关于数学符号的功能及策略探究

（一）有关数学符号的功能研究

1.数学符号的总体功能

李文林先生指出，从17世纪末以来，数学家普遍认识到，在数学中刻意使用符号具有很好的功效，可以使问题更具一般性，数学家认为数学符号具有以下10项功能：①传递；②记载知识；③形成新概念；④使复杂多样的分类变得简单明了；⑤解释；⑥使反省活动成为可能；⑦有助于揭示结构；⑧使操作程序自动化；⑨信息的恢复和理解；⑩创造性的智力活动。李士绮在《PME：数学教育心理》一书中提到，数学符号具有以下功能：记载知识；概括结论；压缩信息；实现运算自动化；提供反省对象。田万海在《数学教育学》一书中归结了数学符号的4项功能：确定符号意义的功能；形成数学元素之间关系的功能；依照一定规则进行运算的功能；约定辅助功能。黄翔在《数学方法论选论》中将数学符号的功能概括为抽象性、明确性、可操作性、通用性等方面。

2.数学符号的思维功能

刘云章教授在其文章《试论数学符号的思维功能》中，从思维的载体、暗示信息、约简思维、刺激联想、诱发数学灵感等方面初步探讨了数学符号的思维功能。他认为，数学符号的载体功用主要表现为可以表示一般规律、构造数学模型、表达数学思维模式等三个方面；数学符号暗示了解题的思路及方向，“运算符号蕴含了相应运算的基本性质，具有意指作用，它所暗示的隐含条件对于数学解题是头等重要的”，“在数学题设条件中，数字及字母符号所呈现出的各种特征都暗示着某种解题思路”。他通过大量简单的实例，从思维运算的方向上（横向、纵向、逆向）具体分析了数学符号激发联想的功能；并试图通过波利亚的案例启发读者领会灵感是怎样产生的。倪健从培养纵向思维能力、培养横向思维能力、培养逆向思维能力、培养多项思维能力等四个方面出发，通过大量中学案例阐述了数学符号对培养思维的作用。周宇剑认为，数学符号语言作为数学思维的外部表达形式，体现了数学思维的概括性、间接性、整体性、相似性和问题性等特点，简化了数学思维过程；对数学符号语言的教学，有利于数学形象思维、抽象思维、创新思维的发展。

宋君成在《数学符号——逻辑思维经济性的最佳载体》一文中，从数学符号所具有的确定性、简明性、统一性等三个方面出发，站在哲学的角度阐释了数学符号思维的经济性功能。他认为，数学符号“以其简洁性形成数学思维模式”，具有约简思维过程，降低思维强度，提高思维效率的认知功能；具有激发联想的功能；有助于使思维更简缩和灵活，能促进思维的“机械化”。

（二）有关数学符号的教学策略研究

广大学者及一线教师在深入研究或在结合具体教学实践的过程中，站在不同的角度，多层次、多方位地提出了有关数学符号的教学策略或方法，大致可以概括为以下四个方面。

1.要让学生体会引入数学符号的必要性(www.xing528.com)

数学符号语言教学首先应“使学生认清学习数学语言的必要性和意义，……在引进新符号时，要让学生有充分的思想准备”。正如英国著名数学教育家豪森（Hausen）所指出的：“没有必要引入任何符号或缩写，除非学生自己已经深深感到了这样做的必要性，以至于他们自己提出这方面的建议。或者至少，当教师为他们提供时，他们能够充分体会到它的优越性。”林革、王钱海等认为，在教学过程中，小学教师应当在展现自然语言诸多缺陷的同时，还应“让学生感觉到引入新符号的必要性，并从中体验到优越性”。

2.要注重不同数学语言之间的转换

数学语言的教学，要注重文字语言、符号语言、图形语言之间的转化，不同的语言形式代表了不同的思维方式，各语言形式间的有效转化有助于学生认清相关概念和问题的本质。鲍建生认为，要“重视普通语言与数学语言的互译”。周宇剑认为，要“培养学生将数学叙述语言转化为数学符号语言的能力”。刘吉存认为“数学符号语言充满形式化，……如果只偏重于数学符号的纯形式化方面，而不考虑其所代表的对象或思想，就会给学习造成严重的后果，而通过向其他语言的转化，给数学符号提供新的视觉情境，从而打破定式，出现‘柳暗花明’的思维高潮”。赵晓雄认为，“在数学教学中强化学生三种数学语言之间的沟通与转化训练，是培养与提高学生数学语言能力的有效措施之一”。张国平认为，培养学生良好的符号感应，“加强数学语言间的切换教学”。李桂强在《谈中学生数学符号感的培养》中指出：“对于一个数学对象从不同的角度去观察会产生不同的表达形式。因此，将一种‘符号表达’从一个角度转换为另一个角度的‘符号表式’，可以沟通知识之间的联系，这样也就存在着符号间转换的根据与可能，也有利于问题的解决。”陈美娟在《学生数学符号感的培养》中也强调：“借助‘互译’来理解符号、通过转化来掌握数学符号。”并指出：“用多种形式描述和显现数学对象是一种有效地获得对概念本身或问题背景深入理解的方法，因此，用多种表示方法，不仅可以加强对概念的理解，也是解决问题的重要策略，并且通过相互的转化，更有助于学生从不同角度来把握相关数学符号。”

3.要注重揭示数学符号的含义和本质

数学语言教学不仅应加强分析数学符号所暗含的深层含义，还应强调语义的解释和句法的分析，从而把握数学符号所传达的精神实质。张国平认为，符号是表示数学概念的常用形式，在教学中要充分理解数学符号的本质和内涵，就是要揭示数学概念的实质和含义。刘云章认为，数学符号与数学概念是不可分割的，二者联系密切；“只有正确理解概念，才能从符号中感知数学信息”。周宇剑认为，如果在语义和句法上不能全面把握数学符号语言，那么进行数学推理和判断就是不可能的；若不能把握数学符号的本质内涵，就会出现推理上的混乱。他强调，“在教学中要引导学生正确理解数学符号的含义，注意提醒学生掌握数学符号和数学式的多义性”。此外，“运算符号、数字规律、表达式的结构特征及图像符号均暗示了数学信息，暗示着解题思路”。因此，“在数学教学中要抓住符号创设的启发性原则，注意充分挖掘符号的暗示功能”。

4.重视学生已有的生活经验和学生的心理发展规律

在教学中，教师应充分利用学生已有的生活经验，引导学生认识、收集生活中的各种符号，并加以交流，建立事物与符号之间的对应关系，以此来“挖掘已有生活经验中潜在的‘符号意识’”。陈美娟也认为，要发展数学的符号感，“首先要承认学生经验中的‘符号世界’”，张扬个性，体验数学符号。另外，根据学习心理学的相关理论，教学内容及教学方式要考虑各阶段学生的心理发展水平。在教学时，教师要“根据学生的心理规律，科学地安排数学语言教学”。在起始阶段，宜以学生最熟悉的语言为主，来解释数学的符号、图像，表达数学思想和定理；注意分散难点、循序渐进，使学生内化数学语言。

此外，还要注意数学语言之间的交流，作为教师还要认清学生在学习数学符号时可能存在的困难等。在培养学生使用符号思考数学问题时，以上关于数学符号教学的诸多策略为我们研究数学符号思考的策略提供了重要的参考价值。