指导学生学会高效做作业的有效模式

学生做作业一般有一定的模式，但多数学生不清楚做作业的模式，致使学生做作业的质量不高，所以教师要指导学生掌握做作业的模式。数学问题一般是“如果，那么”“已知，求”的形式表示的规则，是一种从“条件”到“活动”的规则，只要条件满足，数学活动就会产生。在具体解题过程中，很多数学教育家对数学问题解决有一定的研究，并提出了解决数学问题的模式。

（一）波利亚的模式

波利亚在《怎样解题》一书中提出了著名的“怎样解题表”，将解题过程分为弄清问题、拟订计划、实现计划和回顾四个阶段。以下以作业20为例来分析解题的具体模式。

作业20：设｛a｝是等差数列，｛bn｝是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，b1+b2=a2，b3是a1与a4的等差中项。

（1）求｛an｝，｛bn｝的通项公式；（2）求数列的前n项和Sn。

1.弄清问题

弄清问题就是理解题目、分析问题。即寻找未知数是什么、条件是什么、满足的条件能否解决问题，然后再看条件是否足以满足未知数，条件是否充分或者多余。引入适当的符号，将问题条件的不同部分分开。

已知条件是｛a｝等差数列、｛b｝各项都为正数的等比数列，a1=b1=1，b1+b2=a2，b3是a1与a4的等差中项。要解决的问题是求等差数列、等比数列的通项公式和它们商的和。所以，需要引入等差数列的公差和等比数列的等比的符号，利用已知条件能够解决问题。

2.拟订计划

你以前见过这样的问题或与它类似的问题吗？你是否知道与此相关的问题的概念、定理或解决方法？然后找一个早已经解决的与此相关的问题，看看能不能对你的问题有启发。如果不解决这个问题，那么先找一个与此相关的较容易问题，即找一个更普遍或者一个更特殊的或者一个类似的问题来解决，看能否从这些问题中得到启示。或者回到定义，由定义出发来逐步地向外引申，直到与问题相关为止。

重新回到问题中，看看是否用到所有的已知条件或是否挖掘了隐含的条件，是否考虑了包含问题的所有必要的概念。等差数列的通项公式需要首项和公差；等比数列的通项公式需要首项与公比，首项已知，只需要根据条件求出公差和公比即可。数列的通项公式，既不是等差数列，也不是等比数列，其后一项与前一项之间可以看作由两部分组成，分子是等差数列，分母是等比数列。于是，我们可考虑等比数列的求和公式的推导过程，可用错位相减法来解决。

3.实现计划

根据弄清问题的条件和拟订的计划执行你的解题计划，并检验每一步是否正确。你能清楚地知道每一步是正确的？你的定理应用是否正确？你能否证明它是正确的？

由条件可求出等差数列和等比数列的通项公式，然后再由等差数列与等比数列的组合的特征，可用错位相减的方法进行求和。然后，由已知条件逐步地解决问题，实现解题计划：

解：

（1）设｛an｝的公差为d，｛bn｝的公比为q，则依题意有q＞0.

由，解得d=2，q=2.

∴a=1+（n-1）d=2n-1，bn=qn-1=2n-1.

4.回顾

你能否检验这个结论？你能用其他方法得到这个结论吗？你能否一下子就能看出它的结论？你的结论在其他的问题中能否利用？

这种解题方式是数列问题的基本概念和公式的应用，一是基本概念和公式，二是错位相减法求和应用。这种类型的通项公式求和的特点是等差数列与等比数列的和或商的形式，用错位相减方法。

波利亚以提问的方式指导问题解决者进行思考问题指明了思考问题的方向，也给出了问题解决的理论。

（二）奥加涅相模式(www.xing528.com)

苏联数学教育家奥加涅相把解趣过程分为问题的条件、制订解题计划、实施解题计划和研究所得的解四个阶段。

1.理解问题的条件

理解问题的条件，主要包括理清问题的条件和要达到的目标，深入了解和分析条件中各个元素之间的相互关联，在大脑中搜索必要的信息，把作业中的条件和结论与已有的知识和经验产生联系。这一步骤与波利亚的“弄清问题”相似，也就是解题开始的审题过程。

2.制订解题计划

制订解题计划就是寻找问题的解法，即在分析问题的条件与结论的基础上，有目的地将已知条件和未知条件进行各种组合的尝试，尽可能将未知问题化为已知类型的问题。与波利亚的“拟订计划”类似，即分析问题。

3.实施解题计划

实施解题计划包括将解题计划中可行的细节实施；选择叙述解答过程的方法并且用书面表达出来等。如同波利亚的“实现计划”，即解决问题。

4.研究所得的解

研究所得的解是指对解答的最后结果进行检查，寻找解决问题的各种可能方法，分析各种解法的利弊，反思这一问题的思想方法。然后研究解题的特殊情况和局部情况，找出解决问题的核心知识，将新的知识和解题经验进行归纳、总结并整合，使之系统化。也就是说，波利亚的“回顾”，就是调查过程中学生常常忽视的一部分，它的过程一般不出现在解题过程中，但对学生的学习很重要，是学生对解题过程的检验、总结。在这个过程中，学生进行反思、总结、回顾等，使自己的学习成果形成自己的学习体验加以深化。

（三）舍菲尔德的解题的四个阶段说

美国数学教育家舍菲尔德1985年出版了《数学解题》，他在书中把数学问题解决的过程分为问题的分析和理解、解法的设计、对困难问题解法的探索、对问题的解进行检验四个阶段。

1.问题的分析和理解

在分析问题的过程中，理清条件和目标。可能的话，画一图形，找出各要素之间的关系；对特殊情形进行考查，把原理性知识具体化到各个问题中来。

2.解法与设计

尝试性地对问题进行计划：在解题过程中随时解释如下问题：正在解决什么？为什么这样做？得出结果后将要做什么？

3.对困难问题解法的探索

考虑与之等价的问题，把问题进行转换，转换为可以解决的问题；考虑与原题相似的问题，将相似问题解决的方法进行合理地迁移；考虑与原题有较大不同的问题，不同之处在什么地方，这些不同对问题来说意味着什么。

4.对问题的解进行检验

应用特例进行检验：是否用到所有数据？是否与合理的估算相一致；应用一般的检验方法：能否用其他方法求解？能否使问题具体化？能否转化为已知的结果？能否由此引出已知的结果？

这四个解题阶段与波利亚和奥加涅相的四个步骤基本一致。

综合这三种解题模式，笔者认为，数学作业解决的有效模式可以归结为：第一步，分析问题，即分析问题中的已知条件是什么、隐含条件是什么，结论是什么，条件与结论之间有什么关系。第二步，转化问题，即根据题设和问题之间的关系，把复杂的问题转化为简单问题。第三步，实施行动，根据分析、转化的相关信息，应用数学语言把问题清晰地表达出来。第四步，回顾检查，检查已知应用是否恰当，表达是否清晰，结论是否正确等。数学作业的解题的过程一般要经过学生分析问题、转化问题、实施行动和回顾检查这四步骤。