数学符号及其意义的综述

（一）符号及数学符号

符号是上位概念，而数学符号是下位概念，先要界定符号的含义，才能准确概述数学符号的内涵，并归纳出数学符号的特点和分类。

1.符号

“符号”一词最初源于古希腊。在《牛津高阶英汉双解词典》中，“符号”用英文“symbol”表示，“符号”被看作象征、代号、记号。在《辞海》中，“符号”同样有两种含义：一是记号；二是在数字通信中，表示数字信息用的不同取值或状态，如二进制符号“0”“1”。

从知识论和逻辑学的视角来看，认知思维对符号与现实具有联结作用。索绪尔（Saussure）从语言学的角度出发，认为事物甲可以代替事物乙，则事物甲就是事物乙的符号。在符号学领域中，皮尔斯（Pierce）提出：“符号的目的就在于表达‘事实’，‘人的思想本身就是符号’，即‘思想符号’，而且所有其他符号最终都会在思想符号中得到解释。”我们看出，皮尔斯说的“符号”和索绪尔提的“符号”都是具有某种意义的物质对象。我国学者刘云章认为，“‘符号’可以是某事物的代号，它的作用就是让生活中复杂的事物简单化”。这种对符号的理解更多是从功能角度来说的。

在日常生活中，“符号”就是指事物的记号。首先，符号具有代表性，如x代表未知数，那么x就是未知数的表示符号。其次，符号含义有广义与狭义之分。例如，人睡觉之前打哈欠、下雨之前乌云密布等，这便是广义的符号。又如，红灯停、绿灯行，这是交管部门的规定，这便是最狭义的符号。另外，我们祖国伟大的五星红旗中，红色代表革命，五颗星是黄色，寓意中国人是黄种人。这其中蕴含意义和代表事物之间联系明显，可谓介于前两者之间的广义符号。

通过文献的梳理，笔者了解到任何符号都有其特定意义。本章对于符号的定义仍沿用上述“符号是人类所承认的‘有意义’的象征、记号、代号”的观点。

2.数学符号

美国数学家扬（J.W.Yong）在《数学教学》中写道：“数学内容是运用包含着大量符号的数学语言来表述的，因而数学训练能为学习其他学科做最好的准备……世界上任何科学工作都需要运用与精通符号。”形式主义学派曾提出“数学对象就是符号本身”这一看法，而柯恩（Cohen）还将数学看作一种纯粹的符号游戏。虽然这些看法具有片面性，但从侧面反映出数学语言的符号化特征。

我国数学家梁宗巨曾说：“符号在数学中的使用是开天辟地的大事，合适的符号要体现其简洁性和准确性。”这种说法表明数学符号就是为了人类记事简便而产生的准确的语言。刘云章提出：“数学符号是人们为了把抽象的数学概念传播出去而借助的一种具体的、使人能感受到的不得不被无休止地使用的代用物。”数学科学有时候在欧洲被称为符号科学，这在一定程度上告诉我们学好数学的关键就是理解数学符号，没有数学符号就没有数学今天的发展。

在《数学符号史》中，数学符号有两种含义：一是单指表示数学概念的符号；二是泛指整个数学符号体系，即不仅包括表示数学概念的符号，也包括表示数学命题和数学推理所使用的一切符号，以及其他专用符号等。

本章结合《义务教育数学课程标准》将“数学符号”理解为“在数学中用以表示数、数量关系和变化规律的记号”。

3.数学符号的特点

现在中小学常用的符号有100余种。这些数学符号都源于现实，在某种程度上具备一些共性。

第一，简单化。数学符号一般用拼音、拉丁字母、希腊文或缩写字母等来表述。例如，完全平方公式：两数的和（或差）的平方，即它们的平方和加上（或减去）它们的积的两倍；用数学符号表述便是（a±b）2=a2±2ab+b2。这样看起来，我们发现数学符号比冗长烦琐的汉字表达更加简洁明了，充满美感。

第二，准确性。不同符号在特定情境中有其特定含义，基本不会出现歧义，如cm（厘米）、mL（毫升）等。

第三，严格性。数学符号是创造出来的，但是创造的过程务求严格性。数学符号的严格性主要是指运用一些数学符号进行逻辑推理的时候，我们必须先从基础的数学符号出发，按照一定的逻辑规则，推出我们所需要的概念，如三角形全等的证明。

第四，抽象性。数学符号没有直接的现实原型，许多数学符号是从现实中抽象出来的，舍弃了事物某些方面，保留了某种意义。例如，“R”表示“实数”，反应的是一类数，不是具体的哪个数。

第五，直观性。几何中的许多符号都是由其图形缩小而来，如三角形“△”等。这样看着就直观明了，把数学概念的含义融入了数学符号之中。

4.数学符号的分类(www.xing528.com)

研究的出发点不同，对于数学符号的分类也就有所区别，那么按照不同标准可以将数学符号分类。按照符号的功能可将其分为“元素符号、关系符号、运算符号和辅助符号”；李士琦将符号分为“字母和数字、标识符号、象形符号、标点符号”等四类。除了上述两种分类，还有按照表征对象、功能、用途的分类。例如，按照主要作用分元素符号、关系符号、运算符号、约定符号、性质符号、顺序符号等。对于数学符号按照其作用分类是非常普遍的分法。这样有助于师生认识每类数学符号的含义、机构及内容，从全新的视角去审视和学习数学概念和定理。厘清数学符号的分类方法和常见的分类能够系统地理解数学符号，帮助教师进行概念教学，提高教学质量。

（二）意识与数学符号意识

在知道数学符号的定义之后，我们还需要从心理学等角度对意识的内涵进行分析而确定数学符号意识的含义及其行为表现。

1.意识

在《辞海》中，“意识”一词有两种解释：一是哲学范畴，与“物质”指的是“人脑的机能和属性”；二是佛教唯识宗将心识分为八类，“意识”属于其中一类，建立在前五种“耳识、眼识、舌识、鼻识、身识”之上，这五种就相当于感觉，而意识就是建立在感觉之上形成的思维等。查阅《牛津高阶英汉双解词典》可知，关于“意识”一词的英文除了“consciousness”，还有“awareness”。其中，“consciousness”有三种含义：①清醒状态，知觉；②觉察，感觉，意识；③观念，看法。“awareness”的含义为“认识，意识，兴趣”。对比“consciousness”与“awarenes”awareness，第一个更为接近现在我们对于意识的理解和定位。从心理的状态来看，“意识”指清醒、注意等；从内容来看，“意识”能够用一些方式呈现，如用语言报告出对幸福的感受等；从行为水平来说，“意识”指的是主体受自身意愿控制而做出的行为或活动。笔者认为意识具有内隐和外显的特征，意识的内隐性体现为个体受思想的引导而具有的一种积极的认知倾向，意识的外显性大致体现在符号理解、符号表示和符号操作的能力方面。本章中的意识是指“对事物的认知之后，经历相关操作形成的内在的思想和外显的能力”。

2.数学符号意识

《义务教育数学课程标准》对“符号意识”仅仅从行为结果来阐释，即“符号意识”主要是指能理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。

NRC认为，符号感就是对符号的感知和符号操作的能力。也有人认为符号意识不仅是一种能力，更是一种思维活动，他们一致认为符号意识是对符号的一种直觉，一种理解结合运用符号的能力。另外，亚伯拉罕（Abraham）认为符号意识是对符号的鉴赏、理解、直觉。我国学者何小亚提出“符号感”不是对符号的感觉，而是一种基于理解与应用的观念。曹艳荣认为符号感是“人去理解符号的意义、作用以及主动使用符号的意识和习惯”。王兄认为符号感通常是指对数学符号的感受以及领悟能力。这些观点大多赞成将符号感外化为一种能力。更有学者将其看作一种思维活动。也有研究者认为，知识与技能是个体在数学问题解决过程中的积淀，但是“数学符号意识”却是超越它们而存在，让数学学习能够超越繁杂的累积。

基于心理学、符号学、数学学科等角度，本书中的“数学符号意识”指，在符号思想的引导下，学生将现实问题符号化为数学问题的主观心理活动（内隐性），并在通过符号的理解、表示、操作等方式解决数学问题的过程中所展现的能力（外显性）。简言之，数学符号意识是指既拥有数学符号思想又具有数学符号能力。

3.学生数学符号意识的表现

从心理学角度考虑初中生年龄特点和逻辑思维能力，结合初中生数学学习内容及课程标准中关于数学符号意识的内涵解读，笔者把初中阶段学生数学符号意识的主要表现归结为以下四点。

第一，每个数学符号都有它特定的含义，如“+”“-”就表示特定的运算意义。学生阅读文字、图表等信息时，能识别文中的关键字词和数学符号，清楚它们的内涵，能分别它们的类别和知道对应的性质。（符号理解）

第二，学生不仅知符号之意义，而且知其用法。因此，运用数学符号表示数、数量关系、变化规律就是“用”数学符号的关键；“用”是一个由简单到复杂、由相对具体到相对抽象的过程。（符号表示）

第三，从某种意义上来说，数学符号意识作为一种“意识”需要在平常的数学学习中不断强化；要求学生在逻辑法则下使用符号进行运算、推理的训练，如变量替换、关系转换、等价推演、模型抽象等。

第四，在解决具体的数学问题时，学生能够表现出主动运用符号进行思考，这种思考可以称为“符号思考”。

4.“符号感”与“符号意识”的区别

首先，两者意义不相同。在生活中我们常接触到“语感”“手感”“球感”等一些词语，这些可以外显为人的一种能力，同时“感”是由外界作用于主体而产生，不是通过大脑思维，而是通过感官生成。从心理学角度来分析，“意识”是包括感觉、思维在内的一种认识活动，思维具有主导地位；在人的各种心理活动中，它发挥着调节、指导、控制的作用。所以“意识”不仅包含感觉的成分，也包含个体主动去“做”的倾向，故二者表达意义不同。

其次，二者使用范畴各异。“符号感”仅仅是强调学生能够表达“数量关系和变化规律”，而“符号意识”在前者基础上还强调对“数”的理解、符号的处理，也明确提出学生的首要任务是知道符号的内涵。因此，学生除了要知道符号的类别和用途，还要知道从符号抽象出来到进行表征再到符号操作甚至是符号表示方法的转化等。

从课程标准方面来看，其关于“感”的表述很多，但课程目标不够具体，具体实施起来不好把握尺度；“意识”更能体现课程目标的价值取向及数学符号的本质意义。