设计数学作业：多样性和主体性的原则优化

数学作业设计应关注两个问题：一是作业与课堂教学内容的高度关联；二是作业与学生的实际学习水平相一致。在教学实践过程中，教师在数学作业设计与课堂教学内容相关联方面已经做得很好，但与学生实际水平相一致方面则有待加强。教师设计作业理念要依据学生最近发展区的理论，既要设计与学生的实际水平相一致，满足学生现有水平需要的作业，又要设计具有一定难度的作业，为学生探索问题提供空间。此外，教师要关注学生的个性差异和情感态度。在此，笔者主要讨论教师设计作业应遵循作业形式的多样性、关注学生的主体性等原则。

（一）注重设计多样性作业

教师根据设计多样化作业的意义主要表现在两个方面：一方面，不同的题型是对知识的不同侧面的表征，有助于学生从多角度理解知识；另一方面，多样化作业可以满足不同层次、不同个性学生的学习需要，有效促进学生的个性化学习。在多样性原则下，教师设计作业的应注意以下问题：

1.统一作业向多样作业转变

作业低效或无效的主要原因就是教师设计统一内容的作业。学生之间存在显著的差异化差异，主要表现为学生的知识基础不同，接受能力不同，所以不同的学生需要的作业也不同。设计层次性作业和选择性作业，有利于提高数学作业的有效性。

（1）层次性作业

在设计作业的过程中，教师根据作业层次的分类，设计基础型作业、巩固型作业和综合型作业三个层次，或者更细的层次。这三个层次作业是知识由浅到深的应用过程，学生可以根据自己的学习进度选择适合自己的作业。教师可以提倡学生选择有挑战性的作业，但一般不鼓励学生选择高难度的作业。例如，有关椭圆的三个作业：

作业17：设P是椭圆上的一点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|等于？

作业18：求焦点在坐标轴上，且经过A（，-2）和B（，1）两点的椭圆的标准方程。

作业19：已知点M在椭圆上，MP'垂直于椭圆两点所在的直线，垂足为P'，且M为线段PP'的中点，求点P的轨迹方程。

作业17为基础型作业，满足学生对基本概念的掌握；作业18为巩固型作业，进一步加深对椭圆概念的理解；作业19为综合型作业，考查学生能否正确地运用知识解决问题的能力。这三个习题分别代表不同的层次，由易到难的过程。

另外，教师还可按照习题的构成要素来设计不同层次的作业，同一个内容按照要素的多少，分别可以设计成标准性习题、训练性习题、探索性习题、问题性习题。教师根据学生学习状况，让学生选择适合自己的作业类型。

（2）选择性作业

选择性作业是针对教学内容设计几个专题练习，让学生根据需要自行选择。一般情况下，教师就是“导购员”，引导学生根据学习的需要选择作业；学生就是“顾客”，可以选择，也可以不选。选择性作业一般适用于章节或阶段性复习课，学生根据自己学习的情况选择。例如，复习“圆锥曲线”这一章的内容，教师设计了椭圆、双曲线、抛物线三个专题作业，也可以设计求方程、求轨迹、求圆锥曲线与直线的位置关系等专题作业，学生根据自己对知识的掌握状况，选择自己需要的作业。

2.专项训练作业与综合型作业共存

数学不仅是思维性学科，也是应用性学科，也是物理、化学等理科学习的基础。数学作业的设计不仅需要掌握某个知识，对某个知识进行专项训练，而且需要掌握数学知识之间内在关系，或与其他学科之间的联系，对其进行综合训练。

（1）专项训练作业

专项训练作业，是指以掌握某个数学公式、概念和原理化及相关计算、推理与证明为目的的作业。在学习过程中，教师对教学内容中的某一个知识从不同侧面训练非常必要。专项作业就是有目标的训练数学知识，使所学知识达到运用自如的程度。例如函数的值域，就需要求以“值域”为专题设计作业，使学生理解并学会解决不同类型函数值域的方法。

（2）综合性作业

综合作业考查学生的综合应用能力。综合作业分为两种情况：一种是本学科的综合，如向量与三角的综合、数列与函数的综合；另一种是交叉学科之间的综合，如指数函数与化学半衰期或生物细胞分裂的综合作业，再如向量与物理学中力学问题的综合作业。数学是其他自然科学发展的基础，已经渗透到各个自然学科之中。随着社会发展，数学与其他学科之间逐渐相互交叉并相互融合，数学作业与其他学科知识的整合变得越来越重要。数学作业可以把与数学相关的其他学科知识吸收进来，丰富数学作业的内容和形式，以提高学生的综合应用能力。

总之，学生学习既需要专项训练作业，也需要综合作业。没有专项作业训练，就无法掌握某个知识，综合应用根本不可能实现；没有综合型作业训练，专项训练就是孤立的知识点，不能形成良好的知识结构。随着社会发展，人们越来越认识到综合作业与专项训练作业同样重要。

3.独立性作业与讨论性作业互补(www.xing528.com)

独立性作业一般指要求学生独自完成的作业。独立性作业可以检验学生对教学内容掌握的情况，训练学生独立思考能力。独立性作业的优点：学生遇到问题时，会努力地思考问题、分析问题和解决问题，从而锻炼学生的独立学习能力和思维能力。其缺点是思考问题方式、方法有限，甚至狭隘或封闭。解决问题的思维方式可能有多种，甚至有更好的方法解决问题。如果学生仅仅独立完成作业，就不可能学到其他同学的思维问题的角度和方法。所以，学生之间对作业进行讨论和交流非常必要，讨论和交流恰好能弥补独立学习的缺陷。

针对有难度的问题，教师可以设计成讨论作业，让学生通过讨论来完成。在讨论过程中，学生的思维始终处于开放状态，可随时发表见解、提出质疑或接受别人的方法，同学之间可以相互交换意见、相互学习，这样，学生解决问题的方法由原来的一种就可能变为两种，甚至多种。在讨论过程中，学生可以对比各种解决问题的方式和方法，然后反思自己解决问题的方式和方法，逐步形成自己特有的思维方式。

独立作业方式与讨论作业方式都有自己的优缺点，独立型作业应与讨论式作业并存、相互补充是最好的方式。作业设计最终要与学生的实际情况相适应，教师在设计作业时尽可能做到两种不同方式有机结合，使作业发挥更好的效果。

（二）关注学生的主体性

学生学习的主体性表现出学习能动性、方向性和创造性。作业设计要关注学生的主体性，就应该重视激发动机、尊重差异、关注能力结构。

1.激发学生的学习动机

动机是激发和维持个体进行活动，并使该活动朝向某一目标的心理倾向或动力。教师设计数学作业时，应注意数学作业内容的新颖性、趣味性，能够吸引学生主动去完成，并且使学生在完成作业的过程中体验到学习数学的乐趣。

为激发学生完成作业的动机，教师设计作业要把握好作业的难度。动机水平与作业难度间有密切联系。美国心理学家叶克斯（Yerks）和多得森（Dodsn）认为，在适当的动机水平下，学习效果最好。学习能力高的学生会对简单学习任务不感兴趣；反之，学习能力低的学生惧怕复杂的学习任务。这两种情况都不利于提高学生的学习动机。因此，教师根据学生的学情设计分层作业，即将作业分为若干层，让不同水平的学生选做，激发学生学习的动机。

2.尊重学生学习的差异

学生的差异性是客观存在的，教师设计作业时要关注学生如下方面的个别差异：

（1）学生自我意识的差异

自我意识由自我认识、自我体验和自我控制三部分组成。自我意识一般由自我控制来反映。自我控制能力强的学生在学习过程中一般表现为：善于计划和安排自己的学习时间和学习内容，善于自我反思和总结，有自己的学习方法和策略。自我控制能力差的学生学习过程则与之相反。

（2）学习态度的差异

学习态度是学生对学习对象的一种心理倾向，包括动机、情感、理想、意志等因素。学生在做作业过程中，有的具有积极的学习动机、坚强的意志、稳定的情绪、勤奋和开拓的精神；有的则表现为缺乏兴趣、意志薄弱、情绪不稳定、懒惰且墨守成规。

（3）学习风格的差异

学习风格主要指学生在认知、情感和意志三个心理要素上的差异。不同的学习风格，学生在做作业过程中就会有不同表现。

（4）智力或能力的差异

在数学作业中，学生的智力或能力的差异主要表现在：计算能力、推理能力、理解能力、识记能力、分析能力、综合能力等。学生学习数学的差异表现为其中的一种或几种组合。教师设计数学作业要针对学生之间的差异设计作业的梯度和层次，关照信心不足的学生，满足不同学生的学习需要，由此增强学生的自信心、自尊心化及改进思维方式和学习策略、方法，帮助他们摆脱学习中的困境，并形成学习的良性循环。

3.关注学生数学能力结构

数学能力的结构有多种不同的研究，比较有代表性数学能力结构是喻平提出的3层结构，依据数学能力各因素的特征，他认为，3层结构分别为：第一类是元认知能力；第二类是在数学认知活动中所共有的能力因素，如数学阅读能力、数学概括能力、数学变换能力、数学思维能力、空间思维能力等；第三类是数学学习活动中完成特定的任务所对应的能力，主要有：数学发现能力、数学解题能力、数学应用能力和数学交流能力等。