数学史在高中微积分教学中的具体优化建议

作为一门独立的学科，数学不管发展到哪种程度，都需要自身的历史沉淀。数学史作为一门具有文科和理科性质的学科，包含了数学的发展史、数学的应用方向、发展趋势，它体现了美学意义、数学家的创新精神和数学思想方法。将数学史融入微积分教学的意义不仅包含思维上的启发，还包括对学生的德育作用、数学美的传播等。通过对部分教师和学生展开访谈，不难发现在教学实践中将数学史融入课堂微积分教学的现状并不乐观，教师也在访谈中表示存在五大困难。针对目前在数学史融入微积分教学中存在的困难，笔者提出以下五个相对的措施。

（一）加强对教师数学史素养的培养

传统的数学应试教育模式让不少教师采取功利性的题海策略让学生短时间内迅速接受新的数学概念、方法，从而忽视了新课程改革提出的三维教学目标，让学生成为做题的机器，极度缺乏数学人文素养，也把数学变成了枯燥无味的学科。我们能够发现，很多数学教师大学时没有选修过数学史课程，或者只是走马观花地学习一遍以应付学分要求。作为数学专业的师范生，学好数学分析、实变函数、概率论等专业课是不够的，还应该知道基础数学知识的来龙去脉，了解数学怎么逐渐形成多个分支，熟悉著名数学家的成就等。作为一名准数学教师，如果对数学发展史、数学家的突出贡献、数学美学价值一无所知，就应该是不符合新课程改革对数学教师的要求的。

现在的社会要求教师知识渊博，这样能够以宽广的数学素养去引导学生。如何在有限的时间里掌握较多数学知识？其实对于高中数学教师来说，教学实践并不需要很精深的数学知识，掌握一些具有启发性的数学思想方法是比较关键的。如果未来的数学教师在忽视数学思想方法的情境下学习数学，那么对基础教育来说就是一个巨大的危机。让师范生掌握数学思想方法不但可以帮助他们进行数学研究，更可以提高其教学能力，而数学史是了解数学思想、掌握数学方法的重要手段。因此，大学可以开设一些相关的数学史讲座，也可以鼓励学生对感兴趣的数学史部分展开研究，撰写相应的研究报告，增强他们对数学史的兴趣和重视程度。

（二）增强数学教师数学史素养的培养和研讨意识

数学教师应当承担起开阔学生视野、培养学生剖析能力的责任，而数学史知识的学习有助于培养学生实事求是、勇于创新的数学精神。因而，高中数学教师需要从以下三方面提升数学史素养：第一，高中数学教师应当掌握主要数学知识产生的文化背景与发展历程，每个概念定理的产生都与当时的社会文化背景联系密切，教师体会其中的来龙去脉才能灵活选择数学史材料；第二，高中数学教师应当具有从数学史中挖掘数学家思维过程和人格特征的能力，数学史上具有巨大贡献的数学家都是极具特点的，了解他们的思维方式和人格精神然后将其以恰当的方式融入课堂教学，才能实现数学史育人的效果；第三，高中数学教师应该能够根据实际教学需要进行有研究性的数学史教学实验，在了解数学史的基础上，研究数学思想的发展史可以增强教师进行教学科研的底蕴。

我们能够发现，大部分教师认为自己对数学史知识的掌握非常缺乏，因此也不清楚每部分数学史内容的教育价值，将数学史内容以恰当的形式融入课堂教学更是存在困难。所以一线数学教师很有必要掌握一定的数学史内容，对此笔者有如下建议；要求所有一线教师必须参与教师继续教育学习，每个学期必须修够一定的学分。因此，学校可以要求数学教师每个学期都把数学史内容当作一个必修的课程，每个学期开设不同的数学史内容，直至教师把课程学完为止。这样的学习是系统性比较强的，也是数学教师获得数学史知识比较完整和系统化的途径。

另外，每个学校的数学科组也应当定期开展教师培训，其中应当包含相关的数学史知识培训，对教师的数学史知识体系进行补充。又或者以数学备课组为单位定期开展数学教研活动，在开始新课前要求数学教师交换有关的数学史资料，讨论采取哪些数学史材料以何种形式融入课堂教学，如此教师不仅学习如何将数学史融入课堂教学，更能时刻谨记数学史的重要作用。数学备课组的每次集体备课都应该有详细记录，将每章节数学史融入课堂教学的策略和方式进行记录，装订成册，坚持三年，就是非常宝贵的数学史教学策略手册，可以为教学实践提供参考。为了调动教师进行数学史教学研究的积极性，学校也可以每学期组织一次以数学史融入课堂教学为主题的赛课活动，以供数学教师互相学习。当然，学校应当给每位数学教师订阅相关的数学史资料、数学史融入数学教育的报刊等，作为备课组集体备课活动的重要资料来源。

（三）在评价体系中加入数学史方面的要求

在考核机制中加入数学史相关内容，要求教师作为社会知识的传播者，时刻保持学习的积极性与敏感性。不断完善考评机制，将大大提升教师的主观能动性，为教育工作提供源源不断的动力。目前只有具备计算机及外语水平的教师才有资格参与职称评级，但是对于数学教师而言，储备一定的数学史知识是应该满足的基本要求，若数学教师缺乏数学史素养，他的课程就是不够完善的，有了相关的考核，数学教师会更加注重对于数学史的学习与研究，不断提升自身对于数学史的认知水平，无论在课堂上还是生活中，具备史学相关素养的教师都是有魅力的、充满趣味的。学生也能从中受到影响，真正发自内心地喜欢数学，从而提升数学能力。完善评价体系，促进教师数学史相关知识的完善，对整个数学教育体系来说必不可少。

（四）开展课外研究，增强学生兴趣

“导数及其应用”的章末，建议教师开展导数及其应用主题为“走近微积分”的数学史探究活动，让学生充分了解微积分的发展史及其蕴含的重大社会文化价值和数学思想价值。因此，可以把这个探究活动分解成以下六个主题：第一，古代中国和欧洲极限思想的出现；第二，分析微积分产生的时代背景；第三，17世纪初微积分创立前，科学家的研究情况；第四，牛顿和莱布尼茨的生平资料收集；第五，牛顿和莱布尼茨创立微积分时所做的开创性工作；第六，收集历史上对微积分创立和发展的一些重要评价。教师将学生分为六大组，每组负责完成一个主题研究活动，在课堂上每个探究小组呈现自己的研究结果，全班共享资料、互相学习。这样的探究活动可以提升学生对微积分发展历史的兴趣，他们在完成研究活动的过程中可以深刻体会微积分的创立不仅是数学上的里程碑，更是科学思想史上的里程碑。

当每组学生在课堂上进行展示之后，后期教师可以利用学校的宣传栏、板报等宣传场地将每组学生的研究成果整理展示，通过这样的方式把微积分发展史中蕴含的文化价值与校园文化相融合。教师要以学生的自主探究作为数学史学习的第二课堂，拓展数学史教育层面，同时注意在实践过程中应当紧密结合当前数学教学需要选择有趣的、适合高中生的数学史内容。例如，有些教师认为学生对数学史知识不重视，所以开展相关的研究分享活动，根据不同的章节需要开展不同形式的数学史探究活动和不同形式的成果展示活动，让学生真正对数学史知识产生兴趣，不再认为数学史的学习浪费时间。

（五）数学史融入课堂微积分教学的具体策略(www.xing528.com)

1.开启章节序言时，讲解数学史

在学习“导数及其应用”这一章前，为了让学生充分意识到微积分的发展对人类社会文明的巨大推动作用，肯定微积分蕴含的巨大思维价值和经济价值，教师应当在章节序言部分对微积分做一个全面而简洁的介绍。微积分的发展引发了数学发展史上的重大变革，以微积分作为研究工具，数学家对数学的研究进入变量数学阶段，物理学家可以进一步去描述变速运动物体的状态，在实际应用中借助微积分可以解决大量的最值问题，极大促进了工业生产的进步。微积分的发展始于解析几何学的建立，费马与笛卡尔在16世纪末至17世纪初，分别独立建立解析几何这一分支，使几何问题代数化，也开启了高等数学的大门。没有解析几何的出现，就不可能有微积分的创立。17世纪初科学家面临四大类型问题，当时的很多数学家都潜心研究如何解决四大类问题。例如，罗贝维尔（Robeville）在1634年把阿基米德用于螺线上任一点处切线的求法进行推广，费马在1637年提出求一般曲线上任一点处切线的方法，这个过程涉及极限思想，开普勒的《测量酒桶体积的新科学》一书就涉及函数的最值、面积、体积、重心等问题，卡瓦列里继承了其老师伽利略在不可分量方面的成就，还把它发展成自己独创的不可分法。在这些数学家大量研究的基础上，牛顿与莱布尼总结前人经验，分别创立了微分学和积分学。但是当时牛顿和莱布尼兹对无穷小量的概念叙述得比较模糊，某些推导过程让许多数学家质疑，这也导致了数学史上第二次危机的产生。此后在19世纪，经历了一个漫长艰苦的认识逐步深化的过程后，在总结了前人经验的基础上，数学家柯西和魏尔斯特拉斯在微积分的严格化方面都做出了重要贡献，柯西建立的极限理论为微积分奠定了牢靠的逻辑基础。牛顿和莱布尼兹最初创立的微积分跟现代微积分相比，中间的巨大空白是由数百名伟大的数学家和无数数学工作者一同努力填补起来的。在学生正式接触微积分的知识前，教师在章节前言中站在较高的层面上，从宏观上介绍微积分对其他学科和工业化生产的重要意义以及微积分大致的发展历史，可以帮助学生在脑海中刻画出微积分的大致轮廓，也可以引起学生对微积分学习的好奇心。

2.新课引入，渗透数学史

新课是教学的重要环节，其引入方法也是灵活多样的，恰当地引入课题符合学生的认知发展规律，有利于学生接受新知识、新内容，引起学生的好奇心，相反则会对学生接受新知识产生消极的影响。教师应用数学史引入课题，不但可以吸引学生的课堂注意力，还能激起学生的求知欲，取得良好的教学效果。为了避免学生出现“身在庐山而不知其真面目”的情况，教师在导数概念的新课引入中应当选取部分微积分发展史内容融入课堂，帮助学生对微积分的发展和意义有全局性的了解。微积分的发展历史是漫长而曲折的，教师不可能在上课时将其完整呈现。所以教师应当根据自己对微积分发展史的理解选取和新课密切相关的数学家或者数学历史阶段进行解读。以恰当的角度融入数学史加之合理的时间分配对于后面讲述导数的概念生成是有益的。例如，在“曲边梯形的面积”这节新课的引入中，教师可以通过课件向学生讲述中国魏晋时期刘徽提出的“割圆术”以及古代劳动人民用一块块石头堆砌成拱形洞的实际例子，以此导入新课，让学生初步接触“以直代曲”的数学思想，这也是定积分的思想之一。又如，在“变化率与导数”这节新课的引入中，教师首先向学生抛出一个问题——如何求变速运动中的物体在某个瞬间的瞬时速度和加速度？学生根据现有的物理知识储备，可以独立解决这个问题。教师此时再告诉学生在他们眼中这么简单的物理题在几个世纪前困扰了许多物理学家和科学家。科学家都知道不能通过用位移与时间的比值来求变速运动的物体在某个瞬间的运动速度。因为对于某个时刻来说位移和时间都为零，它们的比值在数学上是没有意义的。这个问题始终困扰着许多科学家，其他问题的解决思路上也出现了类似的矛盾。17世纪中期，伽利略、笛卡尔、费马等数学家和物理学家尝试从不同的角度去解释这几个问题，无形中累积了不少微积分知识，这个时期可以被称为微积分创立的酝酿阶段，其中正是变速运动的瞬时速度和加速度的问题让微积分引起科学家的关注。通过这样的新课引入，能够让学生对微积分的物理学价值有更清晰的了解，还能引起学生对微积分的好奇心，从而为后面讲述新课做好认知准备。

3.讲解概念时，触入数学史

某些概念的形成过程带有一定的人文背景，通过对概念追本溯源，一方面可以激发学生学习数学的热情，使其体会数学概念中蕴涵的历史文化底蕴，另一方面也能够使学生感受到数学家在数学领域中为探求真知而付出的艰辛与执着。在教学过程中，教师要充分利用这些历史素材，对学生进行人文教育。例如，极限是微积分的基础，是理解导数概念的重难点。为了让学生能够理解“无限趋近”的概念，教师可以先让学生思考公元前1世纪芝诺提出的阿喀琉斯悖论：设想一只乌龟与阿喀琉斯赛跑，但它的出发点在阿喀琉斯的出发点之前，他们之间有给定的一段距离，当阿喀琉斯刚到达乌龟的出发点时，乌龟这时已经向前爬出一段新距离；在阿喀琉斯跑过乌龟刚刚爬完的距离的这个时间段里，乌龟又会往前爬了一点点；依此类推，以至无穷，因为这系列的距离有无穷段，所以阿喀琉斯永远也不能追上这只乌龟。显然，这个结论与我们的现实情况是不符合的。之所以这个问题无解，最根本的原因就在于古希腊人把运动过程当中的“无限过程”与“无限时间”混淆了。因为无限个过程需要经过无限个时间段来进行计算，但无限时间段的总和是一个有限的定值。这表明，古希腊人已经开始发现“无穷小”与“很小”之间存在矛盾。经过这样历史故事的背景介绍，学生可以更快地进入教师设定的数学情景模式，从而对极限相关概念有比较清晰的了解，并且留有比较深刻的印象。因此，让学生注意到远在古希腊时期的数学家就已经开始思考有关无穷、极限和连续等相关问题，但是直到19世纪数学家柯西才最终建立了极限理论，学生才可以体会到真理被发现的过程充满曲折，这个过程非常耐人回味。

又如，在讲解曲线某个点处的切线斜率为该点的导数值这一概念时，也可以融入数学史，让学生更好理解导数的几何意义。首先，教师讲述关于欧几里得定义曲线切线时仅使用了圆的切线这一数学史，接着抛出问题：“欧几里得对曲线切线的定义哪里存在问题？”接着教师讲述古希腊数学家对一般曲线任一点处切线的定义，再次提问：“古希腊数学家对于切线的定义哪里存在缺陷？”经过短暂的思考后，教师再给出讲解：“无数数学家努力尝试给切线下定义，众人的智慧与汗水终于获得了回报，牛顿和莱布尼茨创立了微积分，切线的定义雏形初现。”接下来教师开始讲解莱布尼茨的切线计算原理，引发学生联想切线与斜率的关系。通过这一历史过程的呈现，学生对切线斜率与导数之间的联系将理解得更为透彻，同时他们独立思考、为解决难题勇于付出的精神也得到了培养。最后，教师总结：有了极限概念的产生，才有了切线的精确定义。如此一来，在数学史的衬托下，教材上的定义更为通俗易懂。

4.介绍定理时，讲述数学史

在学习微积分基本定理（即牛顿—莱布尼茨公式）时，教师可以跟学生提到牛顿和莱布尼茨分别在物理学和数学的两个领域总结前半世纪的经验教训，创立了新的数学分支——微积分。牛顿的研究方向是物理学和数学，因而他提出微积分概念的切入点与物理密切相关。为了解决物理中关于如何求变速运动物体在某一时刻的瞬时速度与加速度等问题，他尝试从数学的角度解决物理问题，提出“流数术”。数学家莱布尼茨创立微积分主要从数学角度切入，从几何方面独立发现了微积分。牛顿发现微积分的时间早于莱布尼茨，且他的应用涉及物理学较多问题，从这一点来看牛顿的造诣更高。而莱布尼茨提出微积分的时间虽然稍滞后且只涉及几何问题，但他创立的微积分符号比牛顿使用的流数术符号更简洁、美观、方便，逐渐为广大数学家采用而沿用至今。同时，教师也应该跟学生强调几乎没有一门数学分支学科是某个数学家单独的成果。微积分的发展也不能仅仅归功于牛顿和莱布尼茨。例如，阿基米德在求以他名字命名的螺线的切线时就无意识地用到后来的“微分法”；费马把切线的求长问题简化为求积问题，和微积分中积分原理差不多，只是他将这种方法推广至一般，也没有注意到切线和求积问题的互逆性；牛顿的老师巴罗虽然第一个清楚地认识到把互逆性统一的重要性，却没有意识到这是一门新学科的基础。这样，学生就不难理解牛顿的那句名言：“如果说我比别人看得更远些，那是因为我站在了巨人的肩上。”

在微积分基本定理这部分内容中也可以从另一角度深入数学史。教师可以在讲解这个定理的同时通过介绍数学符号的发展历史，使数学之美和数学符号的作用植入学生思维。在介绍微积分符号时，教师可以告诉学生牛顿和莱布尼茨所用符号的特点，引导学生分析莱布尼茨创设的微积分符号和牛顿的符号的优缺点。首先，牛顿和莱布尼茨分别在物理学和几何学领域创造微积分，不同的是莱布尼茨更注重符号表述，基于几何来研究微积分，符号能让几何图形更形象；而牛顿创造的微积分主要是基于研究物理的运动学，因此在符号上也就稍微简单。由于当时英国人对牛顿有一种盲目的信任，坚持使用牛顿的流数术符号，以至于19世纪微积分的研究并无太大突破。关于莱布尼茨的趣闻有很多。例如：莱布尼茨的二进制计数法和中国古代的八卦学的联系，莱布尼茨曾经送过康熙皇帝一台他自己制作的乘法计算机等。如此一来数学的趣味性将大幅提升。

5.以数学史为载体，渗透数学思想方法

数学思想是数学中的高度抽象概括的内容，它蕴涵于运用数学方法分析处理和解决数学问题的过程之中。微积分这一章涉及较多数学的极限思想和数形结合思想，通过用数学史的形式可以让数学思想方法以“润物细无声”的形式去影响学生。例如，在讲解“曲边梯形的面积”这一章时，教师可以在课堂引入中讲述魏晋时期刘徽的“割圆术”。刘徽以极限思想为指导，提出通过“割圆术”求圆周率。刘徽认为，按照“周三径一”的方式计算的圆周长可以被认为圆的内接正六边形的周长，那么借助圆的内接正六边形把圆周平均分成六条弧，接着细分，将刚才的每段劣弧一分为二，得到圆的内接十二边形，后者的周长必定比前者的周长更接近圆周；如果按照这种方法继续分割，容易得到圆内接正二十四边形，它又会比圆的内接十二边形更接近圆的周长；把圆周分割得细，就能最大限度地减小误差，其内接正多边形的周长就越接近圆周；按照这个思路继续切割，取极限，即圆的内接正多边形的边数无限多的时候，它整个正多边形的周长就是圆周长了。因此，他断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，这与阿基米德的穷竭法是一致的。刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值。他对自己发明“割圆术”充满信心，这个结果也是当时世界上圆周率计算的最精确的数据之一。当教师讲完刘徽的“割圆术”后，学生已经对“以曲代直”以及“无限分隔”的思想有了初步了解。因而当教师呈现曲边梯形，让学生思考如何去求曲边梯形的面积时，学生根据刘徽的方法，可以联想到无线分割以及以曲代直的方法，课堂教学可以顺利推进，又符合学生的认知规律。