乘以最简公分母去掉分母，如将分式方程化为整式方程，最后得解；而有的学生就直接呈现2（x+1）+2x=5x，甚至是4x+2=5x，在问起这一式子是怎么来的时候，他们的回答虽不一致，但可以看出他们的头脑中确实进行了去分母和合并同类项等看似省略的步骤。这种跳跃从某种层面上也可被认为由符号的简洁所带来的思维节约。

4.符号思考具有广泛的适用性

正是数学符号的抽象性才带来了数学在各行各业的广泛应用，而应用数学解决问题实际上就是从建立数学模型到解决数学模型的思维活动过程，表现为一系列的符号操作过程，这一过程就是实实在在的符号思考过程。哪里用数学哪里就在进行符号思考，数学已经渗透到我们生活的方方面面，各行各业都在应用着数学。小到我们日常生活的琐碎事件，大到工程项目建设、方案投标、医学医疗、科学研究等诸多方面，无不在进行着数学符号思考。例如，你去楼下吃早餐，付钱时你头脑内部就在计算：一个包子一块，吃了两个，是两块钱，一碗胡辣汤两块五，一个鸡蛋一块五，总共是……，应找我……这个思维过程就是一个完整的符号思考过程。又如，高中阶段“简单的线性规划”求最优解问题，就是将约束条件和目标函数用不等式和方程表示出来，再画出满足这些约束条件的图形区域及对目标函数定位，然后寻找图形区域上距目标函数直线最远（近）的点，即问题的最优解；医学上通过观察心电图来确定患者的生命体征；证券交易所内交易者通过观察分析股票的波动图来预测股票行情；宇宙空间技术的开发研究，也是先将所要研究的问题符号化，建立模型；红学研究者为了弄清《红楼梦》前八十回和后四十回是否同出曹雪芹先生之笔，对前八十回和后四十回中所使用的量词、代词进行了统计分析；计算机行业的软件编程就是离散数学的应用，而离散数学正是完全的符号操作活动；交通运输系统的调动以及互联网等都是数学分支图论的应用，而图论正是以图形和符号为思维对象的；对于公路、桥梁的建设，桥墩之间的跨度距离、抗震烈度、承载重量、混凝土的比例等，相关工作者要么是通过观察各量之间的关系图来进行分析、预测，要么是建立函数、方程、不等式等表达式进行符号的推理操作来解决问题，要么是通过收集数据、绘制数据图来分析预测发展趋势等。这都是在进行着相关的符号思考，可以说，在我们的生活空间中，无时无刻不存在着符号思维活动，符号思考已经成为我们日常生活中头脑思维必不可少的成分。

（四）符号思考的作用

1.发展符号思考有助于学生感悟数学的基本思想

有一项调查显示，学生毕业离开学校后，如果不继续从事数学工作，那么他们在本职行业中几乎很少会用到在学校所学到的具体数学知识，唯有那些在具体数学知识学习过程中感悟到的数学的思想、方法，使他们受益终生。而符号思考就最为集中地体现了数学的抽象、推理、模型等基本数学思想。举一个大家比较熟悉的例子：“一个房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个，若椅子腿数和凳子腿数总共60条，那么椅子和凳子各几个？”这是大家都比较熟悉的鸡兔同笼问题，对于这类问题，学生可以用不同的方法加以解决。学生可以在四则运算的基础上，通过列表来分析椅子数的变化引起凳子数和腿总数的变化规律，直至得到答案；也可以通过一元一次方程加以解决，可设椅子数为a，则凳子数为16-a，得到方程4a+3（16-a）=60；还可利用二元一次方程组求解，可设椅子数是a，凳子数为b，由题意可得a+b=16，4a+3b=60。这三种方法就最为深刻地体现了数学的模型思想，表格、方程、方程组是关于这一问题的三种不同模型。

无论是在列表探索的过程中，还是在设未知数、寻找等量关系建立方程（组）的过程中，学生都亲身经历了实实在在的数学建模过程，深深感悟到了数学的模型思想，加深了对不同模型的理解。当然，这三种模型也不仅仅是这一问题的模型，它们更是一类问题的模型，是舍弃了现实对象一些非本质属性后的纯粹数学关系结构。此时，随意替换原问题中的非本质条件，就可编制出各式各样的新问题，但所编问题只是形式新、表面新而已，题的本质没变，所建模型还是原有模型。例如，绿豆每斤4元，黄豆每斤3元，绿豆、黄豆放一块，王阿姨共买了16斤，花了60元，问绿豆、黄豆各买了几斤？教学中教师若能对题目中的非本质条件做适当改变，或让学生根据数学模型进行编题，让学生亲身经历这种变化过程中的不变，深深感触到根据同一数学模型可以编制出不同的题目来，相信会有助于学生更好地感悟数学的模型思想。

另外，这三种思考方法还深刻反映着数学的抽象思想及推理思想。例如，符号表达式a+b=16就是对“4条腿的椅子数和3条腿的凳子数总共16个”这一数量关系的抽象，4a就是对“每张椅子4条腿，a张椅子总共4a条腿”这一关系的抽象。这些都是舍弃了事物非本质属性的数学抽象，体现了抽象的数学思想。又如，若设椅子数为a，则凳子数为16-a，就是在进行推理。列表、解方程（组）的过程中无时无刻不在进行着运算，而运算实际上就是在逻辑和算法下的推理，从思想层面上讲，都是推理思想的集中体现。

2.发展符号思考有助于学生积累数学基本活动经验

义务教育数学课程总目标指出，在义务教育阶段的数学学习中，学生要能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学“四基”。这里“适应社会生活”指的是义务教育阶段的数学学习对当下生活、学习的现实意义；“进一步发展”指的是义务教育阶段的数学学习对学生人生发展的长远意义，换句话说，这实际上是在强调数学课程对人的可持续发展的作用。而人的可持续发展主要受制于人的直观能力和思维水平。而人的直观能力形成于“先天客观存在与后天主观经验”的有机结合中。因而，要实现人的可持续发展，学生就必须获得一定的基本活动经验。这里的基本活动经验指的是，学生在亲身或间接经历了数学活动过程后所获得的具有个性特征的经验。

这里主要是积累数学思维的活动经验，是数学思考的经验。从符号学的角度而言，数学思考的对象就是数学符号。因而，从这个层面上讲，数学思考的经验就是符号思考的经验。符号思考的过程主要以推理为主，在这一过程中学生既可以获得逻辑推理的经验（证明的经验），还可以获得合情推理的经验（猜想的经验、归纳的经验、类比的经验）。

例如，教师引导学生探索如下运算规律：15×15=1×2×100+25=225；25×25=2×3×100+25=625；35×35=3×4×100+25=1225。教师引导学生思考：“这样的算式是否具有更为一般的结论或模式呢？如果用字母a代表一个正整数，那么（a×10+5）2=a（a+1）×100+25。但是，这只是猜想而已，对任意的正整数a都成立吗？我们需要证明它的任意性，（a×10+5）2=a2×100+2a×10×5+25=a（a+1）×100+25。”这样一来，学生就经历了从特殊到一般的过程。学生在具体数值计算后猜测、归纳出更一般的符号表达式，再到对所猜测结论的证明。在这一过程中，学生不仅积累了归纳的经验、证明的经验，还积累了解决问题的策略性经验以及探索的经验，同时也积累了情感的体验。

又如，让学生记录自己在一个星期内每天上学途中所花费的时间，并从这些时间数据中发现有用的信息。在这一活动过程中，学生经历了收集数据、整理数据、分析数据、统计推断的过程（对数据进行分析、统计、推断等活动实际上就是在进行符号思考），体验到了统计的思维方式，获得了数据分析、统计等的直接经验。

再如，在解方程的过程中，学生就可以获得解方程的经验；在列方程解应用题的过程中，学生就获得了数学建模的经验。

但思维的过程并不是独立存在的，往往伴随着一系列的外在行为活动（动手操作活动、语言交流活动）。例如，我们经常会见到，在思考问题的过程当中，学生会在纸上根据题意画图或是写一些不严谨的计算或推理，抑或是借助实物进行模拟（折纸、拼凑图形等），经历了这样的过程，就积累了动手操作的经验（画图的经验、折纸的经验……）、计算的经验、推理的经验等。当出现思维障碍时，思维主体往往会停下来对自己已有的思维过程进行反思，或寻求帮助，进行思维的交流。这就有利于学生积累独立思考的经验、反思的经验、数学交流的经验及语言表达的经验。

3.符号思考有助于培养学生的创新意识

当今社会，创新几乎遍及生活的每一个领域，企业讲创新，管理讲创新，制度讲创新，城市讲创新，技术讲创新，教育讲创新，知识讲创新，还有创新型社会等。创新已经成为这个时代的主题，它是一个民族进步的灵魂，人类社会的每一次进步都与创新有着重要的联系。例如，铁器的使用、商鞅变法、四大发明、王选激光排版技术、蒸汽机的发明、灯泡的发明等，都是技术或制度的创新，每一次都推动着人类文明的向前发展。时代对教育系统提出了培养创新型人才的要求，数学课程就要把培养学生的创新意识作为课程的核心。创新以发现问题和提出问题为基础，以归纳猜想并加以验证为重要方法，以独立思考为核心。而符号思考恰恰为创新意识的发展提供了土壤与养料。

符号思考为创新提供了其根基生长的环境。问题是创新的基础，在符号思考的过程中，通过对数学符号的操作（推理和预演）往往能够发现一些新问题，提出一些新想法。例如，在对欧式几何第五公设思考的基础上，罗巴切夫斯基发现了“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”，并创设了罗氏几何；黎曼在对前人经验思考的基础上，提出“存在这样的几何——‘过直线外一点，不能做直线和已知直线平行’”，并在此基础上创立了黎曼几何；库莫尔（Kumore）在思考费马猜想的过程中创立了“理想数论”；在探讨哥德巴赫猜想的过程中，史尼尔曼创造了“密律法”。

另外，符号思考有助于学生积累数学基本活动经验，主要包括数学归纳的经验、猜想的经验、证明的经验以及独立思考的经验等。而这些经验的积累、总结，就为创新提供了方法、思想。