数学史案例分析：高中数学概念教学中的融入方法

（一）数学史融入函数概念教学中的案例设计

《普通高中数学课程标准（实验）》指出数学课堂教学应“努力揭示数学概念、结论发展过程，使学生体会蕴涵在其中的数学方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化成学生容易接受的教育形态”。章建跃先生提出，教师必须十分重视数学概念教学，尤其是数学核心概念的教学。怎样合理、有效地设计、组织教学，才有利于学生更好地理解数学概念？这是值得每一位教师思考和研究的课题。事实上，数学概念并非凭空而来。我们所学的数学概念，大多有着各自产生的背景和发展演变的过程，其间凝聚了数学家的心血和智慧。“对数”是函数这一章节中的核心概念之一，对数概念的学习一直是高中学生学习数学的一大障碍。很多学生直到高考都没有真正理解对数的概念，一看见对数就犯怵。

克莱因认为，历史上许多大数学家所遇到的困难，也正是学生会遇到的学习障碍，因此历史是教学的指南。他认为：“课本中的字斟句酌的叙述，未能表现出创造过程中的斗争、挫折，以及在建立一个可观的结构之前，数学家所经历的艰苦漫长的道路。而学生一旦认识到这些，他将不仅获得真知灼见，还将获得顽强地追究他所攻问题的勇气，并且不会因为他自己的工作并非完美无缺而感到颓丧。”因此，笔者尝试运用数学史的有效融入方式，结合学情，对教材进行“二次开发”，采用重构式教学方法，促进学生理解对数概念。

1.创设情境，引出新知

情境：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%。写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式。设该物质最初的质量是1，则经过x年，该物质的剩留量为y=0.84x。

问题1：我们建立这个函数关系式可以实现计算预测的功能，只要知道时间x就可以计算剩留量y。比如，经过了4年，剩留量是多少？

问题2：反过来，如果我们知道了该物质的剩留量y，怎么求出所经过的时间x呢？比如，经过多少年，剩留量为0.5？

生：0.84x=0.5。

（学生感到茫然，不知所措。）

师：其实上述问题就是已知底数a和幂值N，求指数b。“已知底数和幂的值求指数”是一个新运算，这是本节课将要研究的问题。

教学意图：通过具体实例说明研究对数的必要性，从指数函数的实际问题入手，即从学生熟悉的指数形式着手，让学生发现“已知底数和幂的值求指数”新问题（解方程），引发学生产生认知冲突，激发学生学习的兴趣。

2.以史为鉴，追根溯源

师：我们首先来看看数学家是如何来解决这个问题的。关于对数的基本思想可以追溯到遥远的古希腊时代，那个时候，阿基米德（Archimedes，公元前287年至公元前212年）就已经研究过几个10的连乘积和10的个数之间的关系，他发现它们之间有某种对应关系。但是阿基米德虽然发现了规律，却没有把这项工作继续下去，失去了对数破土而出的机会。15、16世纪的欧洲，航海和贸易的迅速发展，极大地推动了天文学和三角学的进步。特别是地理探险需要更为准确的天文知识，为了确定行星的位置或制作天文数表，往往要花上几天甚至几个月的时间进行计算。对计算速度和准确性的要求与日俱增，人们希望将乘、除、乘方、开方归纳为简单的加、减、乘、除来实现。15世纪，法国数学家许凯在两个数列中也发现了类似的对应规律。他在著作《算学三部》中给出了双数列，如表3-1所示。

表3-1　双数列

双数列之间的对应关系：上一列数之间的乘、除运算结果对应于下一列数之间的加、减运算结果，如4×32=128，对应于2+5=7。16世纪，德国数学家斯蒂菲尔（Sidifeier）针对双数列更明确地提出了上一列数的乘、除、乘方和开方四种运算法则。还有其他很多数学家也发现了这样的规律，但是由于种种原因，特别是分数指数还没有得到认识，所以他们也没有发明对数。那么同学们，我们刚刚学习了分数指数幂，比这些古时候的大数学家掌握了更丰富的数学知识，我们是不是可以一起来发明对数呢？请学生先观察刚才的两组数，到底阿基米德、斯蒂菲尔等数学家发现了怎样的规律呢？

笔者组织学生进行分组讨论，适当引导，要求结合指数运算法则。

得出结论：下面一列数的加减运算结果与上面一列数的乘除运算结果有一种对应关系。

师：能否用一个指数的运算法则来表述这个关系？

生：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

师：很好，看来同学们将前面的内容掌握得不错。那么，时间的长河流至16世纪至17世纪初，这个时期各个领域的科学知识都在急速地发展。但是这些科学知识发展也带来了庞大的数学计算需求。特别是天文学、航海学、商业贸易、工程和军事，它们对于计算速度和准确率的要求与日俱增。这个时期，哥白尼的“太阳中心说”开始流行，导致天文学成为当时最热门的学科之一。以精确测量为基础的天文学的兴起，使天文学家不得不去计算那些繁杂的“天文数字”，这些超复杂的计算耗费了他们大量的精力，有的天文学家甚至浪费了毕生的宝贵时间。比如，为确定一颗星球的位置，天文学家常常在计算上花去好几个月的时间。面对这样惊人的数字，这么笨拙的计算方法，怎样才能简化运算，能不能用加减运算来代替原来的乘法运算，就成了当时人们特别是数学家迫切需要思考的问题。我们能不能一起来解决这样一个问题呢？我们知道如果M=ac，N=ab，那么M·N=ac·ab=ab+c。刚才两组数据中第一行表示2的对应幂，第二行表示2的指数，那么如果我们要计算第一行中两个数的乘积，就可以通过第二行中对应数字的加和减来实现。比如，计算16×64的值，就可以先查询第二行的对应数字：16对应4，64对应6；然后再把第二行中的对应数字加起来：4+6=10，第二行中的10对应第一行中的1024，所以有16×64=1024。也就是说，如果我们有类似这样一张表格，就可以通过指数的加减运算来得到幂的积或商。那么在具体实施的过程中，我们最好能把指数表示出来。也就是说，如果N可以用ab来表示，那么b可以用N来表示吗？

教学意图：提供对数知识的历史背景和原始问题，增强真实感，引发学生进行探究，追溯数学家发现对数的过程，通过观察分析表3-1中双数列的对应关系，深刻认识到对数对简化运算的重大作用和引进对数的必要性。同时，笔者通过丰富的情景和动人的数学家的历史故事，激发学生的求知欲和创造欲。

3.以史促思，建构概念

师：后来，英国数学家纳皮尔（Napier）受到上述表格的启发，发现了可以利用这个规律来简便运算的有效工具，于1614年出版《奇妙的对数定理说明书》，这标志着对数的诞生。为了这一具有划时代意义的发明，纳皮尔整整花费了二十年时间。他把b称为N的“对数”，今天我们依然沿用这个称呼，把b称为以a为底N的对数。17世纪，笛卡儿发明了幂的记号，指数概念才应运而生。直到17世纪末，才有人认识到对数可以定义为幂指数。之后，欧拉（Euler）深刻揭示了指数与对数之间的密切联系，并创用了logN这一记号。这样就有了对数的定义：若ab=N（a＞0，a≠1），则把数b称为以a为底N的对数，记作b=logaN，其中a叫作对数的底数，N叫作真数。

4.以史为镜，深化理解

师：为了使纳皮尔发明的对数可以更方便地被人们使用，对数历史上的另一位重要人物英国数学家布里格斯（Briggs，1561—1630年）和纳皮尔决定把10作为对数的底。纳皮尔去世后，布里格斯又对纳皮尔的对数进行了改进，他把10进行了54次的开平方后，得到了一个略大于1的数，并取10作为对数的底，造出了常用对数表。我们把以e为底的对数称为自然对数，简记为lnN。e首次被发现不是在对对数的研究中，而是在对一个复利问题的研究中。1683年，瑞士著名的数学家雅各布·贝努利（Jacob Bernoulli）在研究复利问题的时候发现：当n越来越大的时候，无限地接近于一个介于2与3之间的常数，这个常数就是后来被人们称为e的数，当然，雅各布·贝努利当时没有认识到这个数与对数的关系，也没有把它们联系起来。e作为一个常数第一次被正式提出，是在1690年。那一年，德国数学家莱布尼兹（Leibniz）在给惠更斯（Huygens）的信中首次用字母b来表示自然对数的底，使得“自然对数的底”有了它的名字。后来欧拉把这个常数记作e，并做了全面深入的研究，他得到了很多发现。至于欧拉为什么要用字母e来表示自然对数的底，有些人认为这里的字母e是为了纪念欧拉，才用了他的名字的第一个字母。其实是欧拉自己首先使用了这个记号，后来的人只是跟随了他而已。有些人认为，e来自“指数”（exponential）的首字母；还有些人认为，e是第二个元音字母，因为欧拉已经在其他著作里使用了第一个元音字母a。不管什么理由，e第一次公开出现是1731年欧拉给哥德巴赫的一封信中。从此，e开始进入数学的各个领域。

师：对常用对数和自然对数感兴趣的同学，老师向大家推荐两本课外读物《不可思议的e》和《漫话e》，从中你一定会获得更多的知识。

教学意图：引导学生了解常用对数和自然对数的来历及其应用价值，可以促进学生对对数概念的认识，体会数学和生活的联系。引导学生阅读有关对数的数学史，感悟对数的发明与发展历史及其价值是数学文化的体现，有利于提升学生的数学素养。

5.以史启真，诱发再探

师：1971年的5月15日，尼加拉瓜发行了一套名为“改变世界面貌的十个数学公式”的数学纪念邮票，其中就有我们刚刚学习的纳皮尔指数与对数关系公式。拉普拉斯（Laplace）曾说：“对数的发现，以节省劳力而延长了天文学者的生命。”伽利略宣称：“给我时间、空间和对数，我可以创造出一个宇宙来。”由此可见，对数在天文学和自然科学中有重要作用。恩格斯把对数的发明和解析几何的创造、微积分的建立称为17世纪数学的三大成就和“最重要的数学方法”。那今天的课堂上我们了解了哪些知识呢？

生：我们了解了对数的诞生过程，学习了对数的概念，以及指数式、对数式之间的互化。

生：指数式、对数式之间的互化中体现了转化思想。

师：同学们畅所欲言的讨论，既梳理了指数、对数等相关知识的内容，又寻味了对数发展史的各个阶段所凝聚的思想、智慧与精神。按照研究数与函数的方法，接下来研究什么呢？

生：对数的运算规律（性质）和对数函数概念及其性质。

师：很好！今天我们认识了对数，感受到了数学家思考问题的奇妙历程和智慧，也感受到了数学发展推动人类认识世界的巨大力量。希望大家课后通过练习，进一步巩固、理解和掌握对数的概念，明天我们将继续来研究对数的一些运算性质，进一步学习这个新的认识世界的工具。

教学意图：课堂小结意在画龙点睛，让学生对所学的知识做简单的回顾，了解对数的实际应用价值，体验其中蕴含的数学思想方法，并引导学生运用类比的方法，猜想对“对数”进一步研究的方向，诱发学生产生进行再探究欲望。

6.以史定教，凸现重构

要真正实现将数学史有效地融入数学概念教学中，不仅需要教师注重挖掘数学知识点背后的历史，深入理解数学史的知识意义和方法意义，还需要教师注重结合教学实际和学生的认知水平、数学基本活动经验，对数学史料进行有效的选择、加工，运用发生教学法，采用顺应式、重构式等有效的融入方式，将数学史中与所学对数概念相关的思想方法融入新知识引入中，创设以数学史料为背景的问题链，引导学生进行自主探究，再现数学历史原貌，展示对数概念的发生、发展过程，让学生在获得知识的过程中体验其中蕴含的思想方法，促进学生去感悟和建构对数概念，理解对数概念所蕴含的本质特征，增强学习数学的信心，培养理性思考和执着的探求精神。本节课中笔者应用了大量有关对数的数学史，由于其中涉及数列等一些学生并未学习或接触过的内容，所以笔者在说法上做出了一些不影响史实的改动，并从历史发生原理出发，根据对数知识历史发展过程中的关键步骤与环节，对知识的历史进行重构，使其适合学生认知和课堂教学，并设计一系列由易至难、环环相扣的问题。笔者通过“重构”历史上对数概念的发生、发展过程的方式，引导学生自己建构新概念，从而真正理解对数概念的内涵和本质。

首先，教师只有对所教主题的数学历史知识有深刻的理解，才能对知识的历史进行重构，以史为鉴，善于把“现成的知识”还原为“现实的问题”，创设富有数学历史背景的问题链，让学生在问题探究和解决中经历数学知识的发生、发展过程，并通过追寻大师的足迹、仰望大师的风采，汲取人类文明中的无穷智慧和坚韧不拔的探究精神。如果教师仅一知半解、“只见树木不见森林”，那么知识的重构就难以达到“自然而然”的教学效果，数学史反而成了累赘。其次，同一个数学家的历史故事，被不同的讲述方式讲述出来会产生不同的教学效果，教师会讲故事也是一种教学实力。再次，教师在运用数学史料时必须要把握尺度，或张或弛，或详或略，一切均以满足课堂教学的需求为准则。一方面，不能将数学课堂异化为“故事课”，另一方面，也不应只是简单用数学家的历史故事点缀一下课堂，匆匆带过，而应该要舍得花时间，给予学生倾听、领悟和思考的时空。在体验对数概念的生成过程中，教师要引导学生思考，使学生学会有效思考，进而能提出自己的观点和思路，逐步养成问题意识、探究意识和创新意识。

（二）数学史融入解析几何概念教学的案例设计

由于现行的考试制度以及课时安排的问题，在圆锥曲线这一章的教学中，教师往往直接给出三种圆锥曲线的定义，然后求标准方程，对于概念的来源等并不交代，导致学生只能靠死记硬背记住定义，记忆效果往往大打折扣。本案例从历史上圆锥曲线的发现发展出发，力求让学生自己发现椭圆的定义，从而牢固掌握这一概念。教学设计如下。

1.动手截圆锥，体验椭圆形成

笔者利用PPT导入几张有椭圆的照片，如卫星的轨道，椭圆形的建筑物等。

师：同学们看看上面几张图，看到了哪个图形？

生：椭圆。

师：众所周知，用一个平面截圆锥面，当平面经过圆锥面顶点时，可得到两条相交直线；当平面与圆锥的轴垂直，截得图形是一个圆，试改变平面的位置，观察截得的图形的变化情况。

师：用平面截圆锥面，如果改变平面与圆锥的相对位置，是否可以得到其他曲线呢？

在学生思考、猜想的基础上，笔者运用动画引导学生探究截得的三种曲线——椭圆、双曲线和抛物线。

师：用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线，最早是由2000年前古希腊数学家阿波罗尼奥斯（Apollonius，公元前262年至公元前190年）采用的，他命名这些曲线为圆锥曲线，并用纯几何方法取得了高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结论，吸引了无数个数学爱好者为之着迷。阿波罗尼奥斯在撰写的名著《圆锥曲线》中，对椭圆等圆锥曲线进行了深入研究。其内容广泛，解释详尽，几乎网罗圆锥曲线的所有性质。

师：我们也来试试大师的方法。下面哪些截面是椭圆：①球被平面所截；②圆锥被平行于底面的平面所截；③圆锥被平面斜截；④圆柱被平面斜截；⑤圆柱被平行于底面的平面所截。

生：③和④。

设计意图：师生通过截图、猜想、演示等探究活动，经历平面截圆锥面从特殊到一般的不同截取方法，在直观感受圆锥曲线的截取生成过程的基础上，推出圆锥曲线的概念，展开对椭圆的进一步研究。通过融入数学史，不仅可以让学生了解椭圆本身所蕴含的历史文化，而且能够提高学生学习数学的兴趣，培养学生感受数学魅力、探究数学本质的学习期望。

2.研究旦德林双球，发现椭圆特征

师：古希腊的数学家发现了很多椭圆的性质，我们也来尝试一下。

笔者利用PPT动态演示圆锥的旦德林双球模型（苏教版教科书采用了圆锥的旦德林双球模型），可以发现椭圆的数量关系，即得到椭圆的第一定义的初步形式：到两焦点的距离之和是一个定值。

在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切。两个球分别与截面相切于点E、F，在椭圆上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于点B、C，你能发现哪些等量关系？

生：因为AF、AB分别与小球相切于点F、B，又因为AF、AB所在平面截小球的切面是圆，AF、AB是同一个圆的两条切线，所以AF=AB。同理，AC=AE。于是，AB+AC=AF+AE。

师：很好！上述等量关系是定值是吗？

生：BC是两个球与圆锥相切得到的圆台的母线长，因而AB+AC=BC为定值。所以椭圆上动点A到两个定点E、F距离之和为定值。

师：这就是数学家发现椭圆的重要特征。

设计意图：师生通过对旦德林双球的研究展开对椭圆重要特征的互动探究，从而获得椭圆的截线定义。让学生经历数学实践的探究过程，有利于学生从生动的椭圆表象中获得椭圆的截线定义，从而为沟通椭圆原始形态与解析几何形态奠定了良好基础，加深了对椭圆概念本质的认识。

3.依托数学实验，导出椭圆定义

师：画圆我们有圆规，那我们怎么画一个椭圆呢？

笔者准备一根绳子，邀请三位学生共同参与实验活动，其余同学仔细观察。

规则：笔者负责确定两个定点F1、F2，两个学生分别拉住绳子的一头，固定在F1和F2上，另一个同学负责用粉笔绷紧绳子作图。

第一次：|F1F2|＜1（绳长），三位同学顺利做出椭圆。

第二次：|F1F2|=1，第三位同学勾不动绳子，只能做出线段。

第三次：|F1F2|＞1，拉绳子的两位同学发现无法做到。

师：哪位同学来说说，刚才的实验说明了什么？

生：（椭圆的定义）平面内到两个定点F1、F2距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹为椭圆。

师：这两个定点F1、F2叫作椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫作焦距。（引导学生进一步理解椭圆的定义。）

设计意图：上述设计带领学生穿越了圆锥曲线两千多年的发展史，了解了圆锥曲线名称的由来，借助旦德林双球模型推导出椭圆的定义，且让学生亲身参与或经历绘制椭圆的过程，充分调动了学生的积极性，使得学生准确深刻地理解了椭圆及其定义。(www.xing528.com)

4.建立坐标系，推导椭圆标准方程

师：得到了椭圆的定义，我们来探求它的方程。

步骤如下：设定点F1、F2间的距离为2c，以线段F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立坐标系，则点F1、F2的坐标分别为F1（-c，0）、F2（c，0）。

设点P（x，y）为椭圆上任意一点，则有|PF1|+|PF2|=2a，即

两边平万得（x+c）2+y2=4a2-4a +（x-c）2+y2，

整理得

两边再平方、化简得（a2-c2）x2+a2y=a2（a2-c2），即，

由于a＞c，所以a2-c2＞0，设b2=a2-c2（b＞0），

得椭圆标准方程。

设计意图：建立适当的直角坐标系，直接代入两点间距离公式，两次平方法推导椭圆标准方程，虽然运算比较烦琐，但却具有通性通法，即化简含有两个根式的一般方法。在19世纪以前没有一位数学家采用这种方法，直到英国数学家萨尔蒙（Salmon）在1885年才开始使用此法。随后英国数学家卡西（Casey）、美国数学家纽库姆（Newcomb）也相继采用此法进行推导。

师：两次平方法推导椭圆标准方程，虽然解法自然，但是较为烦琐。有无简便方法？我们可以采用法国数学家洛必达（Lobita）的名著《圆锥曲线分析》中的方法，引入参数z来推导椭圆标准方程。

首先，可设|PF1|=a+z，|PF2|=a-z，其中z为参数。

因此，|PF1|2=（a+z）2=（x+c）2+y2①

|PF2|=（a-z）2=（x-c）2+y2②

①-②得4az=4cx，

将③代入①得：，

化简得：。

因为a＞c，可令b2=a2-c2（b＞0），

从而得到，这就是椭圆的标准方程。

师：在上述推导过程中，我们还得到了两个副产品：

，这就是我们后面会讲到的焦半径公式的雏形。

设计意图：引入参数后再设|PF1|、|PF2|，这种方法称为“和差法”。采用此法来推导的第一人是法国数学家洛必达，他在1720年出版的名著《圆锥曲线分析》一书中采用“和差法”进行推导。后来美国数学家杰克逊（Jackson）和罗宾逊（Robinson）也都采用这种方法进行解题。此法的优点是运算量少，简明快捷，但解法的技巧性太强，学生很难想到。

师：有无更简便方法，而且大家容易理解和掌握的方法？下面我介绍更巧妙的推导方法。

设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1+d2=2a。

d1=（x+c）2+y2④

d2=（x-c）2+y2⑤

由④-⑤得，（d1+d2）（d1-d2）=4cx，即2a（d1-d2）=4cx，

于是d1=a+x，代入④式，化简得。

设b2=a2-c2（b＞0），椭圆标准方程就是。

设计意图：由于这种推导方法巧妙地利用了平方，从而避免了出现根式，再利用做差，就很简便地得到了椭圆标准方程，故称为“平方差法”。最早使用此法的是19世纪英国数学家赖特（Wright），他在1836年出版的专著中采用此法。用“平方差法”推导很有新意，是对洛必达思想的发展。同世纪英国数学家哈密尔顿（Hamilton）和美国数学家戴维斯（Davis）、温特沃斯（Wentworth）也都采用了同样方法。其实，“平方差法”较之“和差法”更简捷，且技巧性已不是很强，其解法显得很自然。

（三）数学史融入立体几何中的概念教学的案例设计

平面概念的建立是学生学习几何的一个难关，主要表现在两个方面：第一，抽象度高；第二，对平面的属性难以理解。数学是一门抽象的学科，而平面的概念是数学中抽象度最高的概念之一。首先，平面除了具有一般数学概念所具有的抽象的、单调的特点之外，主要与现实生活中的原型有比较大的差异，这就为理解平面的概念带来了难度。其次，数学学习的心理过程表明：整个学习过程中数学认知结构对数学学习始终起着制约的作用。学生能学到什么知识、学到什么程度取决于学习前数学认知结构的初始状态和发展水平。波利亚曾说：“如果我们关于论题的知识贫乏，是不容易产生好念头的，如果我们完全没有知识，则根本不可能产生好念头，一个好念头的基础是过去的经验和已有的知识。”

可见，数学知识经验的多少对数学学习的开展有着重要的影响。另外，学生的日常生活经验也可能会阻碍学生对平面概念的理解。基于上述问题，笔者试图寻找一个合理可行的平面概念的教学设计，设计方案如下。

1.新课引入

师：我们在初中的时候已经了解了平面图形，如三角形、平行四边形、圆、梯形等，它们都是由点和线构成的，我们在一个平面内处理这些平面图形的问题。点和线是我们研究平面几何的基础。现在，我们要开始研究立体几何的问题，立体几何研究的是空间图形的性质，如前面我们学习的柱、锥、台、球等都属于空间图形，都是我们要研究的对象。下面请同学们观察这个长方体（如图3-1所示）。

图3-1

师：我们在这里可以找到哪些几何元素？

生：有六个面，八个顶点，十二条棱。

师：对，空间图形都是由点、线、面这些基本元素组成的，立体几何研究的就是这些点、线、面之间的关系。点、线、面是立体几何的三大基本元素，以后我们学习的所有定义、公理、定理都是建立在它们的基础上的。点和线的性质我们在初中已经学习过了，这一节课我们主要来研究平面的性质。

2.认识平面

师：根据前面所学的知识，我们知道，点构成线，线构成面，面构成体。继续观察长方体，我们可以把它看作由前后、左右、上下六个面围成的。每个面都是矩形，如矩形AA1B1B，又可以被看作由四条直线AB、BB1、A1B1、AA组成的。可以看到，点构成线，线构成面，面构成体是立体几何中的基本关系。下面我们就从线构成面的角度来认识平面。

师：我们先来看看这样一些物体，它们给我们一个怎样的印象呢？

（教师用PPT给出海面、草原等图片，让学生教室中观察桌面、黑板面等。教师总结学生的意见：它们都是平的、直的。）

师：我们能不能根据这些特点试着给平面下一个定义呢？

（教师引导学生观察、思考，尝试给平面下一个定义，学生众说纷纭。）

3.深度认识平面，理解平面概念。

师：同学们的说法和历史上的数学家极其相似哦！

（教师用PPT展示表3-2，即历史上的数学家对平面概念的理解。）

表3-2　历史上的数学家对平面概念的理解

（教师根据表3-2介绍平面概念的历史发展。）

师：我们一起来分析一下，各位伟大的数学家对平面的定义是否正确呢？

师：我们看到，历史上各位数学家的定义大多尝试用直线和点来说明平面的“平”“直”。也就是说，判断一个面是不是平面的关键在于它是否平、直。平面可以被看作由直线构成的，直线是可以无限延伸，所以平面也应该是——

生：无限延伸的。

师：所以我们最后采用的是希尔伯特的想法，平面是一个原始的概念，平面是绝对平的，没有厚度的，无限延展的。那你能举出一个现实生活中的平面吗？

生：好像举不出。

师：对，平面在现实生活中是不存在的，它是一个抽象的数学概念。“平”“直”“无限延展”是它的本质属性。那么怎样表示一个平面呢？

师：请大家回忆一下，我们是怎样表示直线的？（板演）

师：直线的属性是怎样的？

生：直的，无限长的。

师：我们刚才怎样表示直线？是画出了整根直线吗？

生：不是，只是一部分。

师：那我们是不是也可以只用平面的一部分来表示整个平面呢？

（教师板演，做出平面示意图，强调平行四边形是平面的一部分，而不是一个平面。）

4.三条公理

师：我们知道，平面是由直线构成的，那么对于某一条直线，怎样判断它是不是属于某个平面呢？

（学生思考，教师引导。）

师：我们看看莱布尼兹的定义：平面可以被看作由无数个点构成的。直线也是由无数个点构成的。平面又可以被看作由直线组成的。平面内的直线上的所有点都在平面内，由两点确定一直线。也就是说，如果一条直线上有两个点在平面内，那么平面内经过这两个点的直线与这条直线重合，即线在面内。因此，判断一直线在不在平面内，只需要判断这条直线上是不是有两个点在这个平面内。这就是我们的公理1。生活中有很多例子，如将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光就可以检查桌面是否平整。

师：平面由直线构成，当两个平面相交的时候，会不会交于一条直线呢？用纸张模拟，根据平面的无限延展的性质，说明必然会交于一条直线，即公理2。

师：那怎样来确定一个平面呢？结合皮埃尔的定义，不在同一条直线上的三点A、B、C，过其中任意两点，如A、B，做直线，那么过点C可以做无数条直线与AB相交，所有的这些直线就构成了一个平面，也就是说，不共线的三点可以确定一个平面。这就是公理3。公理3中，取特殊情况，很容易得到3条推论。