促进教师运用高中数学教科书探究内容的策略方案

本书认为，应促进教师积极使用探究内容，转变高中数学教学方式。首先，教师要努力提升自己驾驭教科书中探究内容的能力；其次，教科书中探究内容的编写要注重探究的可操作性，以促进课堂教学时间的合理使用；再次，学校应为教师使用探究内容提供政策协助和硬件支持，同时为教师交流探究内容使用创造条件；最后，探究内容指向学生数学素养的提升，往往无法迅速提高学生的数学成绩，学校和家庭层面应转变观念，以关注培养学生综合素养取代仅关注提高学生的学习成绩，弱化探究内容使用与教学任务完成间的矛盾。在接下来的内容中，基于探究内容编写特点分析、探究内容使用的现状透视和探究内容使用的影响因素的探索，本书将从教师内在的提升、教科书探究内容的编写、学校与社会环境的改善等角度提出促进教师使用高中数学教科书中探究内容的具体策略。

（一）教师内在提升对策

教师对教科书中探究内容的理性认识、认同感、关注以及已有的教学经验等是影响教师实现教科书中探究内容编写意图的因素，为此教师应努力提升自己对于探究内容及其教学的理性认识，加深对探究内容的认同感、发展自身对探究内容的关注，使得探究内容编写的意图能够在日常教学工作中得到确切的落实。下文将根据探究内容的选取和改编、探究内容教学策略的执行和探究内容教学目标的达成三个侧面来为教师有效使用教科书中的探究内容提出可借鉴的对实践有启示意义的策略。

1.教科书中探究内容的取舍与改编原则

在给出教师选取与改编教科书中探究内容的原则之前，本书要对原则地给出理由进行一定的说明。首先，本书以教科书中的探究内容编写有着特定的探究意图和教学设想为基础，同时也认可每个教师有着自身教学的风格、习惯和艺术，这既是新课程改革中提倡“用教材教”而不是“教教材”的理念所在，同时又是本书给出教师选取与改编探究内容原则的前提。笔者提出选取和改编探究内容的原则，不是说教科书探究内容编得不好需要挑拣和改造，而是秉持“用教材教”的新型教材观，希冀通过引导教师依据自身的教学风格、习惯和艺术来创造性地使用教科书中的探究内容，既体现探究内容编写的意图，又充分发扬教师在教学活动中的主观能动性作用。基于对数学探究本质、高中生数学探究能力和经验、高中数学教科书中探究内容的分析，以及对优质教学案例的观摩和思考，笔者认为教师在教学中对教科书中的探究内容的选取和改编，可依据如下四条原则来进行。

（1）依据探究主线来取舍教科书中的探究内容

主线即主要线索，所谓探究主线原则，指的是统领并推进探究过程的线索。探究主线基于对数学探究过程的本质性理解。正如高中数学课程标准中指出的：数学探究过程包括“观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明”。探究是从数学问题出发，通过观察、猜想、反驳或证明来探寻某一数学对象特征的过程，教学中每一探究内容都必须紧紧围绕该数学对象的特征，同时对于该对象的同一特征的探究之间必须有递进的逻辑关系，而不应有并列的枝枝节节以影响学生的思维方向。例如，“指数函数及其性质”这一节有两个研究主题，一为建构指数函数概念，这与教科书中的探究栏目相对应，二为探寻指数函数性质，此即探究栏目的意图。如果只从探究主线的角度来看，思考栏目的第二个问题“可否利用y=2x的图像画出的图像”，实际上是偏离探究主题的。在笔者看来，由于指数函数图像的做出是完成指数函数性质探究的必要条件，所以教科书设计该问题实际上是考虑到用纸笔作图方式完成探究任务的快捷性。事实上，教科书还设计了另外一条并行的探究线索，即在该节附录的信息技术应用栏目“借助信息技术探究指数函数的性质”中，给出了通过信息技术辅助作图来获得探究需要的研究对象的方法。本书认为，教师在教学中如果使用纸笔画图的方式，则必然需要处理思考栏目的第二个问题，然而如果教师采取的是信息技术辅助作图，那么思考栏目的第二个问题就略显得偏离研究主题。由这个案例可见，教科书正文中的探究内容也并不是都要在教学中被予以处理，教师亦可以根据探究主线与方法对探究内容进行一定的取舍，使得课堂的探究能够集中于突破教学的重难点，而不是被其他枝枝节节的任务分散。

（2）依据探究的“流畅性”来增加探究内容

此处探究的“流畅性”实际上关注的是学生能否依据已有的经验自主得出探究的思路。正如前述，探究内容之间必须有递进的逻辑关系，这一方面意味着探究内容之间不能是简单的重复，另一方面也揭示着探究内容之间有着一定的逻辑上的跨度。为此，教师在教学中应根据学生情况，对数学逻辑跨度较大或学生把握困难的探究内容，通过增加探究任务来缩小探究逻辑上的跨度，让学生能够窥见探究的逻辑与思路。例如，“函数的奇偶性”一章中有一个观察栏目，首先根据课本上的函数定义——函数是两个数集之间的对应关系，从对应关系到图像再到列表的转换对学生来说并不是一件能自发想到的事情；其次，该栏目一来就给出两个函数图像让学生观察，提出问题——“这两个函数图像之间有什么共同特征”，在之前没有任何文字表述以明确该栏目的研究主题，对学生来说逻辑的跨越较大；再次，由于初中所学函数带来的影响，大多数学生只愿意用解析式表示函数，似乎在学生的认识中函数就是解析式，如y=2x+1或y=x2；最后，虽然函数有解析式、图像和表格这三种表示方法，但是在课堂教学口语描述中，解析式的方式是最为便捷与有效的。因此，面对“函数的奇偶性”中的观察栏目，教师往往会这样来引入：“我们今天要学习函数的另外一个性质——函数的奇偶性，请大家观察函数y=x2和y=2-|x|的图像，你们能发现它们的共同特征吗？”学生会说“关于y轴对称”。教师会继续问：“那么我们如何用解析式来描述这一图像上的特征呢？”针对这个问题，学生可能会提出至少两种方案：直接研究解析式；研究图像上的点。研究解析式也能得到f（-x）=f（x），但事实上研究图像上的点更能体现出从图像特征到解析式特征的转换及其中蕴含的数学思想方法，同时还可将函数三种语言的转化蕴含于探究过程中。不管教学中采取哪种方案推进教学，填表任务的提出都显得有些突兀。虽然教师可以口头提醒学生基于数形结合或者函数三种表示方法的转化来获得解决问题的方案，但都会显得不够自然，也就是说获得“通过填表去归纳”的探究思路对学生来说是有障碍的。教学中，教师不妨在观察栏目之前增加一个探究内容，请学生画出函数y=x2和y=2-|x|的图像，按照已有的经验，学生知道画图像需要列表、描点、连线这样三个步骤，这样该观察栏目的探究任务的提出就显得顺其自然了。事实上，通过添加该任务，教师其实是以比较隐秘的方式提醒学生可利用数形结合思想将函数三种表示方法进行联系和转化，这比用口头语言告诉学生来进行三种语言的转化更高明，因为它可以让学生主动自发地联系已有的认知经验，来自己获得探究的思路。当然，这样设计还有其他益处，如更能渗透数学思想方法等。

（3）依据“任务的明确性”来改编探究内容

所谓“任务的明确性”，即探究内容教学中必须让学生明确自己应该在探究中做什么。有些教师、学者反映探究教学只是课堂上热闹，其实学生是在讨论与教学无关的内容，从而对探究式教学法提出了批判的声音。笔者认为问题不在于探究教学本身，而是教师设计的任务或教学指导语对学生来说不明确，学生因为不知道自己该做什么，才可能会在课堂上讨论与教学无关的话题。例如，“倾斜角与斜率”这一部分中有如下思考栏目：“日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？”其意在使得斜率的提出显得有一定的依据，然而教师如果直接在课堂上将这个栏目呈现给学生的话，学生往往很难自己想到，也即这个内容的探究对学生来说并不明确。教师不妨转换成这样来问：“日常生活中，我们遇到过哪些与倾斜程度相关的事情？”学生能联想到“爬坡、爬楼梯”与倾斜程度相关，坡或者楼梯越陡也即倾斜程度越大越费力。教师可以接着问：“那么我们可以用什么量来刻画这个坡面或楼梯的倾斜程度呢？”再引导学生体会倾斜角相对而言是不好测量的，而距离好测量，从而引入坡度的概念。相较于教材上的思考栏目而言，这样做可能会有更好的效果，因为这一方面使得学生能明确知道自己在探究中该做什么——即回想生活中与倾斜程度相关的事情，另一方面也能让探究与学生的生活真正联系起来。事实上，这也更能让学生体会解决数学问题与解决生活问题的一致性——化不好做为好做（因在实际生活中测坡面夹角相对困难，而测距离则轻而易举），从而渗透化归的数学思想方法。

（4）依据“教学的现实性”来创生探究内容

此处所谓的教学的现实性，主要表达教学是生成的，而不是预设的。虽然必须承认教科书中的探究内容有着特定的教学意图，但不意味着探究内容的教学应该按照教科书的预设来进行。依据教学的现实性来创生探究内容这条建议，更强调的是依据教学现实中的需求来对探究内容进行创生。探究从问题开始，探究内容的创生则意味着研究的问题也是学生提出来的。例如，数学课本上的实习作业安排了一次调查研究，给出了两个供学生参考的问题：一是在校中学生每周使用计算机时间的调查研究；二是中学生物理成绩与数学成绩之间的相关关系。任教的S教师并没有使用教科书设计的两个问题来让学生开展探究，而是在学生查阅资料讨论的基础上形成了学生比较关注的两个问题：关于穿越剧对中学生影响的问卷调查；中学生家庭购物方式调查。这一教学案例即实现了对探究内容的创生，从问题的提出开始就完全由学生来完成，包括之后问卷的设计、样本的抽取方案、问卷的发放、回收统计、调查结果的分析与汇报，学生实现了小组互动的齐心协力，整个探究活动开放水平很高，学生参与的积极性也很高。在探究的最后环节——汇报交流中，学生围绕使用抽样方法的合理性、调查过程的实用性和调查结果的参考性进行了热烈的讨论，教师也进行了精彩的点评，让学生进一步巩固了统计与抽样部分的知识点。

总体而言，教师在选取和改编教科书中的探究内容时，应根据教学的实际需求，使得所选择的探究内容既具有数学探究的味道，有一定探究的价值，也是学生能够自主进行的；而改编探究内容的时候教师应以学生能自主发现探究思路为原则来进行。这些原则或者建议，其最终目的都是为了让探究内容教学过程中学生的探究能够触及数学的本质，能真正实现探究内容编制的意图，并防止学者指出的数学探究教学中的“滑过现象”“异化现象”“走秀”等教学的不良倾向产生。

2.教科书中探究内容教学策略的执行原则

（1）树立“体现教科书编制意图”的教科书使用观

新课程改革中，不少学者提出了新型的教材观，将教材当成教学的手段、材料而非目的，提倡教师在课程实施过程中“用教材教”而不是“教教材”。这种观念有多重变式，如“教材二次开发”“创造性使用教材”等。但在教学实践当中甚至产生了异化，如语文中教《背影》，生成了“父亲违反交通规则”的创见；教《宝玉挨打》，演变为家教问题的讨论。又如，生物中教学“种群的特征”，将“黄豆一包”替换为“100颗黄豆”，看似减少了误差，实则犯了科学性错误。更甚者，教师成了学校课程的唯一开发者，在课堂教学实践中，个别教师自己设计的学案替换了教科书在课堂上的位置，甚至个别教师根本不带领学生建构知识，新授课变成巩固课，学生自己阅读学案上对概念的定义或理论的描述后即进入解题训练的环节，题海战术通过导学案在广大教师的课堂教学实践中复辟。这样的现象不是学者提出“用教材教”的初衷，更不是课程改革的初衷。正如《基础教育课程改革纲要（试行）》指出的，“课改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，……教材改革应有利于引导学生利用已有的知识与经验，主动探索知识的发生与发展”。可见，新课程倡导学生的自主学习，其指向还是对知识的建构和深入理解，“用教材教”在教学实践中异化为“设计导学案让学生通过记忆和解题训练自学”的方式，完全是对“用教材教”教材观的一种误解及过度解读。课程改革呼唤合理的教科书观的形成，正如学者指出的：“‘教教材’与‘用教材教’根本不构成教学中的对立范畴，‘用教材教’的基础是‘教教材’，‘用教材教’主要还得教教材。”因此，“用教材教”的观念不能太过强调对教材的脱离，它得有一个前提，就是对教科书内容“教学意图”的深入理解与实现，达到了这个前提条件，创造性使用教科书才有意义。教师在教学中亦应形成合理的教科书观，特别是对教科书中蕴含特定教学理念的探究内容而言。正如教科书编写委员会指出的，教科书通过“观察”“思考”“探究”等栏目，提出恰当的、对学生数学思维有适度启发的问题，引导学生的思考和探索活动，使他们通过认真观察具体实例中反映的数量关系或几何特征来概括数学概念等知识，经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等数学理性思维的基本过程，切实改进学习方式；而设置“观察与猜想”“阅读与思考”“探究与发现”“信息技术应用”等栏目，为学生提供丰富的具有思想性、实践性、挑战性的，反映数学本质的选学材料，拓展学生的数学活动空间，发展学生“做数学”“用数学”的意识。教科书中探究内容的编写意图与《基础教育课程改革纲要（试行）》给出的课改理念一致，为此，在面对教科书中的探究内容时，教师应深入理解其编制的教学意图，并在教学中体现这些编制意图，这才是合理的教科书观。

（2）从数学本质出发来引导学生探究

数学探究本质上是对数学研究活动的模拟，教师要做到对学生探究的恰当引导，脱离不开对数学本质的理解。事实上，高中数学教科书中的探究内容深刻体现着数学的本质。

首先，数学是研究现实世界中空间结构和数量关系的科学。这是静态数学观下的典型认识，在此处本书强调的不是静态的数学观念，而侧重于“现实世界”这个定语。它表明数学源于人们的生产生活实践，脱离不开对现实世界中现象的研究和描述。我国高中数学教科书中的探究内容的设计体现了数学研究的对象源于现实世界。因此，部分探究内容的完成往往需要经历抽象的过程，特别是以陈述性知识建构为探究对象的探究内容。

其次，数学是研究变化中的不变关系或不变量的科学。虽然从历史的角度来看，早期数学属于常量数学范畴，但是在常量数学中研究的对象亦是变化中抽象出来的不变量。例如，代数中自然数的形成与抽象，正是因为人们看到了1个苹果、1棵树、1个人、1座山等变化事物之间的不变性，才抽象出“1”的概念；方程则更是一种不变量的数学表示方法，“恒等”则是解方程过程中方程变换的核心所在；而几何学本身就是“研究图形在变换过程中的不变性质”的，其中三角形的内角和定理等性质，事实上是各种各样不同形状的三角形之间的不变性。到了17世纪，欧洲数学中引入了变量，数学史进入变量数学时期，数学研究的对象更体现出了“变化中的不变特性”的本质。例如，函数，作为两个变量的对应关系，其本质即两个“量的连续运动”；微积分中则强烈体现着变化中的不变关系，如极限、导数、微分等概念；而几何中，人们则开始研究图形之间的互相变换，事实上关注到了图形变换之中的不变性。到了现代数学阶段，数学研究的对象越来越抽象，近世代数、泛函分析、拓扑学等学科中，无一不体现着变化过程中的不变性是数学研究的对象这一事实。上述论述主要从代数和几何领域的研究对象，来论证数学是研究变化过程中的不变关系或不变量的科学，事实上，在概率与统计（探讨随机现象的统计规律）、离散数学等数学的分支领域中，如果我们仔细考证，上述结论也是成立的。高中数学教科书中，“列表归纳奇偶性”“通过观察书本翻页获得线面平行判定定理猜想”，这些探究内容的设计都很好地体现了数学的这一本质。

再次，数学是人工制品，具有属人特性。数学哲学研究的历史脉络显示，早期人们倾向于将数学看作绝对真理的先天存在，数学是神性的、形而上学的、静态的。然而随着数学的发展和人们认识的深入，人们逐渐认识到数学是可错的、渐进的、可通过“探索猜想推理验证”去认识的，数学是人性的、动态的、文化的、多元的，数学脱离不开人的存在，是人类文明不可或缺的一个组成部分，是伴随着文明的发展而发展的一门科学，具有文化的特性，是一门具有多元性的科学。数学是人工制品，具有属人的特性，但是这种特性与工具器械等有着决然的差异，数学只停留在人的思维中，也即数学是人类思维活动的产物。正是在这样的理解下，数学探究应成为学生获取知识的途径这一观点才逐渐获得了人们的认可。高中数学教科书中设计如此众多的探究内容，也正是基于此种认知，旨在通过探究内容让数学成为学生自发探究的结果，并让数学在探究过程中体现出人工的特性。

基于上述论点，本书认为探究内容的教学必须深刻体现数学的上述本质，让探究内容的编制意图在教学中获得真正实现。然而探究内容的教学毕竟离不开教师，教师在教学中的引导是上述数学本质能够得以揭示的必然途径。仅以“线面平行判定定理”中书本翻页模型的教学引导为例，来解释如何从数学的本质出发来引导学生的探究。首先，在引入这个探究内容之前，教师可以对数学研究的本质进行一定的叙述；接下来可结合叙述请学生观察书本封面运动过程，寻找其中的变与不变，为此可提出两个问题：问题一，运动过程中什么对象在变，什么对象没有变？问题二，运动过程中有哪些不变的关系？对于问题一的解答，可启发学生思考立体几何的要素（线、面）；对于问题二的解答，则可启发学生回顾立体几何中的关系（线线关系、线面关系）。这样，探究结论即线面平行判定定理猜想的得出可以是学生依据一定的数学研究方法获得的，同时也揭示了数学研究对象的现实性以及变化中的不变性。

（3）依据数学探究的特征来引导学生探究

目前，有学者在讨论数学探究的时候，往往采用“一般探究理论+数学例子”的模式，在教学中亦有教师将数学探究流于小组合作讨论的形式却并未触及数学的本质这一现象，这是因为他们没有认识到数学探究与一般探究之间的巨大差异。

首先，数学探究过程是一种内部思维过程，较少借助外部工具。正如前述，数学的研究与创新需要个体对客观数学知识重新表述与建构新知这个内部思维过程，也需要研究成果的发表与交流这个外部过程。但总的说来，内部思维过程是数学创新的主阵地，正如有人说的“数学研究只需要纸和笔”，虽然数学发展到今天与信息技术有着一些关联使得这种说法并不全面，但这突出了数学研究与一般科学研究的重大差异。一般科学研究，如物理、化学等，研究的对象是物质本身，数学则研究的是从物质中抽象出来的结构和关系，数学研究的对象是思维的产物，往往在现实世界中是不存在的。物理、化学等一般科学研究为深刻剖析物质的构成，必须依赖于精度极高的器械设备工具以及物质本身，而数学则在抽象出物质的结构和关系之后，即可脱离物质等思维外部物体的限制。

其次，数学探究的逻辑性要求更高。数学研究虽可脱离思维外部物体的限制，但却必须符合思维本身的规律。数学虽然也反映着否定之否定为肯定、质量互变等辩证思维规律，但数学主要遵从的是形式逻辑的思维规律：同一律、排中律、矛盾律和充足理由律。这些规律要求数学研究的思维对象及其真假很确定，同时要求任何一个命题的成立都要有真命题作为理由，也即需要证明（此处“证明”一词取数学中“证明”的含义：用某个或一些真实判断确定另一个判断真实性的思维过程），这使得“数学定理仅仅用概念本身出发的推理来证明”。但是在一般科学探究中，虽然同样有着确定的研究对象以及确定的性质，但性质的确定却不需要“证明”。例如，你不能说强硫酸腐蚀性很强同时腐蚀性很弱，但是你说强硫酸腐蚀性很强却不需要用已经证实过的硫酸性质来保障，而只需要通对硫酸腐蚀物体现象的观察就足以令人信服。数学探究的这一逻辑性要求，使得数学探究与一般科学探究相比多了一个环节：在通过观察或操作得出猜想后，还需要一个对猜想进行严格论证的过程。

再次，数学探究与一般科学探究相比抽象性的程度更高，正如恩格斯所说的，“数学是研究现实世界中空间形式和数量关系的学科”“全部所谓纯数学都是研究抽象的”。但是数学本身也有着客观的现实意义，特别是某些简单的数学概念，如数1、2、3以及几何中的点、线、面，它们与相应的现实原型之间是存在着明显的一般与特殊关系的，是通过对现实原型的抽象概括从而实现由特殊到一般的上升的。由此可见，数学研究的对象源于现实世界，但却不尽同于现实世界，而是一种剥离了空间形式和数量关系之外的其他属性的抽象物。而数学外的一般科学，如物理、化学、生物等，在关注原型的数学关系及空间形式等方面属性的同时，也关注材质、状态等方面的属性。相比较而言，数学中的抽象是比其他学科中的抽象更强的一种抽象。同时数学的抽象又具有逐级抽象的特点，这使得数学的抽象程度比一般学科高。相应地，数学探究也就具有了更强的抽象性和抽象程度。

最后，数学的逻辑性要求和抽象程度与一般科学相比更高，在一定程度上使得“数学研究具有自由性”，相应的数学探究就会比一般科学探究更具技巧性和灵活性。一般科学探究往往可以有固定的步骤和操作方法，而且这种步骤和操作方法往往独立于探究过程，也就是说探究步骤和方法确定了之后，探究活动对于学生而言仍具有挑战性。而对于数学学科，正如郑毓信指出的，“不存在可用以数学创造的机械法则”，数学中的探究则往往没有固定的步骤和方法，通常探究的步骤与方法也不独立于探究，即若我们将探究的步骤与方法告诉了学生，通常探究对于学生而言就没有挑战性了。

虽然数学探究与一般探究之间存在着这些差异，但却并不意味着数学探究是不可操作的。事实上，正如郑毓信指出的，“数学的创造活动又具有一定的规律性”“逻辑与直觉是数学研究的双翼”。其中，直觉虽然常常表现为一种无意识的思维活动，不可捉摸，但是正如徐利治指出的：“数学直觉既是抽象思维的起点，又是抽象思维的归宿。通过抽象性思维，对数学对象的本质有所洞察，有所概括，这样就形成了更高层次的数学直觉，从而又可进行更高层次的创造性思维活动。”这段话表明了数学直觉是具有相对性的，可以通过经验的积累来加强。而研究数学的另一只翅膀即逻辑则是可以把握的，数学的逻辑性使得数学具有很强的形式化特征，从数学抽象性和形式化的特点出发，数学探究亦有迹可循，很多学者就从逻辑的角度论及了数学发现或数学研究的原则。例如，徐利治指出数学抽象的法则有：强抽象、弱抽象、特征分离概括化、关系定性特征化、新元素添加完备化、结构关联对偶化、公理更新和谐化。郑毓信在此基础上则给出了数学发现的启发性原则：从数学抽象的角度来看，可遵从弱抽象（从原型包括现实原型和已建立的模式中选择某一侧面进行抽象）、强抽象（通过引入新特征强化原结构来完成抽象）原则；从同向思维的角度来看，可遵从结构关联对偶化（通过模式之间所具有的对偶性质对已有结果进行改造，得到新结果）、类比联想拓广性（通过类比联想与归纳去拓广已有结果）原则；从逆向思维的角度来看，可依照新元素添加完备化（用于原结构对新运算不具有封闭性）、公理更新和谐化（用于公理系统中发现矛盾）以及概念扩展和谐化（用于两种理论之间存在直接冲突）原则。这些原则对于数学探究的开展同样具有指导性。

故而，在数学探究内容的教学中，教师应遵从数学探究的逻辑与原则来进行对学生的引导，让学生不仅获得数学的陈述性知识，亦通过体验数学研究的方式方法获取数学的程序性知识，最终掌握数学研究的逻辑与原则，成为能够在数学中有所创新的新生代。

（4）基于数学探究的方法技能来引导学生探究

数学探究虽然比一般探究有着更高的灵活性，但是并不意味着探究不可操作。创造性的数学研究活动可在一定原则指导下进行，学生的数学探究活动则更多依赖于数学探究的技能和数学研究的方法。通过对教师的访谈和课堂观察分析可见，教师因缺乏必备的数学研究方法和数学探究技能，导致在教学“椭圆及其标准方程”时缺乏对实验思想的渗透，在“函数概念”教学中对三个函数实例的“分析”不知如何操作，以及将实验简单理解为动手操作。为此，开展探究内容的教学需要教师学习数学研究的方法与数学探究的技能，并从数学的方法与技能出发来引导学生探究的开展。

必修系列和选修系列的高中数学虽有部分微积分、概率统计、算法的内容，但主要处于初等数学阶段，故而数学研究的方法作为研究初等数学的工具，包括一般方法和特殊方法。一般方法指的是一般科学研究中也需要使用的方法，包括观察与实验、分析与综合、比较与分类、抽象与概括、一般化与特殊化等。特殊方法则指的是数学中特有的方法，如数形结合、化归、模型化、公理化等。每一种方法都有着特定的含义和操作程序，如“抽象”这个教师经常在设计教学时使用的词汇，在数学中有着动词性和形容性的含义，动词性“抽象”指从事物中区分出个别的非本质的属性特质和共同的本质的属性特质，并舍弃个别的非本质的属性特质而抽取出共同的本质属性的过程和方法；形容性“抽象”是用来形容那种偏离具体经验较远因而不太容易理解的对象的一种程度词。往往教师意识到“抽象”的形容性含义却不知道在其动词性含义下该如何操作。事实上，作为一种研究数学的方法，抽象需要经历三个阶段：分离—抽取—简略。所谓分离，就是将我们所要研究的对象从现实世界中分离出来；而抽取，指在思维中去除研究对象模糊的、掩盖普遍规律的干扰因素，并在纯粹状态下抽取研究对象的本质属性；简略则指向研究结果的表述阶段，指从研究对象属性中选取能推出其他本质属性的一个来对研究对象进行表述。

（5）遵从“学生主体、教师协助”的角色定位来引导学生探究

以往的数学课堂教学中，知识和教师是教学的中心，一切教学活动都围绕着知识和教师来展开。在数学探究教学中，学生才是探究的主体，而数学探究又具有相当的灵活性，因此教师应居于组织者和引导者的地位。探究内容编写以“切实改变学生的学习方式”为意图，在探究内容的教学中，教师也需要分清自己与学生在数学探究中的角色和地位。

第一，学生是数学探究的主体。教科书在“观察”“思考”“探究”等栏目中明确提出问题，引导学生的数学活动，使他们认真观察具体实例中反映的数量关系或几何特征，积极主动地开展实验与猜想、归纳与推理活动，思考问题的本质，探究解决问题的方法，使学生通过自己的探索思维来概括概念，获得数学结论，多方寻求答案，解决疑问，领悟数学思想，理解数学本质。因此，探究内容教学中学生才是探究主体。因而教师在探究中承担的应该是一个组织者和合作者的角色，是一个配角，而不再是权威的角色，其在数学探究的过程中主要起到提供学生数学探究帮助的作用，而不是主导的作用。相应地，学生在探究内容教学中应该成为主角，是探究活动的主要设计者和执行者，是完成数学探究的主体成员。这是数学探究内容教学符合编制意图的首要条件，也是识别教学是否具有探究性质的一个重要标准。

第二，应允许学生在探究中犯错误。在探究内容教学中，首要的意图应该是让学生自己探索数学知识，经历数学发现的过程，初步学习数学探究的方法与策略，体验成功的快乐。然而人们对事物的认识有一个由浅到深的过程，在数学中也不例外，数学发现过程本身充满着尝试与错误，正如范文贵指出的，数学家也会犯错误。因此在数学探究教学过程中，教师应该允许学生犯错误，不宜要求学生在数学探究中的一次完成性。另外，学生的错误尝试中往往含有合理的思维成分，教师要对学生的错误有清晰的认识和深刻的分析，善用学生的错误来引导学生进行探究，让学生体验并形成数学作为人类的一种创造物是文化的一个重要成分这样的数学文化观，并养成自觉检验和分析的学习习惯，进一步提升数学素养。

第三，要留给学生充分探究的时间。既然学生是主体，那么课堂上关于探究内容的探究时间，就应该是留给学生的。正如教科书编写委员会指出的，教科书通过“观察”“思考”“探究”等方式，为学生提供自主学习的空间，切实改进学生的学习方式，培养学生的创新意识。但如果缺少时间的投入，学生自主学习空间就会被挤压、缩小，甚至可能成为“真空”，就不会有“创新”的“经验”与“实践”，那么创意意识的培养就会成为空想。

总的说来，在探究内容的教学中，教师要做好组织者和引导者，允许学生犯错误，让学生在错误中成长，让学生真正成为课堂的主体。

3.教科书探究内容教学目标的达成原则

（1）正确认识探究内容的教学目标

根据教科书编写委员会的考虑，教科书中的探究内容有着自己特有的编制意图，也就意味着探究内容的教学目标与一般教科书内容有着差异，其最终的意图在于学生创新意识的培养。在数学中，创新不仅要求学习者有问题意识，更需要具备必需的知识、恰当的数学研究方法、对数学的合理信念、良好的习惯，以及更为重要的不轻易放弃的意志品质。这些就像“创新”这颗种子发芽必备的条件，缺少其中任何一个，创新都有可能萌发受挫，而在土壤中腐败，失去生命与活力。这些必备能力的养成正好与新课程三维目标（知识与技能、过程与方法、情感态度价值观）有着高度的一致性和对应性。

首先，探究内容的三维目标结构。探究内容虽以改变学生的学习方式为首要目标，但是并不意味着知识与技能、方法等目标就不重要，根据对文本分析的结论，教科书中的探究内容以知识探究为主要对象，且教师用书中的指导语常常出现“加深学生对……的理解”，可见知识与技能维度的目标亦是探究内容教学必须关注的。另外，正如前面引用的教科书编写委员会对探究内容编写意图描述中讲到的，对数学知识形成过程的经历，是探究内容设计的一个考虑，表明过程与方法维度的目标亦是在探究内容教学中必须受重视的。当然，要想能够让探究内容的教学真正使学生将来在数学中有所创新，探究内容教学的第一步就应培养学生对数学的兴趣；第二步应通过学生亲自动手的实践，让学生获得在数学中“创新”的成功体验，满足学生求知欲的同时使学生积累认识世界的自信和能力；第三步应让学生通过对数学知识的形成与应用过程的体验，认识数学的属人特性，从而建立合理的数学观——数学是人们解决问题的产物；第四步应通过让学生在反复试误的过程中培养良好的意志品质。

其次，过程与方法目标中的“过程”指的是数学过程而不是教学过程。在三维目标中，需要注意的是，强调的过程应该是数学过程，而不应该是强调教学过程。数学过程和教学过程是个概念，数学过程强调的是数学知识发现的过程，可以转化为教学过程，而教学过程则不一定是数学过程。

最后，情感态度价值观则是长远目标。对探究内容三维目标的认识，另一个值得注意的是情感态度价值观是长远的目标，往往无法在一节课中培养，特别是在一个探究内容中，情感态度价值观目标不太可能全面实现，但并不意味着探究内容教学就不需要设计这个维度的目标。在情感态度价值观三者之中，情感体验是基础，情感体验得到强化、稳定后就可成为态度，而价值观则是态度的凝练与升华。个体的有些态度经过长时间的积淀而稳定下来，就形成价值观。这意味着情感态度价值观维度的目标是有着层次性的：其中情感是第一层次的，态度紧随其后，而价值观是最高层次的。正如有学者指出的，主体（个体）在亲历客观对象的过程中在对事物的真切感受和深刻理解的基础上，对事物产生情感并生成意义的活动——是有效落实情感态度价值观目标的切入口。由此可见，对于情感态度价值观长远目标的实现，应从情感入手，在每一个探究内容的教学中让学生产生对数学的情感，并通过长期的实践让情感转化为态度，最终形成合理的价值观。

（2）合理呈现探究内容的教学目标

目标陈述反映着教师对教学目标的清晰认识，亦影响着学生的学习效果。为此，在进行探究内容教学设计时，教师要合理设计并呈现关于探究内容的教学目标。鉴于探究内容设计的意图，以及目标陈述的技术，本书认为探究内容的目标陈述应遵循如下两个原则。

第一，“手段+目的”的陈述原则。这一原则是笔者根据探究内容设计意图提出的，探究内容的意图之一在于让学生经历数学知识的形成过程，将对探究内容的探究当成形成数学知识的手段。为揭示探究内容的这一意图，探究内容教学的目标陈述应采取“方法+过程+结果”的方式。例如，某教师对探究栏目目标的描述“第10页的思考，目的是让学生用联系的观点，类比数的加法与乘法的关系，进一步认识两个计数原理之间的关系”，揭示了探究的数学方法是类比，过程为“类比数的加法与乘法的关系”，而结果是“两个计数原理之间的关系”。如此一来，对于该如何探究、会经历什么样的过程以及探究能得到什么，教师和学生都能有清晰的认识，这样在探究的过程中师生才能够认清探究的方向，确保探究“有法可依”，通过数学的过程达到探究的彼岸。(www.xing528.com)

第二，“内部过程+外显行为”的陈述原则。根据教学目标陈述的原则，教学目标陈述既应揭示学生学习目标的内部过程，也应揭示学习目标的外显行为，这既有利于教师认识目标，也有助于教师对学生探究进行评价。例如，教师对实习作业栏目的目标陈述是“目的是让学生通过动手实践，增强他们的空间观念，用三视图和直观图表示现实世界中的物体”，不仅指出了学生完成该实习作业栏目应达到目标的内部心理过程是“空间观念的增强”，同时也给出了外显行为目标是能“用三视图和直观图表示现实世界中的物体”，并且还给出了实现目标的过程。但该目标陈述也有不足之处，其所揭示的过程并不是数学过程。

总体而言，教科书中的探究内容这一新生事物由于其特殊的理念和在教科书中的地位，是需要教师在教学实践中不断摸索和加强的，也是需要教科书编写者在进行教科书编写时关注的。不同背景特征的教师对探究内容的认同感，仅在某些维度上有显著差异。其中，具有一定规律与意义的差异是：教龄10年以下和硕士学历的教师对探究内容有更强的使用意向。事实上，教龄10年以下的教师由于在大学学习阶段适逢义务教育数学课程改革的启动和推广，以及高中数学课程改革的酝酿，学习了更多的新课程理念，诸如建构主义学习观、探究教学理论等。这一特点硕士学历的教师也具有。有理由相信，理论的学习与熏陶将是促进教师认同探究内容的有效手段。为此，我们应开展与探究内容使用相关的专项培训，促进高中数学教师学习探究内容的相关理论，提升他们驾驭教科书中探究内容的能力。

（二）教科书探究内容的编写原则

调查数据表明，除配套资源外，高中数学教师比较认同探究内容。然而配套资源评价的低分应引起重视。另外，访谈中有教师认为探究内容数量略多，且有教师形成了偏颇的认识，往往将探究流于学生小组讨论的形式。正如教材编写委员会指出的，探究内容的编制意图一为“切实改进学生的学习方式”“培养学生的创新能力和应用意识”，二为促进学生“领悟数学思想，理解数学本质”。其编制意图与数学“淡化形式，注重实质”的教学原则有着共同的诉求，本书认为其编写和教学亦应体现出对“探究”的“淡化形式”与“注重实质”，防止探究形式化和泛化。总体而言，应加强对探究内容编制与使用的研究，提升探究内容选取、呈现、教学设计、学习评价等方面的编制水平，明确揭示探究内容编制意图，促进教师对探究内容的认同、理解与使用。

本书对探究内容编写原则的提出，事实上涉及了教科书编制、课程开发的研究领域。泰勒在1949年出版的《课程与教学的基本原理》一书中，给出了当代课程研究领域最有影响的课程原理，提出了课程编制必须考虑的四个问题：学校应达到哪些教育目标？提供哪些经验才能实现这些目标？怎样才能有效地组织这些教育经验？怎样才能确定这些目标正在得到实现？简单地说，就是确定目标、选择经验、组织经验和评价结果。教科书的编写亦应遵循这一原理，日本西之园晴夫给出的教材编制设计阶段的工作步骤，就反映了泰勒的这一课程原理。西之园晴夫指出，设计阶段要完成四个步骤：教育目标的设定和明确化；目标的分析和结构化；学习经验的选定和系列化；学习方式或沟通模式的选定。其中，步骤一、二讨论的是泰勒原理中的第一个问题，步骤三则讨论泰勒原理的第二、三个问题。为此，本书探讨教科书中探究内容编写的建议，亦选择泰勒原理的指导，将从探究内容编制目的、探究内容的选取和探究内容的呈现三个维度来提出策略与原则。

1.明确探究内容的编制目的

（1）通过广泛调研来确定探究内容的编制目的

西之园晴夫指出，在教材编制设计阶段之前的规划阶段，应该对教育需求进行调查，然而其调查指向的是对教材使用范围和使用频度的预测。笔者认为，探究内容编制目的的确定亦应基于广泛的调研。学者指出，教育目标应当源于三个方面：对学生的研究；对当代社会生活的研究；学科专家对目标的建议。当然，考虑到我们处在一个“地球村”的时代，借鉴学者对教育目标来源的认识，笔者认为这里的调研包括多种对象和问题：首先，需要对数学教育专家进行调研，明确探究内容编制目的的维度和具体指向；其次，需要对广大师生进行调研，明确怎样的编制目的易于在教与学中实现；再次，需要对各个国家的高中数学教科书的探究内容进行调研，借鉴他国关于探究内容编制目标设计的已有经验。当然，上述调研形成的探究内容编制目标如果能够经受住小范围实验研究的实证，那必然能为探究内容编制目的的最终确定提供有力的支持。

（2）正视不同位置中探究内容编制目的的差异

在进行目标设计时，需要注意的是不同类型的探究内容的目标应该是具有差异的，特别是当这些探究内容被放置在教科书中的不同位置时，如正文中的探究内容应以经历数学知识产生过程、学习数学研究方法、体验数学研究的成功为主要意旨，而附录中的探究内容作为正文的一种补充，则应重在对数学知识的背景、历史、文化等的拓展补充，以及关于数学知识的应用实践与案例，以便于学生拓宽知识面，体验数学的应用价值。

（3）明确指出探究内容编制的目的

对探究内容编制目的的明确，目前除了章建跃发表在《课程·教材·教法》杂志上的《普通高中数学课程标准教材的研究与编写》一文有零星涉及外，就再没有对探究内容编制目的的明确描述，就连配套的教师用书中，也未专门为探究内容设计的总体教育目的进行陈述。对于探究内容编制目的的更多信息的获取依赖于学者、教师对《普通高中数学课程标准（实验）》、教科书中的探究内容以及配套教师用书中的描述来揣摩。这必然会大大制约探究内容的使用效果，为此笔者认为对探究内容编制目的必须有一个明确的陈述，这个陈述必须从课程的顶层设计开始，一直延续到教师教学实践中最易获取的材料即教科书上。这意味着，首先普通高中数学课程标准应该设计一个探究内容的总目的；其次，教科书编写委员会应专门介绍探究内容的编制目的；最后，教科书对探究内容的编制目的要有一个总体陈述。这既可以为学者开展探究内容研究提供标杆，也可以为教师和学生对探究内容的使用提供指引。

（4）教学目标的分布与呈现应合理

由上文可见，新课程三个维度目标有不同的层次及立意，探究内容本身体现的是对过程与方法、情感态度价值观领域目标的关注，而通过文本分析可见，教师对探究内容的教学目标进行指导时，会涉及知识与技能、过程与方法、情感态度价值观三个维度的目标，但其分布有偏向知识与技能的特点。故而教师在考虑探究内容的教学目标时，应使三个维度的分布合理。另外，考虑到教科书对教师教学的引导性，探究内容教学目标的呈现亦应合理，既应关注学生的内部心理过程亦应关注学生的外显行为。

2.探究内容的选择原则

探究内容的选择，事实上涉及两个层次的问题：一是教科书应该在什么样的知识呈现时设计探究内容；二是应该呈现具有什么特性的探究内容。当设置探究内容的目的确定后，这就是接下来需要考虑的问题。毕竟探究内容的研究相对还比较少见，人们对探究内容这一新生事物的认识还不够深刻。为此，本书并不试图建构探究内容选取的整体理论，仅在教科书编制相关理论的指导下，结合文本分析、使用现状及存在问题、影响因素分析、教师访谈、已有研究成果和他国教科书探究内容编写等，来提出选择探究内容的原则。

（1）价值性

内容的选择始终离不开“价值”的取舍，教科书在探究内容的选取上，也必须考虑价值性的问题。毕竟学生的时间和精力是有限的，探究往往又比较花费时间，因此探究内容要有付出时间和精力去探究的价值，才能促使教师和学生在教学实践中去实施探究。例如，课本中“直线与直线的位置关系”部分有一探究栏目，是获得空间线线关系知识之后的一个应用性探究，要求学生判断正方体展开图上的四条线段，以及当展开图还原为正方体后，其所在直线之间异面位置关系。虽说这个探究栏目有一定意义，可使学生巩固刚学习的异面直线知识，进一步培养学生的空间想象力，但是首先在这一部分中空间想象力的培养并不必然依赖于该探究栏目，其次出现在这个位置的探究内容的主要意图是异面直线位置关系知识的应用，并不需要附加一个平面转空间的思维过程，再次这个平面转空间的过程对学生来说仅靠脑海中的想象是难以实现的，需要可视化或物化过程。这样一来，在此处设计一个没有平面转空间过程的实际物体情境探究或模拟真实情境的探究，效果可能会更好。教学中有的教师就采用了螺帽上以及立交桥中的线线关系，来应用并巩固了异面直线的位置关系这一新知识。因此，探究内容的选取必须考虑价值性的问题，不仅应考虑该处是否值得设计探究内容，亦应考察值得设计什么样的探究内容。本书认为，探究内容的选取可从如下角度进行考量。

第一，核心数学知识的形成过程中，可设计探究内容。2010年6月2日，美国颁布了《共同核心数学课程标准》，随着对该标准的介绍，我国学者开始关注中小学数学的核心内容研究。鉴于数学以概念为思维细胞，以定理为思维纽带，以数学思想方法为思维养分，笔者认为在核心的数学概念或数学命题的形成过程中，以及重要数学思想方法的渗透中，可选取适当素材来设计探究内容，以帮助学生通过自己的探究更好地掌握核心的数学内容。

第二，体现数学研究特点的教科书内容中，可设计探究内容。当然，数学探究作为一种数学研究的模拟活动，除了概念、命题等知识的掌握外，更重要的是让学生体会数学研究的过程和特点。为此，在体现数学研究特点的数学教科书内容中，亦可设计一定的探究内容，让学生切实体验数学的研究过程和特质，以更好地理解数学的本质。

第三，有助于培养数学核心素养的教科书内容中，可设计探究内容。所谓数学核心素养，指的是包含具有数学基本特征的思维品格和关键能力，是在数学学习过程中逐步形成的。数学核心素养作为个体应该具备的最关键和最必要的基础素养，兼具个人价值和社会价值。其培养应成为数学教育的重中之重。为此，在进行探究内容设计时，亦可从对核心素养养成意义的考量出发，选择合适的教科书内容来设计探究。

（2）探究性

探究内容本质上是教科书中的一类通过提出问题引出学生探究活动的内容。学者之所以将教科书中的这部分栏目内容叫作探究内容，意味着这些栏目应该是具有探究性的。教科书编写者在进行内容选取时“要使学生从实践该教科书所蕴含的行为中获得满足感”。而数学问题解决最诱人之处在于它对人类智力的挑战和接受这一挑战并成功后的快乐体验。例如，“椭圆及其标准方程”这一部分的探究栏目，首先要求学生取一定长的细绳，固定其一端于0点，让另一端绕O点旋转一周得到一个图形；再取一定长的细绳，固定两端于A、B两点，用铅笔绷直细绳画出轨迹，并说出笔尖（动点）满足的几何条件。首先，对学生来说画椭圆是个新事物，没有接触过，因而该探究栏目会对学生有一定挑战，成功画椭圆并抽象出动点满足的条件，将能够给学生带来巨大的满足感。课堂观察中教师让学生分组探究画椭圆，而汇报阶段的气氛也很热烈，这就是一种学生成功体验后的情绪反应。其次，取的绳长和两定点间距离的关系会影响画出来的图形类型，给予了学生一定的探索空间，学生可以反复尝试，在尝试的过程中深刻体悟椭圆的本质属性。最后，抽取动点满足条件的过程，不仅需要对现实世界的抽象，还需要定量表示，也需要符号表示，真正触及了数学的本质。考虑探究教学提出的初衷是让学生自己通过对科学问题的研究来获取科学知识，基于画椭圆案例的分析，本书认为所谓探究性，强调的是探究内容对学生来说具有一定的挑战性、具有探究的空间，而且探究必须是触及数学本质的。

第一，挑战性。探究内容本质上就是通过在“观察”“思考”“探究”等栏目中提出数学问题，让学生反复探索这些数学问题，在解决问题的同时再创造数学知识并获得成功的体验，所以探究内容中的问题对学生来说必须是新的、有挑战性的且没有解决过的，否则将无法激起学生进行探究的欲望而成为摆设。

第二，开放水平。学生探究空间的大小由探究内容的开放水平来衡量，为此，探究内容的编写应具有一定的开放水平，让学生突破常规解题的限制，从提出问题或寻找条件开始进入探究，给予学生更多的空间。

第三，技能分布。探究内容必须触及数学的本质。因此，一方面，探究内容必须以数学概念、方法和原理为基础，而且推理、认识和使用时空关系，认识和使用数字关系、数据解释等体现数学学科特点的探究技能，应在解决探究内容过程中经常被使用；另一方面，探究内容的解决必须触及高水平数学思维，因此形成假设、下操作性定义等综合技能的分布得占到一定的比例。

（3）操作性

教科书编写者在选取内容时，要考虑为学生提供的内容“应该是学生能力范围所及的”。因此，探究的可操作性问题是在设计探究内容时必须要考虑的，由于探究内容的任务是由学生完成的，所以此处所谓的操作性指的是探究对学生来说是可执行的。例如，“导数的计算”中思考栏目“如何求y=ln（x+2）的导数？”，事实上是提出复合函数求导法则的问题，要想得到这个问题的答案，学生就需要进行对复合函数求导法则的探究，然而大学阶段的《高等数学》课程也并不要求学生能够自己推导复合函数法则。虽然高中学生已经具备推导复合函数的基本知识——导数的定义，但是推导过程中全是极限符号运算，对高中生来说，一是没有学极限的知识，不具备求极限的基本运算原理、方法和技巧，二是推导过程过于抽象、难度太大，三是也没有要求。仅就y=ln（x+2）来说，从定义出发来求导数，就需要用到极限的知识，还需要用到极限运算中指数式恒等变换、凑指数等技巧，对高中学生来说也确实过于困难了。该思考栏目对学生来说失去了探究的可能性，仅起到引入复合函数求导问题的作用，违背了探究内容设计的初衷，必然会带来教师和学生对探究内容的误解：探究内容中提出的问题或任务只需要在教学中提一提，并不需要真正去处理。从复合函数求导这个案例的分析可见，操作性事实上既涉及学生已有的素质能力，又涉及探究内容本身的特质。本书认为对于探究内容设计的可操作性，可从如下三个方面进行考量。

第一，所需知识和经验学生已具备。数学探究作为一种学习方式，也亦考量对学生的意义性的问题。只有当“符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当观念建立非人为的和实质性的联系”时，学习才是有意义的。这意味着探究内容的编写必须关注学生已经具备的知识和经验，才能让探究对学生来说是有意义的，探究学习才可能真正发生。

第二，最好能明确需要使用的方法和技能。思想方法是数学的灵魂，重大成果的取得往往与思想方法的创新有着密切关系，数学思想方法与数学成果一样，对数学的发展是同等重要的。对探究内容的探究也紧紧依赖数学方法和探究技能，虽然学生不一定需要在探究前知道这些方法和技能，但是若能让探究内容需要使用的方法和技能具有明确性，将对教师引导学生探究的开展给予巨大的帮助。当然，明确探究内容的数学方法和探究技能，也能帮助学生养成关注方法和技能的习惯，并发展自己的探究能力。

第三，难度与技巧性合适。探究内容需要一定的难度，过易的内容对学生没有挑战性，然而探究内容的难度也不易过大，更不易技巧性过强，让学生陷入数学的“奇技淫巧”，偏离探究内容设计的初衷。探究内容必须难度适中，让学生依照数学研究方法或探究技能的规范操作就能获取探究结论，鼓励学生注重方法性、规律性的技能的养成。

3.探究内容的呈现原则

内容的呈现是教科书编制中必须经历的一个重要环节，也是探究内容编写必不可少的考量。选取并设计好的探究内容，需要采取好的方式来呈现。好的呈现不仅要能给人留下良好的第一印象，促使师生对探究内容的认同，同时更为重要的是要能有利于教师的教和学生的学，这事实上涉及了探究内容的教学属性。所谓教学属性，包括教科书在教学设计、学习评价和教学资源等方面的属性，是教科书所体现或潜在的有助于促进教师教学和学生学习的特性，直接关系到教科书的使用效果。本书中使用“呈现”术语强调的是探究内容的组织、呈现样貌及教学设计。

（1）集中性

集中性原则强调的是多个探究内容之间的关系，本书认为探究内容的呈现应依据教学的主线来集中呈现。这有两层含义：第一层含义表达的是与教学主线不符的探究内容不放在正文中；第二层含义表达的是同一个教学主题线索下的探究内容集中放置在一起呈现。

首先，教科书呈现正文内容往往采取“创设情境—建立猜想—解释证明—拓展应用”的四环节基本模式，连续出现的几个探究内容必须与这一基本模式相一致。教科书往往在创设情境、解释证明和拓展应用三个位置上呈现探究内容，首先通过探究来建构与数学知识有关的猜想，其次通过探究来解释证明猜想以获得数学知识，最后通过探究来应用知识，往往每一环节最多设置一个探究内容即可，不需要做过多设计，以免给教师和学生形成探究内容过多的印象。例如，“空间点、直线、平面之间的位置关系”一节中的思考栏目，就是一个冗余栏目，该栏目出现在这里既不为任何一个知识或方法的教学提供情境，也不是对某个知识或方法的解释证明，更不是拓展应用。该栏目的出现仅仅是通过让学生回忆正方体中的线面关系，来引出点、线、面之间的关系是空间几何考察的对象。笔者认为实在没有必要在此处设置这样一个探究内容。

其次，目前探究内容的呈现往往与正文对知识的叙述一起交织进行，由于呈现位置的不恰当，造成了教师和学生使用探究内容的不便利。例如，在为建立猜想而设立的探究内容后紧跟着对探究内容解决过程的描述，往往教师让学生自主探究，而学生在遇到困难时没有反复地思考就直接去阅读教科书对探究过程与方法的解释，导致探究内容培养学生意志品质方面的意图流失。还有极少数探究内容由于出现位置不合理降低了探究性，让探究沦为模仿。例如，在“等差数列的前n项和”部分的探究栏目中，教科书先介绍了高斯求和的故事，并跳过高斯故事的分析而直接给出数列倒序相加的方法，解决1到n的求和后，才要求学生来探究高斯算法的妙处。事实上，高斯故事的情境在小学教科书中已经呈现过，但从故事情境中的描述到教科书紧随其后给出的1到n的求和方法，缺少了一个很重要的环节：对为什么将数列变成两个也即“左边×2”后才来配对分析。这一环节的分析才真正是等差数列求和公式推导过程中“×2”的关键所在，也是教学的难点所在，学生能够突破对这一难点的探究与理解，后面一般等差数列求和公式的推导也就顺理成章、毫无困难可言了。

考虑到上述教科书探究内容编写存在的问题及教学中的不可控力因素，如学生的自制力的影响，本书认为教科书中探究内容的呈现应体现集中性的原则，按照教学的主线集中呈现探究内容后，再来编排探究内容对应的解释、相应的知识点以及配套的练习题等内容。

（2）完整性

探究内容的编写要符合教学的主线安排，同时也应体现数学研究的整个形态。分析可见，探究内容设计中基础技能与综合技能使用频次是不平衡的，基础技能远远超过了综合技能。刘云指出，中国新高中数学教科书中的探究栏目76.5%以建构数学知识为目的，剩下的23.5%应用知识的栏目中，有6.0%为对新知识的创造性应用，也即有82.5%的探究栏目的目的与意图是形成模式（包括概念、命题和解题模式），在形成模式的深入阶段，往往必须使用形成假设、下操作性定义的技能，然而，这两种技能的训练次数却仅10次。由此可见，教科书中的探究栏目往往停留在数学探究的较浅阶段。例如，“函数概念”部分的思考栏目给出的任务为：分析、归纳以上三个实例，探究变量之间的关系有什么共同特点。其设置目的是使学生形成函数的概念，而数学中概念的明确往往需要通过对概念本质属性进行揭示的下定义这一工作来进行，这是一项综合技能，而教科书却停止于归纳实例，未能让下定义的技能获得训练，这也导致学生的探究未能触及函数概念的本质。事实上，教科书中这一探究内容处于函数概念信息的收集阶段，而下操作性定义则属于函数概念信息的组织与表达阶段，数学的逻辑性、符号性特点本质上是知识组织方式与表达方式的特点，当然知识的组织方式与表达方式也在一定程度上带来了数学的抽象性，只有让学生给函数概念下定义，才能让学生真正触及数学的这些特性。又如，“椭圆及其标准方程”部分的探究栏目，也有同样的问题。本书认为，为提升学生数学探究的深入性，教科书中的探究栏目的编写应更注重形成假设、得出操作性定义等综合技能的训练，让教科书中的探究内容更具备数学探究的完整性，既让学生真切体验数学研究的完整环节，也更多训练学生的综合探究技能，让探究深入高水平数学思维的层面。

（3）问题性

上文指出，学生课本中的探究内容设计，有的以问题的方式呈现，有的则以任务的方式呈现，还有的会以“任务+问题”的形式呈现，并且有的探究内容会有多个任务或问题。例如，“函数概念”中的思考栏目，就是以“任务+问题”的形式来呈现的：分析、归纳以上三个函数实例，探究变量之间的关系有什么特点？其中，“分析三个函数实例”这个任务，事实上需要学生完成两个步骤：①将整体分解为要素；②研究要素的特点。当然，要回答“变量之间的关系有什么特点”这一问题，需要在分析的基础上通过归纳将分析的结论概括以形成整体的特点。所以这个探究内容中“分析、归纳三个函数实例”事实上是为了“形成对三个函数实例变量之间关系特点”的认识。然而对教师和学生来说，该探究内容叙述所使用的词汇中，“分析”这个词是比较陌生的，师生不知道该如何操作“分析”，面对“分析三个函数实例”这个探究，往往是学生不知道该如何“分析”，教师也不知道该如何引导学生来“分析”。然而，如果我们仅呈现问题“以上三个函数实例变量之间的关系有什么特点”，学生可能还更容易想到，首先将实例中的函数这个整体分解为两个变量要素去寻找共性，然后去研究要素也即两个变量的特点，以发现“两个变量都在一定范围内取值，时间变量t确定后，实例中的另一个变量随之确定”这一共性。

本书认为，探究内容编写在遇到学生无法理解的任务词汇时，不能以任务来呈现探究内容，而应以问题来呈现，原因在于用任务来呈现往往会出现学生无法理解的数学方法性词汇，而回答问题则是我国学生的长项，以问题的形式而非任务的形式来呈现探究内容，一方面能够激发学生思考，另一方面也更便于学生寻找探究的思路。

（三）社会文化的合理状态

《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020年）》明确指出，高中阶段的教育应“注重培养学生自主学习、自强自立和适应社会的能力，克服应试教育倾向”。并指出我国教育改革的战略主题，即“坚持以人为本、全面实施素质教育是教育改革发展的战略主题，是贯彻党的教育方针的时代要求，其核心是解决好培养什么人、怎样培养人的重大问题，重点是面向全体学生、促进学生全面发展，着力提高学生服务国家服务人民的社会责任感、勇于探索的创新精神和善于解决问题的实践能力”。这表明我国高中教育并不以高考成绩提高为主要教育目标，而是素质教育的战略场地，应以人的全面发展为本。推演至数学学科当中，高中阶段的数学教育亦应以素质教育为战略目标，而非仅仅以高考考高分为目标。陈重穆、曾崇桑和宋乃庆在21世纪之初的高中数学课程改革前夕发表的《从素质教育看21世纪的高中数学课程》，就是从“高中数学教育是一种素质教育”这一观点出发，对高中数学课程所做的构想。文中很多思想在新高中数学课程中获得了实现，如增强学生的数学应用意识，包括用结论、用方法、用思想。高中数学教科书中众多的探究内容就是这一思想的实现，如正文中以陈述性知识为探究对象的探究内容，要求学生应用已有的知识在一定思想指导下采取一定的方法来建构新知识，而知识应用类的探究内容则本身即指向数学知识、方法和思想的应用，特别是附录中的阅读与思考、探究与发现、信息技术应用和实习作业四类栏目，其编写的意图即发展学生“做数学”与“用数学”的意识。

陈重穆等老一辈数学教育家像领路人一样引导着中国数学课程改革的发展，也引导数学教育的研究。目前，有不少学者对数学学科中的素质教育内涵进行了剖析，如杨赛发表的《素质教育观下的数学教育》，魏超群发表的《论数学教育与素质教育的关系》，朱德全和宋乃庆发表的《论素质教育观下的数学教育》，李大潜发表的《素质教育与数学教学改革》《数学建模与素质教育》等。他们则更广泛地对数学学科中的素质教育进行了构想，归结起来，数学学科中的素质教育可表达为五个方面：积极的情感；审美的直觉；理性思维；洞察力；信心和价值观。所谓积极的情感，即对数学抱有积极正向的情感，如兴趣、好奇，这是学习的起点；审美的直觉要求学生对数学美有一种不假思索而即刻把握与领悟的能力；理性思维则是一种建立在证据和推理基础上的思维方式，往往依赖于对事物或问题的观察、比较、分析、综合、抽象与概括等过程；洞察力要求学生能用数学的眼光去看待世界和解决问题；信心和价值观则强调的是学生应具备数学的观念与价值认识。事实上，只有学生具备了上面五个基础，知识才可能由学生自主建构，创造才可能在课堂中发生，学生全面的发展也才有实现的可能。

为此，家长和社会应对高中数学教育的培养目标形成合理认识，应更关注孩子学科学习过程中对学科形成的兴趣、体验到的学科美、形成的看问题和解决问题的思维与方法以及对学科的信念等。