数学例题教学的优化分析

为对数学例题教学现状有更清晰的认识，在对师生进行例题教与学的问卷调查以外，还有必要进入课堂，进行观课、听课，近距离感受例题教学的课堂实景。本书选取初中数学课堂例题教学的案例一则予以呈现，并加以分析。

（一）数学例题教学课例呈现

该案例的教学内容选自人教版初中数学（2009年版）九年级上册。

圆与圆的位置关系

教学目标：第一，使学生了解圆和圆五种位置的定义；第二，使学生能够熟练地用数量关系来识别圆与圆的位置关系；第三，培养学生动手操作、观察想象、分析概括的能力，使其体会“分类讨论”的数学思想；第四，运用多种教学手段激发学生兴趣，鼓励学生在学习中的探索精神。

教学重点：两圆的五种位置以及两圆的半径、圆心距之间的关系。

教学难点：两圆位置关系及判定。

教学用具：多媒体。

教学方法：问题、引导、直观演示、总结。

学法指导：猜想、观察、操作探究、合作交流、归纳。

教学过程，如下所示。

第一步：欣赏图案，引入新课。

第二步：实验探究、动手操作，得出圆与圆的位置关系有五种。

探究1：在纸上画一个半径为2厘米的圆，在同一平面内，由远到近向所画的圆移动1角的硬币，看圆和圆有哪几种位置关系？交流一下。

学生在自己的本子上画圆、移动硬币。教师请了两位学生在黑板上演示，用纸板代表硬币。

第三步：观察思考，引出圆与圆的五种位置关系的概念。

观察思考：通过刚才的活动，想一下两圆有没有出现公共点？公共点的个数是怎样的？

学生陈述自己的发现结果。教师用多媒体呈现动态的画面：一圆向另一圆移动，引出五种概念的定义。

板书总结：圆与圆的位置关系有五种。

第四步：探究分析，得出两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距之间的关系。(www.xing528.com)

探究2：如果两个圆的半径分别为r与R（r＜R），圆心距（两圆圆心之间的距离）为d，当两圆外离时，d与r、R有怎样的关系？反过来，当d与r、R满足这样的关系时，两圆一定外离吗？其他几种情况下呢？

学生发现：外离d＞R+r；反过来，外离d＞R+r。

教师引导学生总结得：外离⇔d＞R+r。

相交时，R-r＜d＜R+r。

内含时，0≤d＜R-r。

第五步：学以致用、课堂练习。

第六步：课堂小结、布置作业。

（二）例题教学课例的分析

对比教材上这一节内容的安排，可以发现，这位教师在教学设计上对教材的安排有部分改动，体现了这位教师的个人教学特点。

【教材例题1】分别在两张透明的纸上画两个半径不同的圆，把两张纸叠合在一起，固定其中一张而移动另一张，你能发现两圆有几种不同的位置关系？每种位置关系中两圆有多少个公共点？

【教学实景1】探究1：在纸上画一个半径为2厘米的圆，在同一平面内，向由远到近向所画的圆移动1角的硬币，看圆和圆有哪几种位置关系？交流一下。

分析：从教具获得的便捷性来讲，透明的纸张不如硬币便捷。教师将例题呈现的探究过程调整为“1角的硬币向纸上画的半径为2厘米的圆移动”的过程，在保证了与例题同等的条件下（两圆半径不相等），这一过程更易实现，操作便捷，可以得出与教材例题预期一样的学习效果，这样的调整是有效的。

初中数学中的平面几何内容，有助于培养中学生的空间观念、推理能力与逻辑思维，其教育价值是数学家、数学研究者取得共识的。探讨圆与圆的位置关系时，教师并未直接给出五种位置的定义，而是设计让学生动手操作（画圆、移动硬币）、观察（硬币在移动过程中与圆的位置关系）、归纳的过程，在学生自己向纸上画的圆移动硬币的过程中，引出五种位置关系的数学专有名词，即让学生经历了知识的产生过程。

【教材例题2】如果两个圆的半径分别为r与R（r＜R），圆心距（两圆圆心之间的距离）为d，当两圆外切时，d与r、R有怎样的关系？反过来，当d与r、R满足这样的关系时，两圆一定外切吗？

【教学实景2】如果两个圆的半径分别为r与R（r＜R），圆心距（两圆圆心之间的距离）为d，当两圆外离时，d与r、R有怎样的关系？反过来，当d与r、R满足这样的关系时，两圆一定外切吗？其他几种情况下呢？

分析：对比发现，这位教师在进行教学设计时将教材中以两圆外切为基础来探讨两圆的半径与圆心距的关系，改为以外离为探究的基础了。笔者认为，这里的外离不如外切好。

我们的认知过程中很重要的一点就是对不确定知识的探索是以确定知识为基础的。不等关系的临界点就是相等关系的数值所在。不确定关系的学习要建立在确定关系的基础之上。否则，不确定关系的研究将缺乏一个参照，缺乏一定的标准。不确定知识将流于模糊、混沌而难以把握。一个有力的例证就是，初中数学教材中的不等式关系的内容是编排在一元一次方程之后的。试想，如果反过来编排，学生将如何学习？

就这道探究两圆半径与圆心距关系的问题来说，如果以两圆外切为探索入口，可以让学生在画图、观察的同时，很容易得出两圆外切时，有一个等量关系式：d=R+r。在此基础上，去探讨外离、相交，可以相对直接地由一个确定的等量关系过渡到不太确定的不等式关系上。这更符合学生学习的普遍规律，特别是更容易让数学成绩相对落后的学生理解这些关系。

同时，对于这些数量关系的探讨是在画图的基础上的，学生在探讨两圆半径与圆心距数量关系的过程中，体验到数形结合的思想方式。形相对于数较具体，数相对于形较抽象。由形到数量关系，是一个由具体到抽象的过程，符合人们认识发展的一般规律。那么画出两圆的位置以后，就容易得到两圆的半径与圆心距的大小关系。反过来，由数量关系到形，则是一个由抽象到具体的过程，如果没有图形具象做铺垫，学生不容易想出数量关系的结论。让学生通过探索活动去获得结论，体现了知识产生的过程性。这一过程也体现了前期知识的运用。这是符合新课程改革的教育理念的。