数学史与微积分教学的完整案例优化

（一）案例一：“导数的概念”教学设计

【教学目标】

1.知识与技能

第一，通过求变速运动物体的瞬时速度与加速度，能够区别与转换平均变化率与顺势变化率，理解导数的概念。

第二，通过函数图像分析，能够理解导数的几何意义，能够求出函数在任一点处的导数。

2.过程与方法

第一，通过演示曲线上两点间的斜率逐渐变成一点处切线斜率，体会倒数的几何意义，理解极限的数学思想。

第二，通过从平均变化率到瞬时变化率的抽象过程，培养抽象迁移能力，体会数形结合的数学思想方法。

3.情感、态度与价值观

第一，通过求变速运动物体的瞬时速度，体会极限的数学思想。

第二，通过讲述微积分的曲折发展史，学习数学家为追求真理而不断探索的精神。

【教学重难点】

教学重点：导数的定义和用定义求导数的方法，体会导数的几何意义。

教学难点：理解导数的概念和“极限”的数学思想，运用导数概念求曲线某点的切线方程。

【教学过程】

1.情境引入

教师用多媒体呈现2012年伦敦奥运会女子双人10米跳台决赛的视频片段。

教师提问：“在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：h（t）=-4.9t2+6.5t+10，那么如何求t=2s时的瞬时速度？”学生利用所学过的物理知识很快可以算出答案。

教师讲述数学史知识，告诉学生在他们眼中这么简单的物理题在几个世纪前困扰了许多物理学家和科学家。科学家都知道不能通过用位移与时间的比值来求变速运动的物体在某个瞬间的速度。因为对于某个时刻来说时间和位移都为零，它们的比值在数学上是没有意义的。如何求物体的加速度与瞬时速度始终困扰着许多科学家，其他由光学和数学最值衍生出来的问题的解决思路也出现了类似的矛盾。17世纪中期，伽利略、笛卡尔、费马等数学家和物理学家尝试从不同的角度去解释这几个问题，无形中累积了不少微积分知识，这个时期正是微积分创立的酝酿阶段。其中正是变速运动的瞬时速度和加速度的问题让微积分引起科学家的关注。因此，正是这些物理问题的提出促进了微积分的创立和发展。

2.生成概念

教师再次提问：对于数学家在17世纪提出的问题当前应如何解决？

在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：h（t）=-4.9t2+6.5t+10，那么如何求t=2s时的瞬时速度？

教师引导学生回忆上节课中如何求平均变化率，并借助平均变化率的概念要求学生求出物体在某个时间段速度的平均变化率。比如，在时间区间［2，2+Δt］的平均速度，==-4.9Δt-13.1（Δt＞0）时。

同样的方式计算Δt＜0时，在［2+Δt，2］时间段上的平均速度。

教师提问：“怎么取Δt才能使得这两个区间上的平均速率近似代替t=2s时的瞬时速度？”并引导学生回答，只要Δt无限小，那么区间［2，2+Δt］和［2，2+Δt］的长度就会非常短，非常接近零，这时候平均速度就会无限趋近t=2s时的瞬时速度，因此运动员在t=2s时的瞬时速度为-13.1m/s。

教师继续计算：=9.8t0+6.5。

这个常数叫作在t=t0处，当Δt趋近于0时，平均速度v的极限。例如，-13.1是在t=2处，当Δt趋近于0时的极限。

学生不难发现：Δt→0时，平均速度会无限趋近一个常数，这个常数是一个确定的数值，它与时间长度无关，因为已经令时间长度趋近于零，但是与具体的时刻有关。

教师讲解导数概念：一般地，函数y=（x）在x=x0处的瞬时变化率为。

我们称它为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作f'（x），即。

教师在此提问：“平均变化率和瞬时变化率有什么区别与联系？”

学生经过思考后可以得出结论，平均变化率是相对一个时间段来说的，而当时间无限趋近零时，平均变化率就会非常接近瞬时变化率。

教师渗透数学史知识：“刚才我们提到如何求变速运动物体的瞬时速度是困扰17世纪许多科学家的四大难题之一，围绕着这几个难题，不少数学家和物理学家为微积分的创立做了不少尝试。直到17世纪中晚期，牛顿和莱布尼茨分别在物理学和数学的两个领域总结前半世纪的经验教训，创立了新的数学分支——微积分，并阐述了微分与积分之间的联系，提出微积分基本定理，将两者的关系用数学符号语言进行描述。但是他们的著作对导数概念中的极限思想描述是含糊不清的，在18世纪引起了许多数学家和哲学家的争议，并引发数学第二次危机。因此，贝克莱（Berkeley）对当时的微积分进行了批判，他认为无法想象时间为零时的瞬时速度，也认为牛顿取了不等于零的增量x，却又在演算的最后令它为零，前后是矛盾的。由于微积分创立存在含糊不清的定义，也导致了数学史上第二次危机的出现。将分析最终严格化的数学家是魏尔斯特拉斯，他创立了ε—δ语言，目前高等数学教材中极限、导数的定义均是由ε—δ定义，使数学分析达到了现在的严格形式。鉴于魏尔斯特拉斯的突出贡献，后人称他为‘现代分析之父’。

（设计意图是让学生在学习导数概念的同时了解微积分这一数学分支创立的曲折过程，让课堂更加丰富立体具有历史文化氛围，让学生了解每一个真理诞生的背后科学家默默付出多少艰辛。他们也可以从中发现数学追求的是严谨、精确，不允许模棱两可。）

3.应用概念

教师提问：能否总结如何求函数y=f（x）在x=x0处的导数的步骤。在学生回答的基础上，教师进行补充完善。

例1：为了获得更多不同品种的工业原料，需要对原油的温度进行加热和冷却处理。如果第x（h）时，原油的温度（单位：℃）为f（x）=x2-7x+15（0＜x≤8）计算第2（h）和第6（h）时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。

例2：神舟二号点火离开地球的过程中，在熄火的瞬间速度达到100m/s。那么熄火后经过多久神舟二号速度变为零？神舟二号在熄火后第7秒和第11秒时的速度是多少？如何解释这三个速度的含义？

（设计意图：考查学生是否理解瞬时变化率的含义，以及能够熟练求出简单函数在某点处的瞬时变化率）

4.归纳总结

首先让学生小结并交流，教师在学生交流的基础上进行补充。教师总结：“本节课中我们通过借助上节课平均变化率的概念生成新概念——导数，这个过程使用了‘极限’‘逼近’的数学方法来求得瞬时变化率；当自变量的增量趋向于零时，函数在两点处的平均变化率会无限接近函数在该点的瞬时变化率，其中蕴含了深刻的极限数学思想。我们一节课所学的内容看似不多，但是从极限思想在罗马时期的萌芽到17世纪牛顿和莱布尼茨创立微积分，再到18世纪魏尔斯特拉斯最终严格化微积分的定义来看，这是无数科学家长期埋头苦思钻研的成果。”

求导数的步骤大致分为以下三步：第一步，求函数增量；第二步，求平均变化率并化简；第三步，求平均变化率的极限，即导数。

【教学反思】

通过跳水的生活实例，再以数学史内容引入课题，提出本节课的重点，即求瞬时变化率，通过引导学生将平均变化率取极限得到导数的概念。在这个过程中，学生在已有知识的基础上架构新的知识，自然形成概念，并能进一步体会到数学教材中一个简单的概念是历史上许多科学家付出长期艰辛研究的结果。教师在例题设置中安排了生活实际问题，学生进一步感受到数学源于生活，也能提升学习数学的主观能动性，对于教学目标中的知识目标完成得较好，能够利用概念求出平均变化率。在教学过程中教师虽然没有直接将知识讲解给学生，但是教师的引导过于明显，学生自主思考空间不够。因而在探究平均变化率取极限的过程中，教师可以让学生多尝试计算不同时间段的时间变化率，亲自去探究取极限的过程。另外，在数学史的讲解中，教师可以将第二次数学危机产生的原因简单分析一下，学生在课后对于牛顿和莱布尼茨定义的微积分存在不足这部分内容非常感兴趣。教师可以以此为契机激励学生努力学习，在大学中去探究高等数学教材中导数概念与现在教材的区别。

（二）案例二：“曲边梯形的面积”教学设计(www.xing528.com)

【教学目标】

1.知识与技能

通过呈现“刘徽无限细分圆的内接正多边形”的数学史材料，让学生经历求曲边梯形面积的无线分割过程，掌握求曲边梯形面积的一般步骤。

2.过程与方法

经历用无限分割以及以无数条直边代替曲边的方法求曲边梯形面积的过程，感受其中“以直代曲”和“无限逼近”数学思想方法。

3.情感态度价值观

通过曲边梯形的面积这一实例，了解定积分的几何背景，感受数学史的曲折发展。

【教学重难点】

教学难点：在借鉴刘徽无限细分圆的内接正多边形面积代替圆的面积思想时，怎么把以直代曲和无限分割的方法巧妙转换到求曲边梯形面积上；对极限思想的理解，即取极限时为什么曲边梯形的面积就是无数个小矩形的面积之和。

教学重点：探究求曲边梯形面积的方法。

【教学过程】

1.史料引入

教师展示材料：魏晋时期的数学家刘徽以极限思想为指导，提出通过“割圆术”求圆周率。刘徽认为，按照“周三径一”的方式计算的圆周长可以被认为圆的内接正六边形的周长，那么在借助圆内接正六边形把圆周平均分成为六条弧，接着细分，将刚才的每段劣弧一分为二，得到圆的内接十二边形，后者的周长必定比前者的周长更接近圆周；如果按照这种方法继续分割，容易得到圆的内接正二十四边形，它又会比圆的内接十二边形更接近圆的周长；把圆周分割得细，就能最大限度地减小误差，其内接正多边形的周长就越接近圆周；按照这个思路继续切割，取极限，即圆内接正多边形的边数无限多的时候，它整个正多边形的周长就是圆周长了。因此，他断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，这与阿基米德的穷竭法是一致的。刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值。他对自己发明“割圆术”充满信心，使数学发展也大大向前跨越了，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据之一。

提问1：圆的内接正多边能替代圆的面积吗？为什么分割的边数越多越好？

提问2：在刘徽的“割圆术”中，有哪些关键的步骤？

（设计意图：通过问题1引导学生回忆割圆术的做法，通过问题2并结合几何画板，引导学生思考割圆术中的思想方法——“以直代曲”和“无限逼近”。）

2.类比迁移

教师给出曲边梯形的概念：如图3-2所示，由直线x=a，x=b，x轴，曲线y=f（x）所围成的图形称为曲边梯形。

图3-2

提问：能不能借助刘徽的思想方法去求出图中的曲边梯形的面积？其中哪些步骤是非常关键的？

学生按照学习小组进行讨论，提出各自的方案。

（设计意图：通过问题引导学生根据刘徽割圆术的思路有的放矢地进行探究，在小组探究活动中发挥学生的主动性。因为在曲边梯形中不能构造内接正多边形，所以生搬硬套割圆术的做法是行不通的，需要学生在充分理解无限分割和替代思想的前提下灵活地迁移和应用。）

学生分小组派代表汇报小组结论。

教师引导学生比较不同小组方案的优缺点，让学生辨别哪种方案体现了无限分割和以直代曲的思想，哪种方法更容易操作？

3.形成方法

这个教学过程需要借助上一环节中学生讨论和比较得出的可行方案，按照这个方案举行具体步骤进行操作，求出曲边梯形的面积。

教师给出一个具体的二次函数，引导学生借助上面的方案求由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积。为了完成这一目标，借助以下几个问题推进课堂教学。

提问：对曲边梯形采取什么分割方式才能使误差最小？

提问：小曲边梯形如何以直代曲？

提问：如何计算大曲边梯形的近似值？

（设计意图：对大曲边梯形的分割和近似代替的方案在商议教学环节中已经实施，前三个问题的作用是引导学生思考在曲边梯形中如何具体地分割替代，让他们亲身经历分割、近似代替及求和的过程。）

提问：直边图形的面积怎样才能越来越接近曲边梯形面积的准确值？能否得到准确值？

教师用课件动画演示两种方案的无限逼近大曲边梯形面积，从动态变化中学生可以更直观地理解到当分割得份数越多，两种方案的面积会逐步逼近。

教师继续引导：从图形直观演进和数值的逼近变化中可以发现，当无限细分增大时，近似值会非常逼近某个常数值，这个常数正是曲边梯形本身的面积。那我们能不能从中提炼出结论？

学生对两个近似代数式进行适当的变形，进而发现两个近似值会无限接近这个常数。

提问：我们在前面采取两种逼近方式去估计曲边梯形的面积，分别将小矩形的左、右两个端点的函数值作为每个小矩形的高，如果在分割的小区间内取任意一点的函数值作为小矩形的高来计算面积从而得到大曲边梯形面积的近似值，会出现新的数值吗？

（设计意图：通过对几种替代方式进行对比，帮助学生理解曲边梯形的面积和在每个小区间上选取的点作为小矩形的高是无关的。）

提问：求曲边梯形面积的步骤可以分为几步？具体是什么？

教师帮助学生一起总结，求曲边梯形的面积需要经过“分割—近似代替—求和—取极限”四个步骤。

4.知识应用

例题：求直线x=0，x=2，y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。

教师课堂总结：“我们从刘徽的‘割圆术’中受到启发，采取无限分割和以直代曲的方法去解决曲边梯形的面积问题。其实在历史上，另一个数学家祖冲之在刘徽的启发下，经过刻苦钻研和反复演算，求出π在3.1415926和3.1415927之间，并且计算出π的分数近似值，取约率为22/7，密率为355/113，它是分子分母在1000以内最接近π的分数。若按照刘徽的‘割圆术’的方法去求，就要计算到圆的内接16384边形，这在当时需要付出非常巨大的劳动。但是由于祖冲之写的数学著作《缀术》失传了，所以祖冲之是怎么计算到小数点后七位的，至今仍是一个谜。祖冲之对π的计算精确度领先世界一千多年，可见他治学的毅力和才智真是令人钦佩啊！希望同学们能够学习数学家的这种严谨治学、潜心钻研的精神，把这种精益求精的态度用于我们的学习生活中！”

（设计意图：以“割圆术”为切入点讲述学生比较熟悉的数学家祖冲之的事迹，可以让学生体会到现在所学习的数学知识是由数学家经过漫长的岁月辛苦奋斗得到的，可以让他们学习这些伟大的科学家为追求真理不断探索的精神。）

【教学反思】

本节课从讲述数学家刘徽的“割圆术”开始。这部分数学史材料蕴含了“无限分割”与“以曲代直”的数学思想方法，为学生在第二部分小组讨论如何去求曲边梯形面积提供了思想参考。学生对知识的接受、理解到自主运用是学习的三个阶段，本节课以刘徽的“割圆术”为工具让学生对其中的思想方法有初步的接受，提出多种分割和以直代曲的方案，在这个过程中让学生去充分理解分隔和逼近的数学方法。本节课没有采用多种题型变式练习的方式，这也与本节课的教学目标有关，主要目的是让学生领悟其中的思想方法。最后部分插入祖冲之的数学史资料并非心血来潮，一方面是对课题引入部分的与圆周率相关的数学史知识进行进一步的补充，另一方面祖冲之的计算结果领先世界水平一千多年，以此为契机激发学生对祖国的认同感和爱国之情。在教学实践中学生的反应也比较好，对于祖冲之如何能够在当时的技术条件下将圆周率的估算值达到这么精确，他们充满了好奇，这也间接激发了学生学习数学的兴趣，引发了他们的求知欲。