微积分的发展史及其在教学中的意义

（一）微积分的曲折发展史

微积分的历史是一段相当漫长的过程，笔者不可能将整个过程在本书中一一呈现，因此按照时间脉络将微积分的发展分成三个时期进行梳理，希望读者能够清晰地了解这段历史，积累一定的历史资料。在课堂教学中，教师不一定要把这段历史过程完全呈现给学生，但教师需要通过了解历史将其整合到教学实践中，重构数学历史过程，提炼出其中的思想和方法，以达到课程改革对学生的要求。

1.起源

微积分的思想起源可以追溯到两千多年前，致力于研究数学和力学的科学家阿基米德在他的早期著作《圆的测量》和另一著作《论球与圆柱》已经蕴含了微积分思想。在这两部著作中，他论述如何求抛物线与直线所围成的面积、球以及球被小圆所截得的曲面面积、双曲线旋转所形成的体积等问题，为微积分的诞生埋下伏笔。极限思想是微积分学的基础，中国古代也出现了不少关于极限思想的记载。《庄子·杂篇》中出现了至今还被反复引用的“一尺之捶，日取其半，万世不竭”这个蕴含极限思想的经典例子。无独有偶，古代著名数学家刘徽在计算圆周率的估算值过程中提出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，这是中国古代关于极限思想萌芽的记载。17世纪初，物理学家开普勒在探究圆台状物体的体积时，把曲线分割成无数条直线的拼接；20年后，数学家卡瓦列里（Cavalieri）在他的著作《连续不可分几何》中，也发表了类似的言论，以无数条直边取代曲边。这些都可以视为典型极限思想的佳作，他们都提及将曲线分割成直线，这种方法的关键是如何将曲线分割以及分割到何种程度，这也就是我们现在所说的“极限”问题。虽然他们没有明确给出有关极限的概念，但他们的工作为后来的微积分的诞生做了思想准备。

17世纪，由于数学和物理科学的快速发展，科学家碰到了以下问题亟须解决：求曲线任一点处的切线方程；求曲线围成的图形面积；求曲面所围成的体积；求变速运动物体在某时刻的瞬时速度与加速度；求任一函数的最值等。这些问题都是在物理学中衍生的，根据当时已有的数学知识无法回答。例如，在第一类问题中，曲线每点处的切线斜率都在改变，计算某点处的切线斜率就不能通过求函数值变化量和自变量变化量得到，而在某点处的函数值变化量和自变量变化量都是零，两者的比值是没意义的。其他问题的解决思路中也出现了类似的矛盾。17世纪中期，伽利略、笛卡尔、费马等数学家和物理学家尝试从不同的角度去解释这几个问题，无形中累积了不少微积分知识，因而这个时期可以成为微积分创立的酝酿阶段。

2.创立阶段

围绕着上面我们提到的几个难题，不少数学家和物理学家为微积分的创立做了不少尝试，这些研究结果为微积分的创立做了准备。直到17世纪中晚期，牛顿和莱布尼茨分别在物理学和数学的两个领域总结前半世纪的经验教训，创立了新的数学分支——微积分，并阐述了微分与积分之间的联系，提出微积分基本定理，将两者的关系用数学语言进行描述。

牛顿的研究方向是物理学和数学，因而他提出微积分概念的切入点与物理密切相关。为了解决物理中关于如何求变速运动物体在某时刻的瞬时速度与加速度等问题，他尝试从数学的角度解决物理问题，提出“流数术”，这就是现在所说的微积分理论。他在《流数术和无穷级数》等多篇著作中用“流量”“流数”的概念，去说明知道流量如何求流数，反过来已知流数关系如何求流量关系；并在《求曲边梯形面积》等著作中论述如何求去曲线上任一点处的切线方程、曲线与直线所围成的曲边梯形面积等数学问题。这些理论实质上是分别阐述了微分学和积分学理论，并建立了两者间的转换公式。数学家莱布尼茨创立微积分主要从数学角度切入，从几何方面独立发现了微积分。他在解决求曲线与直线所围成图形面积、曲线任意点处的切线方程、曲边旋转形成的曲面面积等几何问题中得到了积分运算法则，并借此提炼出微积分概念。牛顿发现微积分的时间早于莱布尼茨，且他的应用涉及物理学较多问题，从这一点来看牛顿的造诣更高。而莱布尼茨提出微积分的时间虽然稍滞后且只涉及几何问题，但是他创立的微积分符号比牛顿使用的流数术符号更简洁美观方便，逐渐为广大数学家采用而沿用至今。正因为他在微积分发展史上的巨大贡献，莱布尼茨被誉为最伟大的符号创造者之一。

3.严格化阶段

17世纪中后期，虽然牛顿和莱布尼茨创立了微积分这一新的数学分支，但是他们的著作中对导数概念中的极限思想描述是含糊不清的，在18世纪引起了许多数学家和哲学家的争议，并引发数学第二次危机。经历大约一百年的探索与尝试，微积分的严格化终于在19世纪初有了突破性的进展，数学家柯西做出了巨大贡献。柯西把极限定义为：“当同一变量逐次所取的值无限趋向于一个固定的值，最终使它的值与该定值的差要多小有多小，这个定值就称为所有其他值的极限。”柯西的研究对于微积分的严格化具有重要意义，他发表的许多关于导数概念的描述和微积分基本定理的论述跟现在的微积分教材几乎一致。柯西虽然明确指出了牛顿和莱布尼茨论述中基本概念上的矛盾，但他对极限的定义中也出现了“要多小有多小”的词语，使定义不够严格，因此我们只能说柯西的学说是相对严格的。将分析最终严格化的数学家是魏尔斯特拉斯（Weierstrass），他创立了ε-δ语言，使数学分析达到了现在的严格形式。在目前高等数学教材中，极限、导数的定义均是由ε-δ定义。由于魏尔斯特拉斯的突出贡献，他被称为“现代分析之父”。

（二）数学史融入高中微积分教学的意义

数学史融入课堂教学可以增强学生的数学素养，培养正面的数学情感，学生亲身经历知识形成过程，更能自然生成新概念获得新知识。在微积分教学课堂渗透数学史，学生会提高对微积分的兴趣，感受其重要性，了解微积分的文化价值，感受微积分蕴含的文化魅力。(www.xing528.com)

1.增强课堂教学中的数学文化熏陶

数学史是一门边缘性的学科，它同时兼备文科和理科的学科特点，需要逻辑思考，也需要感性领悟。在课堂教学中融入数学史可以培养学生的人文精神，促进学生全面发展，这也正是素质教育的核心内容。在漫长的数学发展史上，流传着许多生动的趣闻轶事，数学史的教育作用不仅体现在借助趣闻轶事引起学生的好奇上，更重要的是蕴含其中的理性观念和科学方法对铸造学生人格的深刻影响。在讲解微积分发展史时，教师可以跟学生讲述数学第二次危机产生是牛顿和莱布尼茨创立微积分时对于极限的定义存在模糊引起的，因此18世纪初的数学家进行了孜孜不倦的探究，直到魏尔斯特拉斯对微积分进行了严格化定义。这段微积分发展史体现了数学家孜孜不倦地追求严谨精确的数学态度，引导学生做事情应当有条理，符合理性标准，这是人可贵的品质。

数学史也有助于培养学生正面的数学情感。我国古代数学成就硕果累累，许多成就比其他地区领先几百年，先后传入了西方国家，对世界数学的发展起了极大的促进作用。莱布尼茨等外国数学家都接受过中国古代数学家的启迪。例如，祖冲之的圆周率估计值比欧洲早一千多年。了解我国的数学史有助于增强民族自尊心。只是教师在利用数学史进行爱国教育时应当注意对中国和外国的历史成就给予实事求是的评价，如此才能让学生建立正确的爱国主义思想，避免狭隘的爱国论。

社会提倡的素质教育包括科学素质教育和艺术教育。科学素质教育引导学生严谨求学、理性思考，而艺术素质教育则让学生感性地认识世界的事物，追求真善美。数学的人文价值和美学价值是抽象的，学生在传统的课堂上难以直接感受其人文和美学价值，因此需要借助数学史融入课堂教学，让学生在进行逻辑思考的同时可以感性地领悟到数学的文化气息。例如，在微积分教学中教师可以将数学史作为体现数学美学价值的承载体，在讲解微积分基本定理时，可以告诉学生牛顿和莱布尼茨开始创立微积分时使用的微积分符号并不一致，牛顿注重计算而莱布尼茨注重符号的表达，后者发明了一套简单美观而沿用至今的微积分符号体系，学生可以强烈感受数学符号语言的这种简单美，也可以体会到简洁的数学符号对数学发展起极大的促进作用。又或者教师在微积分课堂教学中讲解古代阿基米德求用穷竭法求抛物线与直线所围成图形的面积、牛顿与莱布尼茨在微积分上造诣高低之争辩、伯努利兄弟对微积分的推广等内容，这可以让学生一窥衍生出微积分的古希腊文化、文艺复兴文化以及当时的社会风貌等。把数学史融入微积分课堂教学中，让学生不再把微积分的学习看作枯燥无味的知识重叠，课堂变得更加丰富立体，也能增强数学课堂对学生的文化熏陶。借助数学史，从美学的角度处理微积分教学教材，组织上课内容，挖掘其中蕴含的数学美，不但可以提高学生的学习兴趣，还可以让他们学会鉴赏数学之美。当然，前提是教师必须具备一定的数学美的鉴赏能力才能培养出有数学审美能力的学生。

2.启发学生思考，提升课堂效率

在教学过程中，学生知识的获得是离不开教师指导的，他们通过这种方式间接去认识世界。而现在许多一线数学教师为了节约课堂时间让学生快速掌握数学知识，一般直接给出定理、概念或者结论，接着告诉学生怎么利用这些公式、定理、概念等，再依靠大量的习题去巩固学生记忆。这样的教学方式在短时间内提升学生成绩确实有效，却影响了学生对数学知识的理解，对提高学生的独立思考能力是有害的。这种教学方式呈现的知识点是成熟的，教师并不讲解获得真理的艰苦历程，回避问题，学生只能被动地接受数学知识，不利于创新精神的培养。现在的教材是根据知识的逻辑顺序而编成的，书上的相关概念、定理、结论等是数学家经过长期的探索和失败而形成的。但是目前教材基本隐去了数学家探索的过程，只剩下逻辑严密的结论。一个简单的概念或者定理是经过长期积累而成的，有时要经过几年甚至几个世纪的努力才能有所进步。数学史可以作为辅助理解数学思维发展过程的一种途径，在课堂教学中借助数学史展示知识发生的背景和完善的过程，让学生亲身经历知识的形成过程，才能使学生真正地接纳知识，从而更透彻地理解和掌握知识。从数学家研究的经验中获取经验，可以指导在学生数学学习中少走弯路，使他们的数学逻辑思维能力在潜移默化中得到提升。

为了描写现实世界运动的现象，在数学中引入了函数，随着对函数研究的深入，产生了微积分，这是数学发展史上具有划时代意义的伟大创造。新课标教科书在“导数及其应用”的章末安排主题为“走近微积分”的探究活动，引导学生整理有关微积分发展的时代背景，让学生体会微积分的思想价值和社会价值，以及对社会的巨大影响。但是在教学实践中，传统的以考点为主导的教学还是以大量的习题撑起整节课堂，学生对微积分的起源、发展一概不知，对牛顿和莱布尼茨的重大贡献知之甚少，因此单纯对微积分部分进行数学知识教学而忽略其历史的渗透是不能取得新课程改革预期的教学效果的。在微积分教学中，导数体现了极限的思想，体现了从平均变化率到瞬时变化率的极限过程。导数的概念、微积分基本定理等经过多位数学家数百年曲折的研究，“无限小量”“微分三角形”等概念和思想为它的诞生积累了大量的知识和素材，最后牛顿和莱布尼茨才能从前人大量的具体工作中抽象出概念，创建真正意义上的微积分。如果教师不讲解微积分发展史，学生只能从教材中看到成熟的微积分定理等内容，而微积分的发展是人类社会发展和数学家思考问题逐步完善的一个缩影，数学家探索的过程恰好又体现了极限、以曲代直等数学思想方法的逐步发展和完善。借助微积分发展的历史来完成课堂教学，让学生再次经历数学史的发展历程，亲身经历数学家的思维误区，有助于学生更好地理解导数和积分的概念，也有助于培养他们的逻辑思维能力。遗憾的是，目前大部分教师都是按照教材内容进行教学，并没有注意学生的认知特点，导致学生对概念的理解较为片面，也导致学生认为微积分是枯燥无味的。

3.有助于学生培养严道求学、不畏艰难的精神

许多人认为数学知识仅在考试的时候是有用的，当他们走出校门或走上社会，数学知识就不再发挥作用。恰恰相反，对大部分人来说，真正有用的是在长期的数学学习中潜移默化形成的理性观念、数学思想方法、数学精神和态度，这些是无形中影响人的一生的。很多数学家都会经历艰苦漫长的研究过程，长期的摸索可能只能得到一个零碎的成果，介绍数学家面对的挫折和应对的方式，不仅可以让学生获得思维上的启发，还可以使其知道数学家如何在困境中探索前进。数学家在追求真理的路上，始终坚持不懈、努力追求，甚至倾尽毕生心血只为一个计算结果。对于在学习中稍微遭受挫折就想放弃的学生来说，讲述数学家的遭遇挫折、执着追求的故事，有助于他们正确看待挫折，重新树立学习的信心。

微积分的发展不是一帆风顺的，教师在课堂渗透微积分历史时，可以让学生体会到现在所学习的理论知识都是由无数数学家和科学家通过漫长的岁月奋斗得到的，可以让他们学习这些伟大的科学家为追求真理而不断探索的精神。例如，刘徽用极限逼近的数学思路通过无限细分圆的内接正多边形来逼近圆，最后得到圆周率的近似值；南北朝时期，祖冲之在刘徽的启发下，经过刻苦钻研和反复演算，求出π在3.1415926和3.1415927之间，这个圆周率的估计值在16世纪以前都是最精确的。如果采用分割圆的内接正多边形的形式去计算圆周率，那么要分割到圆的内接正16384边形，这在当时需要付出非常巨大的劳动。但是由于祖冲之写的数学著作《缀术》失传了，所以祖冲之是怎么计算到小数点后七位的，至今是一个谜。通过这样的例子，学生可以感受到刘徽和祖冲之对数学持之以恒、不畏艰辛的探究精神，对于培养他们坚韧不拔、锲而不舍的学习态度是有益处的。

作为微积分创始人之一的牛顿也留下不少趣闻轶事。牛顿的老师巴罗为了提携牛顿而辞去教授的职务，年仅26岁的牛顿成了剑桥大学的数学教授。牛顿并不擅于教学，他讲解的微积分，学生都理解不了，但是他解决问题的能力远超常人，学生时期的牛顿就发现了一种计算无限量的方法，并用这种方法算出双曲面积到250位数。有一次，牛顿在向一位姑娘求婚时脑海里都是无穷量的二项式定理，他错误地把姑娘的手当作通烟斗的通条往烟斗里塞，痛得姑娘大叫而离去。通过讲授这样的数学家故事，可以在一定程度上引导学生在学习中全神贯注，保持严谨认真、一丝不苟的求学态度。